Número uno

Número uno. Es un número natural, escrito 1 en notación indio-arábiga, I en numeral romano. Tiene un papel protagónico en las matemáticas. Como cardinal, como elemento de sistema numérico; como dígito universal en cualquier sistema de numeración posicional; como elemento especial en estructuras matemáticas y ligado al concepto de existencia y unicidad, como indicador de valor verdadero en la lógica de proposiciones, etc.

Propiedades aritméticas

Operaciones y sucesiones

• Es el primer término de la sucesión de los números enteros positivos: 1,2,3,...
• 1 se toma como los dos valores iniciales de la sucesión de Fibonacci definida por a_n+2 = a_n+1 + a_n. a₁ = 1, a₂ = 1; la sucesión es 1,1,2,3,5,8,...
• 1 es divisor de cualquier número natural.
• Aún más 1 es divisor de cualquier número entero z; de modo que z÷1=z para cualquier entero z
• Si el mcd(a, b) = 1 se dice que a y b son primos entre sí o primos relativos o coprimos
• a÷1= a para todo a número entero.
• a¹= a, para a natural cualquiera.
• Por definición, en el conjunto N, siguiente de n es n+1. Se denota sig(n) = n+1; sig(n) ≠ 1, para todo n: pero 1 no es siguiente de ningún número natural, siempre que 0 no esté en N, por definición.
• y × 1 = y para cualquier número y.
• La n-ésima potencia de 1 es 1, simbólicamente 1ⁿ = 1, para todo n entero no negativo.
• La raíz enésima de 1 es 1, en notación simbólica 1^1/n = 1 para todo n entero n ≥ 2.

• Por la propiedad aditiva del 0, 0+1 = 1 → sig(0) = 1.
• Si definimos que un número natural p es primo si es > 1 y no tiene divisor h natural ( 1 < h < p), el 1 no puede ser número natural primo.
• 1 ≤ n para todo n número entero positivo, el ínfimo de Z⁺
• Al conjunto Z' = {1,2,3,4,...} se llama el conjunto de los todos los enteros positivos; aun se conviene en llamar el conjunto N de todos los números naturales.

En diversos sistemas de numeración

• En el sistema binario, base dos se usan sólo los dígitos 1 y 0; 10 = dos base diez. 11 = 3, base diez; off = 0, on = 1; paso de flujo = 1, detención de flujo = 0.
• En el sistema ternario, base tres se usan los dígitos 0, 1,2; 10 = tres base diez, 11 = 4 base diez; 111 = 13 base diez.
• En el sistema duodecimal base doce se usan los dígitos 0, 1,2,...,8, 9, A, B; 11 = 13 base diez; 111 = 157 base diez.
• En el sistema hexadecimal, base 16, fuera de los dígitos usual, se usan letras para indicar del diez al quince; 11 = 17 base 10; 101 = 257.
• En el sistema vigesimal,base 20; 11 = 21 base diez; 111 = 421 base diez.

En sistemas numéricos

• En el conjunto N de los números naturales 1 es el cardinal de conjunto {Φ}
• En el conjunto Z de los números enteros 1 es el representante canónico de la clase de equivalencia {(1; 0), (2; 1); (3; 2);...}. Además da 0 con su opuesto -1.
• En el conjunto Q de los números racionales, 1 es el representante canónico de la clase de equivalencia {(1; 1), (2; 2); (3; 3);...}. Para a ≠ 0, se tiene a×a^-1 = 1.
• En el conjunto R de los números reales es el límite de la sucesión s_n = (1+1/n) cuando n tiende a + infinito. 1 es punto de acumulación de (1; 2)
• En el conjunto C de los números complejos es 1 = 1+0i. El 1 como número complejo tiene exactamente n raíces enésimas complejas.
• 1 como número algebraico es una raíz de la ecuación algebraica x²-1 = 0.
• 1 el el logaritmo de la base logarítmica b, en el sistema de logaritmos de base b, siendo b>0, b≠1.
• Cabe 0⁰= 1, proposición diferente a otra que no admite como base al cero.
• En N y en Z, la diferencia de dos números consecutivos es 1.
• si s ≠ 0, entonces s÷s = 1, aquí s es cualquier tipo de número.

Propiedades algebraicas

En sistemas algebraicos

• En los grupos multiplicativos, en vez de e, se usa 1 para representar el elemento neutro multiplicativo.
• En los anillos unitario el 1, representa el elemento tal que a×1 = a, para todo a elemento del anillo R.
• En los campos el 1 es el elemento neutro del grupo K\{0}, provisto del producto.
• En los K-espacios vectoriales, 1 es el escalar tal que 1v = v para todo vector v.
• 1 es una de las raíces n-ésimas de la unidad 1.
• 1 no es raíz n-ésima primitiva de la unidad. Todas la raíces quintas de 1, son primitivas, excepto la primera = 1.
• 1 es la norma de 1, -1, i y -1.
• La unidad de los cuaternios se escribe 1 = (1, 0, 0, 0)
• En álgebra lineal los vectores unitarios. i= (1,0, 0), j = (0,1, 0). k =(0,0 ,1)

En trigonometría plana

• sen 90º = 1, lo mismo para sen(π/2 +2kπ) para k entero.
• cos 0 = 1, igual resultado para sen(0 +2kπ) para k entero.
• tan 45º = cot 45º = tan(π/4 +kπ) = cot (π/4 +kπ), siendo k entero.
• sen² + cos² = 1
• En la identidad e^iπ -1 = 0 donde e es base los logaritmos neperianos; i, unidad imagiginaria; π= 3.1411592...
• |sen x| ≤ 1 para todo número real x
• |cos x| ≤ 1 para cualquier número real x.

En análisis matemático

• f(x) = 1 una función constantes que a todo real le asigna valor 1.
• n^1/n ( raíz enésima de n) → 1, cuando n tiende +infinito.
• Integral definida entre 1 y x de 1/t dt es igual a ln x.
• 1 es el valor absoluto de 1 y de -1.
• Máximo entero: [|x|] = 1, para todos los números que están en [1, 2)
• Función signo: sgn(x) = 1 para todo x > 0
• El logaritmo de 1 en cualquiera base apropiada es 0, la base de logaritmos es un número real positivo b ≠ 1.
• 1 es el primer término en el desarrollo de e por una serie de potencias numéricas: e = 1 + 1/1! + 1/2! + 1/3! +...
• 1 es el punto de acumulación de la sucesión a_n = 1 + (-1)ⁿ⁺¹ / n para n = 1,2,3,...

Geometría

• 1 el área de un cuadrado de lado 1
• 1 el volumen de un cubo de arista 1
• 1 es el número de vértices comunes de las caras laterales (triangulares) de cualquier pirámide.
• Hay un solo punto del plano ( 1 uno) de donde parten todos los infinitos radios de un círculo; llamado centro y es un punto interior de tal círculo.
• Existe un solo punto ( 1 uno) del espacio de donde parten todos los radios de una esfera; llamado centro y es un punto interior de la esfera.
• Todos los polígonos regulares, inscribibles en una circunferencia, tienen un único punto interior, que equidista de sus respectivos vértices, llamado centro.

Fuentes

• Enzo Gentile: Aritmética elemental, publicación de OEA, Wáshington D. C.
• Vicente Ampuero: Aritmética teòrica, Edición de UNMSM, Lima