Números pitagóricos

Con la terna de números enteros consecutivos (3, 4,5) , cada uno escrito mediante un dígito, podemos construir un triángulo ya que cualquiera de ellos es menor que la suma de los otros dos. Además es un triángulo rectángulo. ¿Cómo lo comprobamos? Sea ΔBAC, con ángulo opuesto al lado 5. Esto se hace en una hoja de papel. Coloquemos el lado AB (4) horizontalmente, el lado AB (3) verticalmente. Tracemos AB' en sentido opuesto a AB; y AC' en sentido opuesto a AC. Hagamos doblez por BB', un segundo doblez sobre CC'. Se ve que se forman cuatro ángulos con vértice común A, que son iguales en medida. Los ángulos son CAB', B'AC, C'AB y BAC todos ellos rectos. Por lo tanto ΔBAC es un triángulo rectángulo que satisface BC² = AB²+AC², de acuerdo al Teorema de Pitágoras.

Definición

A una terna de números enteros a,b, c que satisfacen la ecuación a² = b² + c² y que son medidas de un triángulo rectángulo se llaman números pitagóricos. . Estos tres números determinan un único triángulo rectángulo.

Proceso para la fórmula

Si a² = b² + c² y a = 0, necesariamente b= 0, c=0; por ello sea a ≠0.

admitamos que b/a = s y c/a = t, entonces 1 = (b/a)² +(c/a)² ; o de otra forma s² + t² = 1 (1). Si se puede resolver esta ecuación en s y t. obtendríamos todas las soluciones racionales no sólo enteras de la s ternas pitagóricas. y para k entero, la terna (k. ks, kt) para k entero sería una terna de números pitagóricos.

la ecuación (1) implica s² = 1 -t². Si descartamos de todas las soluciones, s=0, y=±1, todas las soluciones restantes conformarán el conjunto solución de la ecuación:

s/1-t = 1+t/s, aplicando propiedad de una proporción

Haciendo s/1-t = w , 1+t/s = z , para w y z racionales.

Resulta también s = 2w/wz+1, t= wz-1/wz+1

Haciendo w= z = r se tiene s = 2r/ r² +1 y t = r²-1/ r² +1

Luego para r=p/q resulta s = 2pq/p²+q²; t = p² - q² / p² + q², y finalmente

b = 2pq; c = p²-q², a = p²+q², para cualesquiera enteros positivos p y q diferentes.

Fórmula monovariante

Los datos anteriores se pueden reducir a una sola variable h, tal como sigue

b = 2h; c = h² -1; a = h² + 1; h ≥2

Para h = 2, se tiene b=4; c=3; a = 5; Para ha h= 3, se obtiene. b = 6; c= 8; a = 10; para h = 4, se halla b = 8; c = 15; a = 17

Suma de tres cuadrados

b = p²+q²-r²; c = 2mr, d = 2nr; a = p²+q²+ r²

Para p=2, q=1, r = 1, resulta b = 4, c= 4, d = 2, a = 6. Y se cumple 4²+4²2² = 6²

Esta igualdad se usa

1. para hallar la diagonal de un prisma recto rectangular conociendo las tres aristas que concurren en un vértice.
2. para hallar la longitud de un vector que parte del origen de coordenadas.

Véase también

• Ángulo recto
• Triángulo rectángulo
• Proporción (matemática)