Fórmulas de Vincenty

Fórmulas de Vincenty
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Concepto:Las fórmulas de Vincenty forman un algoritmo muy eficiente para el cálculo de la distancia entre dos puntos de la superficie de un elipsoide de revolución

Las fórmulas de Vincenty son utilizadas ampliamente en geodesia para calcular distancias sobre la superficie de la Tierra debido a que requiere un número de operaciones bajo a pesar de dar una precisión de 0.5mm (0.000015″), mucho mejor que el método tradicional de la fórmula del haverseno usada en trigonometría esférica. El algorithmo fue publicado por Thaddeus Vincenty en 1975.

Resumen

Empleando coordenadas isométricas sobre el elipsoide terrestre, la distancia geodésica entre dos puntos se calcula mediante integración numérica, previa resolución de un problema de contorno para la ecuación diferencial de segundo orden de las líneas geodésicas. Este método se aplica en particular cuando los puntos vienen definidos por las coordenadas rectangulares de sus representaciones planas según una proyección conforme. En este artículo presentamos ejemplos numéricos usando la proyección de Mercator y la proyección transversa de Mercator.

Introducción

Uno de los problemas clásicos de la geodesia geométrica es el problema geodésico inverso, que consiste en la determinación de la distancia geodésica entre dos puntos de la superficie del elipsoide terrestre y de los acimutes en ambos puntos del arco de geodésica que los une. La literatura sobre este problema es extensa y nos limitamos a remitir al lector al libro, donde se describen y refieren algunos de los métodos empleados para resolverlo.

En una primera fase, este problema requiere la resolución de un problema de contorno para la ecuación diferencial de segundo orden de las líneas geodésicas del elipsoide, que depende del sistema de coordenadas elegido. En la primera parte establecemos esta ecuación diferencial usando coordenadas isométricas (por ejemplo, coordenadas obtenidas mediante una proyección conforme del elipsoide terrestre: coordenadas Mercator, Lambert, UTM, y describimos el método de tiro (“shooting method”) con el que se puede resolver el problema de contorno, y calcular finalmente los acimutes y la distancia geodésica mediante integración numérica.

El caso particular que corresponde al empleo de coordenadas Mercator (longitud geográfica y latitud isométrica). Este es un caso de especial interés pues se puede obtener la diferencia de longitudes en función de las latitudes isométricas de los puntos y de la constante de Clairaut de la geodésica, reduciéndose el problema geodésico inverso a la determinación de esta constante con el método de Newton. Sin embargo, hay en este método casos críticos que se presentan cuando la constante de Clairaut es próxima al radio del paralelo de alguno de los puntos. Explicamos también en esta la causa de esta situación, y cómo con el método de tiro puede subsanarse. Finalmente, indicamos la aplicación del método descrito en este trabajo al caso más complejo de usar coordenadas transversas de Mercator y presentamos ejemplos numéricos basados en una fórmula aproximada para la escala infinitesimal (o factor de escala) de esta proyección.

Utilizando la diferencia entre ambos se ajusta el valor de y se vuelve a resolver el problema de valor inicial . Los cálculos se repiten hasta que la diferencia entre el valor calculado y el dato es menor que un cierto valor impuesto a priori. El valor final de es una estimación de la pendiente de la tangente a la curva en el punto . En el caso en que las coordenadas sean las coordenadas planas de alguna proyección conforme conocida, calculamos el acimut de la línea geodésica en el punto teniendo en cuenta la convergencia de meridianos en este punto.

Esto nos proporciona un conjunto discreto de valores de la función y de su derivada en el intervalo . En particular, habiendo determinado calculamos el acimut de la línea geodésica en el punto con el mismo procedimiento que el utilizado en el punto .

Resolución del problema geodésico inverso usando coordenadas Mercator

En esta sección consideramos el caso particular de la proyección de Mercator , donde es la latitud isométrica y la longitud geográfica.

Las ecuaciones, junto con el teorema de Clairaut son las formas más simples de las ecuaciones necesarias para resolver los problemas geodésicos principales (directo e inverso). La elección de los signos que preceden a las integrales dependerá, en cada caso particular, de como sea el arco de la línea geodésica en los puntos que intervienen en el problema (para más detalles.

En este caso, la resolución del problema inverso se basa en el cálculo de la constante de Clairaut resolviendo la ecuación resultante de integrar. Conocer el valor de esta constante nos permite evaluar la integral para el cálculo de la distancia, y obtener los acimutes de la línea geodésica en sus puntos extremos .

Para obtener se puede emplear el método de Newton, que consiste básicamente en linealizar la función en puntos cada vez más próximos a . Si es un primer valor aproximado de , entonces podemos entonces obtener una segunda aproximación .

Para ilustrar el método hemos resuelto el problema inverso para pares de vértices del rectángulo de la figura 1, que contiene a la Península Ibérica. Los vértices están numerados en el sentido de avance de las agujas del reloj, siendo el número 1 el situado en la esquina inferior izquierda. En la tabla 1 se muestran los resultados de cada caso y, para comparación, los obtenidos aplicando las fórmulas de Vincenty

Conclusiones

El método que proponemos es adecuado para la resolución de problema inverso para pares de puntos de la Península Ibérica, con la ventaja añadida de que no presenta casos críticos, excepto, naturalmente, para pares de puntos situados en el mismo meridiano, caso en el que no existe intervalo de integración.

En cuanto al uso de coordenadas UTM, si la diferencia de distancias obtenidas es de unos pocos centímetros cuando utilizamos una fórmula aproximada para la escala infinitesimal, cabe esperar que los resultados.

Fuente

  • Bermejo M (2004) Análisis de la proyección transversa de Mercator, Tesis Doctoral, Facultad de Ciencias Matemáticas, Universidad Complutense, Madrid.
  • Bermejo M y J Otero (2002) El método de Newton aplicado a la resolución del problema geodésico directo y a la obtención de las ecuaciones inversas de la proyección UTM. Proceedings de la 3º Asamblea Hispano-Portuguesa de Geodesia y Geofísica, UPV, pp. 129–133.
  • Hooijberg M (1997) Practical geodesy using computers. Springer, Berlin.
  • Jordan W, Eggert O, Kneissl M (1959) Handbuch der Vermessungskunde. Band IV Zweite Hälfte: Matematische Geodäsie (Landesvermessung). J. B. Metzlersche Verlagsbuchhandlung, Stuttgart.
  • Press WH, Teukolsky SA, Vetterling WT, Flannery BP (2002) Numerical Recipes in C. The art of scientific computing. Cambridge University Press (second edition reprinted with corrections).
  • Struik DJ (1970) Geometría diferencial clásica. Aguilar, Madrid (tercera edición)
  • Vincenty T (1975) Direct and inverse solutions of geodesics on the ellipsoid with application of nested equations. Survey Review vol. XXII, 176: 88–93