Elementos de Euclides
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Elementos de Euclides. Los Elementos (en griego: Στοιχεῖα) es un tratado matemático y geométrico que se compone de trece libros, escrito por el matemático griego Euclides cerca del 300 a. C. en Alejandría.
Los Elementos es considerado uno de los libros de texto más divulgados en la historia y el segundo en número de ediciones publicadas después de la Biblia (más de 1000). Durante varios siglos, el quadrivium estaba incluido en el temario de los estudiantes universitarios, y se exigía el conocimiento de este texto. Aún hoy se utiliza por algunos educadores como introducción básica de la geometría.
En estos trece volúmenes Euclides recopila gran parte del saber matemático de su época, representados en el sistema axiomático conocido como Postulados de Euclides, los cuales de una forma sencilla y lógica dan lugar a la Geometría euclidiana.
Surgimiento
Los Elementos de Euclides es la obra matemática por excelencia, una compilación y sistematización de los conocimientos matemáticos de la Antigüedad y un clásico entre los clásicos . Euclides de Alejandría (c. 365-275 a.C), con precisión y elegancia, siguiendo las reglas de la lógica, compuso todo un cuerpo de proposiciones matemáticas a partir de un pequeño grupo previamente establecido de definiciones y axiomas.
Elementos está formado por trece libros, los seis primeros dedicados a la plana elemental, los tres siguientes a la teoría de los números, el décimo a los inconmensurables y los tres últimos a la geometría de los cuerpos sólidos.
Después de más de dos mil años no han perdido nada de su precisión ni de su vigencia, aunque algunos de sus axiomas no son exclusivos y es posible construir otros sistemas matemáticos y otras geometrías utilizando postulados diferentes. Es lo que ocurre con el célebre quinto postulado de Euclides, sobre rectas paralelas en la geometría plana, la renuncia del cual dio origen en el siglo XIX a las geometrías “no euclideanas” (no planas).
Principios fundamentales
En el primer libro, Euclides desarrolla 48 proposiciones a partir de 23 definiciones (como punto, línea y superficie), 5 postulados y 5 nociones comunes (axiomas). Entre estas proposiciones se encuentra una demostración del teorema de Pitágoras.
Las nociones comunes de Elementos son:
1. Cosas iguales a una misma cosa son iguales entre sí.
2. Si se añaden iguales a iguales, los todos son iguales.
3. Si se sustraen iguales a iguales, los restos son iguales.
4. Las cosas que coinciden una con otra son iguales entre sí.
5. El todo es mayor que la parte.
Los postulados de Los Elementos son:
1. Una línea recta puede ser dibujada uniendo dos puntos cualquiera.
2. Un segmento de línea recta se puede extender indefinidamente en una línea recta.
3. Dado un segmento de línea recta, puede dibujarse un círculo con cualquier centro y distancia.
4. Todos los ángulos rectos son iguales entre sí.
5. Postulado de las paralelas. Si una línea recta corta a otras dos, de tal manera que la suma de los dos ángulos interiores del mismo lado sea menor que dos rectos, las otras dos rectas se cortan, al prolongarlas, por el lado en el que están los ángulos menores que dos rectos.
Este último postulado puede ser interpretado como:
- Por un punto exterior a una recta, se puede trazar una única paralela.
Estos principios básicos reflejan el interés de Euclides por la geometría constructiva, al igual que los matemáticos griegos y helenísticos contemporáneos.
Contenido
A pesar de tratarse de un trabajo sobre geometría, el libro incluye resultados que hoy se pueden clasificar dentro de la teoría de los números. Euclides decide describir los resultados en teoría de números dentro de la geometría porque no pudo desarrollar una aproximación constructiva a la aritmética.
El contenido de los libros es el siguiente:
- Libros 1 al 4 tratan sobre geometría plana.
- Libros 5 al 10 tratan sobre razones y proporciones.
- Libros 11 al 13 tratan sobre geometría de sólidos.
Referencias
Gray, Jeremy (1992). «La geometría euclidiana y el postulado de las paralelas». Ideas de espacio. Madrid: Mondadori España, S.A.. ISBN 84-397-1727-X.
