NURBS
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NURBS (Non Uniform Rational B-Splines). Es un modelo matemático muy utilizado en la computación gráfica para generar y representar curvas y superficies.
Sumario
Historia
El desarrollo de NURBS empezó en 1950 por ingenieros que necesitaban la representación matemática precisa de superficies de forma libre como las usadas en carrocerías de automóviles, superfices de exteriores aeroespaciales y cascos de barcos, que pudieran ser reproducidos exacta y técnicamente en cualquier momento. Las anteriores representaciones de este tipo de diseños sólo podían hacerse con modelos físicos o maquetas realizadas por el diseñador o ingeniero.
Los pioneros en esta investigación fueron Pierre Bézier quien trabajaba como ingeniero en Renault, y Paul de Casteljau quien trabajaba en Citroën, ambos en Francia. Bézier y Casteljau trabajaron casi en paralelo, aunque ninguno de los dos conoció el trabajo que el otro desarrollaba. Dado que el trabajo de Bezier fue publicado primero y por esta razón tradicionalmente se le ha asociado a las splines - que son representadas con puntos de control describiendo a la curva misma - como Bézier splines, mientras que nombre de Casteljau solo es conocido por los algoritmos que desarrollo para la evaluación de superficies parametricas. En la década de 1960 se convirtió claramente en NURBS como la generalización de las Bézier splines, que pueden ser consideradas como B-splines Racionales No Uniformes.
Las primeras NURBS fueron usadas en paquetes propietarios de CAD de las compañías automotrices. Posteriormente formaron parte del estándar en paquetes de gráficos por computadora. En 1985, el primer modelador interactivo de NURBS para PC, llamado Macsurf (posteriormente Maxsurf), fue desarrollado por Formation Design Systems, una pequeña compañía en Australia. Maxsurf es un sistema de diseño para cascos, que pretendía la creación de barcos, botes y yates, para los diseñadores quienes tenían la necesidad de alta precisión en el esculpido de superficies. Actualmente las aplicaciones más profesionales de gráficos por computadora para equipos de escritorio ofrecen la tecnología.
Uso
NURBS son comúnmente utilizados en el diseño asistido por ordenador (CAD), fabricación (CAM) e ingeniería (CAE) y forman parte de la industria de ancho numerosas normas utilizadas, tales como IGES, STEP, ACIS, y PHIGS. NURBS herramientas también se encuentran en el modelado 3D y varios paquetes de software de animación, tales como la forma Z, Blender, Autodesk Maya, Rhino3D, Cinema 4D, Cobalto, y soluciones de modelado sólido. Aparte de esto existen paquetes de software especializados NURBS de modelado como Autodesk Alias de superficie y solidThinking.
Permiten la representación de formas geométricas en una forma compacta. Ellos pueden ser eficientemente manejados por los programas de ordenador y, sin embargo permite la interacción humana fácil. Superficies NURBS son funciones de dos parámetros de asignación a una superficie en el espacio tridimensional. La forma de la superficie está determinada por los puntos de control.
En general, puede decirse que NURBS edición de curvas y superficies es muy intuitiva y predecible. Los puntos de control son siempre o se conecta directamente a la curva / superficie, o actúan como si estuvieran conectados por una banda de goma. Dependiendo del tipo de interfaz de usuario, la edición se puede realizar a través de puntos de control de un elemento, que son más evidentes y comunes para las curvas de Bézier, o por medio de herramientas de alto nivel tales como el modelado spline o editar jerárquica.
Una superficie en construcción, por ejemplo, el casco de un yate a motor, se compone generalmente de varias superficies NURBS se conoce como parches. Estos parches se instalarán juntas de tal manera que las fronteras son invisibles. Esto es matemáticamente expresado por el concepto de continuidad geométrica.
Herramientas de alto nivel existentes que se benefician de la capacidad de NURBS para crear y establecer la continuidad geométrica de los diferentes niveles:
Continuidad posicional (G0)
Tiene siempre las posiciones finales de dos curvas o superficies son, en absoluto. Las curvas o superficies aún se podrá reunir en un ángulo, dando lugar a una esquina o un borde roto y causando más destacados.
Continuidad tangencial (G1)
Requiere los vectores salida de la curva o superficies que se van en paralelo, descartando los bordes afilados. Porque pone de relieve que incumbe a un borde tangencialmente continuo siempre continuo y por lo tanto un aspecto natural, este nivel de continuidad a menudo puede ser suficiente.
La continuidad de curvatura (G2)
También exige que los vectores fin a ser de la misma longitud y la tasa de cambio de longitud. Destaca la caída en el filo de la curvatura continua no muestran ningún cambio, haciendo que las dos superficies que aparecen como uno solo. Esto puede ser reconocido visualmente como "perfectamente lisa". Este nivel de continuidad es muy útil en la creación de modelos que requieren muchos parches bi-cúbico componer una superficie continua.
Continuidad geométrica se refiere principalmente a la forma de la superficie resultante, dado que las superficies NURBS son funciones, también es posible discutir las derivadas de la superficie con respecto a los parámetros. Esto se conoce como la continuidad paramétrica. Continuidad paramétrica de un determinado grado implica la continuidad geométrica de ese grado.
En primer lugar-y la continuidad de los parámetros de segundo nivel (C0 y C1) son para fines prácticos idénticos a la posición y tangenciales (G0 y G1) la continuidad. De tercer nivel de continuidad paramétrica (C2), sin embargo, difiere de la continuidad de curvatura en que su parametrización también es continua. En la práctica, la continuidad C2 es más fácil de alcanzar si uniforme B-splines se utilizan.
La definición de la continuidad 'Cn' se da en "Computer Graphics - Principios y" Práctica de la sección 11.2. Se requiere que la derivada enésima de la curva / superficie (\ frac (d ^ n C (u)) (du) ^ n) son iguales en una articulación. Tenga en cuenta que los derivados (parcial) de las curvas y las superficies son vectores que tienen una dirección y una magnitud. Ambos deben ser iguales.
Aspectos destacados y reflexiones pueden revelar el alisado perfecto, que es otra cosa prácticamente imposible de lograr sin superficies NURBS que tienen al menos la continuidad G2. Este mismo principio se utiliza como uno de los métodos de evaluación mediante el cual la superficie de un trazado de rayos o una imagen en mapa de la reflexión de una superficie con rayas blancas reflejan en él se muestran hasta el más mínimo las desviaciones en una superficie o un conjunto de superficies. Este método se deriva de la creación de prototipos de automóviles en donde la calidad superficial es inspeccionada por el control de la calidad de las reflexiones de un techo de luces de neón, luz sobre la superficie del coche. Este método también se conoce como "análisis de Zebra".
Referencias
- Les Piegl & Wayne Tiller: The NURBS Book, Springer-Verlag 1995–1997 (2nd ed.). The main reference for Bézier, B-Spline and NURBS; chapters on mathematical representation and construction of curves and surfaces, interpolation, shape modification, programming concepts.
- Dr. Thomas Sederberg, BYU NURBS, http://cagd.cs.byu.edu/~557/text/ch5.pdf
- Dr. Lyle Ramshaw. Blossoming: A connect-the-dots approach to splines, Research Report 19, Compaq Systems Research Center, Palo Alto, CA, June 1987.
- David F. Roger: An Introduction to NURBS with Historical Perspective, Morgan Kaufmann Publishers 2001. Good elementary book for NURBS and related issues.
- Foley, van Dam, Feiner & Hughes: Computer Graphics - Principles and Practice, Addison Wesley 1996 (2nd ed.).
Enlaces externos
- Acerca de los Nonuniform Rational B-Splines - NURBS, En inglés.
- Una introducción interactiva a los NURBS, En inglés.
- NURBS conAutodesk 3D Studio Max tutorials (en)
- http://homepages.inf.ed.ac.uk/rbf/CVonline/LOCAL_COPIES/AV0405/DONAVANIK/bezier.html
- http://es.wikipedia.org/wiki/NURBS
- http://sabia.tic.udc.es/gc/Contenidos%20adicionales/trabajos/Tutoriales/Cinema4D/nurbs.htm
- http://web.cs.wpi.edu/~matt/courses/cs563/talks/nurbs.html
