Diferencia entre revisiones de «Curva de Agnesi»
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Revisión del 01:29 20 sep 2017
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Curva de Agnesi, este conjunto de puntos del plano unidimensional es la trayectoria del punto P al recorrer el punto Q la circunferencia, nombrada así por la matemática italiana María Agnesi.
Definición
Es la curva definida por lo siguiente:
A partir de una circunferencia, y un punto cualquiera O de la circunferencia, siendo K el punto diametralmente opuesto a O. Para cualquier otro punto A de la circunferencia, la prolongación de la recta secante OA corta a la perpendicular a OK que pasa por K en A. La recta paralela a OK que pasa por A, y la recta perpendicular a OK que pasa por Q se cortan en P. Tomando como variable el punto Q al trazar todas las posibles rectas con estas características, los puntos P forman una línea curva llamada Bruja de Agnesi..
La asíntota, de esta curva, es la recta tangente a la circunferencia que pasa por el punto O.
Historia
Esta curva fue estudiada por Fermat en 1666 y Grandi 1703. En 1748 fue estudiada con detalle por María Gaetana Agnesi y nombrada en su libro Instituzioni Analitiche ad uso della gioventù italiana como versiera (del latín vertere, que significa virar, girar). Parece ser que el nombre de "bruja" le viene a la curva de una traducción incorrecta al inglés de una palabra italiana parecida, avversiera, que significa "hechicera, bruja".
Ecuaciones
- La ecuación genérica de la bruja de Agnesi en coordenadas cartesianas es:
- La ecuación genérica de la bruja de Agnesi en ecuaciones paramétricas es:
x = 2a cot θ
y = a(1 - cos 2θ)
Propiedades
Propiedades de la bruja de Agnesi:
- La recta y = 0 es una asíntota de la curva.
- El área entre la bruja y su asíntota es cuatro veces el área del círculo fijo dado (¶a2).
- Tiene puntos de inflexión en
.
Aplicaciones
La Bruja de Agnesi encuentra aplicación en la descripción física de los fenómenos de resonancia, por ejemplo, un átomo afectado por una radiación monocromática, emite radiación cuya intensidad depende de la frecuencia de la radiación emitida, y la relación entre los dos radiaciones viene dada por la Bruja de Agnesi, con el máximo en la longitud de onda de luz incidente.
En Estadística, la Distribución de Cauchy de una variable aleatoria, se expresa por una Bruja de Agnesi.
