Diferencia entre revisiones de «Paralelismo y Perpendicularidad»
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| + | '''Paralelismo y perpendicularidad.''' | ||
==Definición== | ==Definición== | ||
| − | Sean las rectas | + | Sean las rectas r<sub>1</sub> y r<sub>2</sub> de [[Pendiente de una recta|pendientes]] m<sub>1</sub> y m<sub>2</sub> respectivamente, se cumple que: |
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| − | m<sub>1</sub> y m<sub>2</sub> | ||
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| − | respectivamente, se cumple que: | ||
a) r<sub>1</sub> // r<sub>2</sub> si y solo si m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub> | a) r<sub>1</sub> // r<sub>2</sub> si y solo si m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub> | ||
b) r<sub>1</sub> ↓ r<sub>2</sub> si y solo si m<sub>2</sub> = - 1/m<sub>1</sub> | b) r<sub>1</sub> ↓ r<sub>2</sub> si y solo si m<sub>2</sub> = - 1/m<sub>1</sub> | ||
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==Demostración== | ==Demostración== | ||
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[[image:YM figura 1.JPG]] | [[image:YM figura 1.JPG]] | ||
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ɑ<sub>1</sub> = ɑ<sub>2</sub> por ser correspondientes | ɑ<sub>1</sub> = ɑ<sub>2</sub> por ser correspondientes | ||
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luego | luego | ||
tan ɑ<sub>1</sub> = tan ɑ<sub>2</sub> | tan ɑ<sub>1</sub> = tan ɑ<sub>2</sub> | ||
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por tanto | por tanto | ||
m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub> (Condición de paralelismo) | m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub> (Condición de paralelismo) | ||
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como los pasos son reversibles se demuestra que si m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub>, | como los pasos son reversibles se demuestra que si m<sub>1</sub> = m<sub>2</sub>, | ||
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entonces r<sub>1</sub> // r<sub>2</sub> y queda demostrado el inciso a). | entonces r<sub>1</sub> // r<sub>2</sub> y queda demostrado el inciso a). | ||
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b) r<sub>1</sub> ↓ r<sub>2</sub> | b) r<sub>1</sub> ↓ r<sub>2</sub> | ||
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[[image:YM figura 2.JPG]] | [[image:YM figura 2.JPG]] | ||
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se cumple que: | se cumple que: | ||
| − | ɑ<sub>2</sub> = 90<sup>o</sup> + ɑ<sub>1</sub> ángulo exterior a un triángulo | + | ɑ<sub>2</sub> = 90<sup>o</sup> + ɑ<sub>1</sub> ángulo exterior a un [[Triángulo|triángulo]] |
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luego | luego | ||
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tan ɑ<sub>2</sub> = - cot ɑ<sub>1</sub> = -1/tan ɑ<sub>1</sub> | tan ɑ<sub>2</sub> = - cot ɑ<sub>1</sub> = -1/tan ɑ<sub>1</sub> | ||
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por tanto m<sub>2</sub> = - 1/m<sub>1</sub> (condición de perpendicularidad) | por tanto m<sub>2</sub> = - 1/m<sub>1</sub> (condición de perpendicularidad) | ||
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como los pasos son reversibles se demuestra que si m<sub>2</sub> = - 1/m<sub>1</sub>, entonces r<sub>1</sub> ↓ r<sub>2</sub> y queda demostrado el inciso b. | como los pasos son reversibles se demuestra que si m<sub>2</sub> = - 1/m<sub>1</sub>, entonces r<sub>1</sub> ↓ r<sub>2</sub> y queda demostrado el inciso b. | ||
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==Ejercicio Resuelto== | ==Ejercicio Resuelto== | ||
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| − | Muestra que el triángulo cuyos vértices son A(2; -3), B(5; -2) y C(4;1) es rectángulo. | + | Muestra que el triángulo cuyos vértices son A(2; -3), B(5; -2) y C(4;1) es [[Rectángulo|rectángulo]]. |
| − | + | m= y<sub>2</sub> - y<sub>1</sub> / x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> | |
| − | + | m<sub>AB</sub> = -2 - (-3)/ 5-2 | |
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| − | + | m<sub>AB</sub> = -2 + 3 / 3 | |
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| − | + | m<sub>AB</sub> = 1/3 | |
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| − | + | m= y<sub>2</sub> - y<sub>1</sub> / x<sub>2</sub> - x<sub>1</sub> | |
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| − | + | m<sub>BC</sub> = 1 - (-2) / 4 - 5 | |
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| − | + | m<sub>BC</sub> = 1 + 2 / - 1 | |
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| − | + | m<sub>BC</sub> = 3 / -1 | |
Por lo que | Por lo que | ||
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MAB = - 1/MBC | MAB = - 1/MBC | ||
| − | El triángulo es rectángulo en el vértice B | + | El triángulo es rectángulo en el vértice B. |
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| + | == Veáse también == | ||
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| + | * [[Geometría Analítica]] | ||
| + | * [[Pendiente de una recta]] | ||
| + | * [[Pendiente de la ecuación de una recta]] | ||
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== Fuente == | == Fuente == | ||
* Colectivo de autores. Matemática 11no grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990. | * Colectivo de autores. Matemática 11no grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990. | ||
última versión al 14:08 11 abr 2013
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Paralelismo y perpendicularidad.
Definición
Sean las rectas r1 y r2 de pendientes m1 y m2 respectivamente, se cumple que:
a) r1 // r2 si y solo si m1 = m2
b) r1 ↓ r2 si y solo si m2 = - 1/m1
Demostración
Si r1 // r2
se cumple que:
ɑ1 = ɑ2 por ser correspondientes
luego
tan ɑ1 = tan ɑ2
por tanto
m1 = m2 (Condición de paralelismo)
como los pasos son reversibles se demuestra que si m1 = m2,
entonces r1 // r2 y queda demostrado el inciso a).
b) r1 ↓ r2
se cumple que:
ɑ2 = 90o + ɑ1 ángulo exterior a un triángulo
luego
tan ɑ2 = tan ( 90o + ɑ1 )
tan ɑ2 = - cot ɑ1 = -1/tan ɑ1
por tanto m2 = - 1/m1 (condición de perpendicularidad)
como los pasos son reversibles se demuestra que si m2 = - 1/m1, entonces r1 ↓ r2 y queda demostrado el inciso b.
Ejercicio Resuelto
Muestra que el triángulo cuyos vértices son A(2; -3), B(5; -2) y C(4;1) es rectángulo.
m= y2 - y1 / x2 - x1
mAB = -2 - (-3)/ 5-2
mAB = -2 + 3 / 3
mAB = 1/3
m= y2 - y1 / x2 - x1
mBC = 1 - (-2) / 4 - 5
mBC = 1 + 2 / - 1
mBC = 3 / -1
Por lo que
MAB = - 1/MBC
El triángulo es rectángulo en el vértice B.
Veáse también
Fuente
- Colectivo de autores. Matemática 11no grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
- Libro de texto Matemática 10mo grado. Editorial Pueblo y Educación. 1990.
- Cuaderno Complementario. Matemática 9 no grado. Editorial Pueblo y Educación. 2005.
