Desigualdad triangular

Desigualdad triangular. Así se nombra una de las caracterizaciones en la definición axiomática distancia y luego hablar de espacio métrico. De igual manera al definir una norma

Esta propiedad sirve también para caracterizar las métricas o distancias que a la larga definen las estructuras de tipo topológica y diversas geometrías

Enunciado

Sean tres puntos A, B, C de un espacio y se dan sus respectivas distancias, se cumple:

• |AB|<|BC|+|AC|.
• |AC|<|AB|+|BC|.
• |BC|<|AB|+|AC|.

A esta propiedad se denomina Desigualdad triangular.

La variante de en lugar de la desigualdad estricta usar una semidesigualdad (menor o igual) se emplea en algunas métricas y definiciones de estructuras matemáticas.

Importancia.

La desigualdad triangular permite definir que tres segmentos a, b, c puedan conformar o no un triángulo. A continuación aparece un fragmento de código Python donde aparece una función booleana que determina si dichos segmentos pueden conformar los lados de un triángulo aplicando la desigualdad triangular.

def Lados_Triangulo(a,b,c): return (a<b+c) and (b<a+c) and (c<a+b)

Métricas.

Es una de las propiedades básicas que sirve desde los puntos de vista algebraico, geométrico para identificar a las métricas o distancias.

En cualquier caso si d es una métrica debe satisfacer la desiguladad triangular:

• d(a,b)<d(a,c)+d(c,b) para cualesquiera 3 objetos a, b, c.

Métrica discreta.

Sea la Métrica discreta definida como sigue:

• d(x,y)=0 si x=y.
• d(x,y)=1 si no.

para a, b, c objetos distintos se cumple siempre la desigualdad triangular:

d(a,b)<d(a,c)+d(c,b)
<=> 1<1+1
<=> 1<2 (Verdadero).

Métrica euclideana.

Sea la Métrica euclideana o distancia euclideana definida según la expresión:

• 

donde A=(a₁;a₂;...;a_n) y B=(b₁;b₂;...;b_n).

Si además se tiene otro punto C=(c₁;c₂;...;c_n). También se cumple:

d(A,B)<d(A,C)+d(C,B)

Fuentes.

1. Boss: Análisis
2. Serge Lange: Análisis Matemático
3. Desigualdad_triangular en Wikipedia. Revisado 25 de marzo de 2012.
4. Distancia en Wikipedia. Revisado 25 de marzo de 2012.