Diferencia entre revisiones de «Número de Fermat»
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*Si ''n''=1, es verdad: F<sub>1</sub> = F<sub>0</sub> + 2 (5 = 3 + 2). | *Si ''n''=1, es verdad: F<sub>1</sub> = F<sub>0</sub> + 2 (5 = 3 + 2). | ||
*Si se cumple para todo ''k'' menor que ''n-1'', se cumple para ''n'': F<sub>0</sub>·F<sub>1</sub>·...·F<sub>n-2</sub>·F<sub>n-1</sub> = (F<sub>n-1</sub> + 2) · F<sub>n-1</sub> = (2<sup>2<sup>n-1</sup></sup> - 1 + 2)·(2<sup>2<sup>n-1</sup></sup> - 1) = (2<sup>2<sup>n-1</sup></sup> + 1)(2<sup>2<sup>n-1</sup></sup> - 1) = (2<sup>2<sup>n-1</sup></sup>)<sup>2</sup> - 1 = 2<sup>2 · 2<sup>n-1</sup></sup>-1 = 2<sup>2<sup>n</sup></sup>-1 = F<sub>n</sub> , con lo que queda demostrado. | *Si se cumple para todo ''k'' menor que ''n-1'', se cumple para ''n'': F<sub>0</sub>·F<sub>1</sub>·...·F<sub>n-2</sub>·F<sub>n-1</sub> = (F<sub>n-1</sub> + 2) · F<sub>n-1</sub> = (2<sup>2<sup>n-1</sup></sup> - 1 + 2)·(2<sup>2<sup>n-1</sup></sup> - 1) = (2<sup>2<sup>n-1</sup></sup> + 1)(2<sup>2<sup>n-1</sup></sup> - 1) = (2<sup>2<sup>n-1</sup></sup>)<sup>2</sup> - 1 = 2<sup>2 · 2<sup>n-1</sup></sup>-1 = 2<sup>2<sup>n</sup></sup>-1 = F<sub>n</sub> , con lo que queda demostrado. | ||
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===Interrelación con la [[geometría plana]]=== | ===Interrelación con la [[geometría plana]]=== | ||
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* Tom Apostol: teoría analítica de números | * Tom Apostol: teoría analítica de números | ||
Revisión del 10:54 24 dic 2019
Un número de Fermat es un número entero de la forma:
- Fn = 22n + 1
donde n es un número natural. En algunos casos es primo. Sólo se conocen cinco primos de Fermat, que son 3 (n=0), 5 (n=1), 17 (n=2), 257 (n=3) y 65537 (n=4). Nombrado en honor a Pierre de Fermat, quien fue el primero que investigó esta clase de enteros positivos.
Sumario
Conjetura fermatiana
Fermat conjeturó que todos los números naturales de la forma
- Fn = 22n + 1
con n natural eran números primos, pero Leonhard Euler probó que no era así en 1732. En efecto, al tomar n=5 se obtiene un número compuesto:
- F5 = 225 + 1 = 232 + 1 = 4294967297 = 641 · 6700417
Con ello, todos los números que tienen la forma de los primos de Fermat, aunque no sean primos, reciben el nombre de números de Fermat. Son números de Fermat todos los de la forma 22n+1, con n natural.
Problemas sin solución aún
Existen dos problemas abiertos sobre estos números:
- ¿Sólo hay cinco números primos de Fermat (3, 5, 17, 257 y 65537)?
- ¿Existen infinitos primos de Fermat?
Propiedades de los números de Fermat
Un número de Fermat es igual al producto de todos los anteriores más 2. Esto se puede demostrar por inducción como sigue:
- Si n=1, es verdad: F1 = F0 + 2 (5 = 3 + 2).
- Si se cumple para todo k menor que n-1, se cumple para n: F0·F1·...·Fn-2·Fn-1 = (Fn-1 + 2) · Fn-1 = (22n-1 - 1 + 2)·(22n-1 - 1) = (22n-1 + 1)(22n-1 - 1) = (22n-1)2 - 1 = 22 · 2n-1-1 = 22n-1 = Fn , con lo que queda demostrado.
Dos números de Fermat distintos siempre son primos entre sí (es decir, no tienen ningún factor común). Se sabe que Fn = F0·F1·...·Fn-1 + 2. Fn, por tanto, no es divisible por ninguno de los factores de los anteriores números de Fermat.
Interrelación con la geometría plana
Carl Friedrich Gauss demostró que existe una relación entre la construcción de polígonos regulares con regla y compás y los números primos de Fermat: un polígono regular de n lados puede ser construido con regla y compás si y sólo si n es, o bien una potencia de 2, o bien el producto de una potencia de 2 y primos de Fermat distintos entre sí.
Fuentes
- Tom Apostol: teoría analítica de números
- Burton W. Jones: Teoría de los números
- https://es.wikipedia.org/wiki/N%C3%BAmero_de_Fermat
Véase además
- Número de Merssene
- Número de Pell
- Número primo
