Cálculo tensorial
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Cálculo tensorial. Este libro aborda la importancia del cálculo tensorial en la cultura matemática y física, facilitado a los estudiantes los medios de abordar el estudio de las grandes teorías de la física contemporánea.
Prólogo
En el año 1900, en una memoria que se ha hecho célebre, Ricci y Levi Civita publicaron la primera reposición sistemática referente al cálculo tensorial, llamando la atención de matemáticos y físicos sobre cierto número de sus posibles aplicaciones. A partir de entonces el camino recorrido ha sido largo. La aparición de la teoría de la relatividad, que solo ha sido posible gracias a la existencia previa del cálculo tensorial, le ha hecho a su vez experimentar enormes progresos. De este modo, estas técnicas de cálculo se han transformado en uno de los instrumentos más poderosos de toda la física teórica moderna. Recientemente, se han utilizado incluso en el estudio de problemas técnicos tales como el de la interconexión de máquinas eléctricas. Cabe decir que el cálculo tensorial deberá formar parte en lo sucesivo de toda cultura matemática o física.
Este pequeño tratado se ha dividido en dos partes: una relativa al álgebra y al análisis tensorial, y la otra, a sus aplicaciones más importantes. En la primera de ellas, el álgebra tensorial ha sido completada con algunas páginas especialmente consagradas al álgebra exterior, cuyo conocimiento es de particular interés para los físicos. Se han eludido, por el contrario, conceptos como el de densidad tensorial y el de capacidad tensorial, cuyo interés matemático actual parece muy limitado. La noción de tensor adjunto de un tensor antisimétrico permite, por otra parte, suplir suficientemente tal omisión.
En lo que concierne al análisis tensorial, nos hemos limitado intencionadamente a exponer el análisis de los campos de tensores en un espacio de Riemann, por ser la geometría riemanniana la que presenta mayor interés desde el punto de vista de las aplicaciones. Se ha adoptado de manera sistemática el método del sistema móvil de referencia, de Elie Cartan, que, siendo el más geométrico e intuitivo, ofrece además la ventaja de permitir al lector abordar sin gran esfuerzo el estudio de otras geometrías generalizadas.
En la parte dedicada a las aplicaciones ha sido necesario, naturalmente, efectuar una selección. Un primer capítulo está destinado a poner de manifiesto cómo la geometría de los espacios de Riemann se hace intuitiva en cuanto se pone en contacto con la dinámica analítica clásica, y la ayuda que es capaz de aportar a esta. En particular, hemos dedicado una introducción al estudio de los medios continuos y a la elasticidad. El lector deseoso de profundizar en estas materias puede consultar los trabajos de Léon Brillouin.
Otros dos capítulos están consagrados al estudio de las ecuaciones de Maxwell del electromagnetismo y a la teoría de la relatividad. En lo que respecta a la teoría relativista de la gravitación, de la que solo ha sido posible esbozar sus principios, el lector podrá consultar el interesante trabajo de Georges Darmois.
Como autor, me sentiré satisfecho de haber cumplido mi propósito si he facilitado a los estudiantes los medios de abordar el estudio de las grandes teorías de la física contemporánea.
Contenido
- PARTE I: Cálculo tensorial.
- Los espacios vectoriales.
- Los espacios puntuales afines y euclidianos.
- Algebra tensorial.
- El espacio euclidiano en coordenadas curvilíneas.
- Los espacios riemannianos.
- PARTE II: Aplicaciones.
- El cálculo tensorial y la dinámica clásica.
- La teoría de la relatividad restringida y las ecuaciones de Maxwell.
- Elementos de la teoría relativista de la gravitación.
