Diferencial de una función

El concepto de diferencial está ligado a los de función difrencial y de incremento de la variable dependiente, en un punto del dominio de la derivada.

Definición

Siendo y = f(x) una función diferenciable en el punto x, la diferencial de y ( en el valor x y para un incremento Δ x ) está expresada por

dy = f'( x) Δx, considerando Δx un incremento arbitrario de x.

Precisiones

• se puede escribir dy = df, dy = (dy÷dx)·dx
• La diferencial, estrictamente, es una función d dos variables de x y de Δx , donde x es un punto del dominio de f' y Δx un número real arbitrario.
• Debiéndose escribir con propiedad

df = df(x, Δx) = f'( x) Δx

Aproximación de la diferencial

Para un incremento pequeño de Δx,la diferencial se aproxima al incremento Δy == f(x+Δx) - f(x), se cumple

Δy = dy

o de otra manera

y+ Δy = y + f'(x ) Δx

Propiedades

1. La diferencial de la suma de dos funciones diferenciables g y h es igual a la suma de las diferenciales de tal funciones: d(g+h) = dg +dh
2. Para el productode funciones, cabe la igualdad d(gh) = gdh +hdg
3. Cuando y = g/h, dy = (hdg-gdh)÷h²

Ejemplos

1. y = sec x, dy = secx tanx dx
2. s = (1+ln t)² implica ds = 2(1+ln t)·(1/t) dt.
3. En el caso de la función compuesta y = f[g(x)] se tiene dy = f'_u(u) · u'_x dx, donde u = g(x)

Véase

Derivada ordinaria

Fuentes

• Cálculo y geometría analítica de Antón
• Calculo y geometría analítica de Leithold