Diferencia entre revisiones de «Polinomio»

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'''Polinomios:'''&nbsp;Todo número, variables o cualquier combinación de números y variables relacionados por una o varias de las operaciones de [[multiplicación]], división y potenciación se llama término o monomio. Ejemplo: 7; a, 3x<sup>2</sup>, c/d, 2m<sup>2</sup>n<sup>3</sup>p<sup>-1</sup> son términos
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'''Polinomio.''' Es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de [[suma]], resta y [[multiplicación]], así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.
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==Definición==
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En general la [[suma]] algebraica de varios monomios recibe el nombre de ''polinomio''.  
  
== '''Definición'''  ==
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Se consideran ''expresiones algebraicas '' aquellas donde los números y las variables aparecen relacionados por cualquiera de las operaciones de cálculo.  
 
 
En general la suma algebraica de varios monomios recibe el nombre de '''polinomio'''.
 
 
 
Se consideran '''expresiones algebraicas '''aquellas donde los números y las variables aparecen relacionados por cualquiera de las operaciones de cálculo.  
 
  
 
Ejemplo: 3x<sup>2</sup>+y; (c-d)*2m son expresiones algebraicas.  
 
Ejemplo: 3x<sup>2</sup>+y; (c-d)*2m son expresiones algebraicas.  
  
== '''Valor numérico de una expresión algebraica'''  ==
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==Valor numérico de una expresión algebraica==
  
 
Si en una expresión algebraica se sustituyen las variables por números y se efectúan las operaciones indicadas, el valor resultante (si existe) recibe el nombre de valor numérico de la expresión algebraica.  
 
Si en una expresión algebraica se sustituyen las variables por números y se efectúan las operaciones indicadas, el valor resultante (si existe) recibe el nombre de valor numérico de la expresión algebraica.  
  
== <br>'''Grado de un monomio'''  ==
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==Grado de un monomio==
 
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Se denomina grado de un monomio (en el cual sus factores literales aparezcan con exponentes enteros no negativos), a la [[suma]] de los exponentes de las variables que contengan.  
Se denomina grado de un monomio (en el cual sus factores literales aparezcan con exponentes enteros no negativos), a la suma de los exponentes de las variables que contengan.  
 
 
 
 
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a) 3x es de grado 1.  
 
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c) rst es de tercer grado d  
 
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d) 4m<sup>3</sup>n es de cuarto grado
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En general, los términos en que solo aparece el coeficiente numérico tienen grado cero.  
 
En general, los términos en que solo aparece el coeficiente numérico tienen grado cero.  
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Nota: ''A veces se considera el grado de un monomio con respecto a algunas de las variables que contienen. Por ejemplo el monomio ''4m<sup>3</sup>n '' es de ''tercer grado'' con respecto a la ''m'' y de ''primer grado'' con respecto a la ''n''.
  
'''Nota:''' ''A veces se considera el grado de un monomio con respecto a algunas de las variables que contienen. Por ejemplo el monomio '''4m<sup>3</sup>n '''es de '''tercer grado '''con resspecto a la '''m''' y de '''primer grado''' con respecto a la '''n'''.''
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==Grado de un polinomio==
 
 
=== Grado de un polinomio ===
 
  
 
Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los términos (monomios) que lo componen.  
 
Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los términos (monomios) que lo componen.  
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b) 3a<sup>2</sup> + 2a – 8 es de segundo grado.  
 
b) 3a<sup>2</sup> + 2a – 8 es de segundo grado.  
  
c) 1 + 3b – b<sup>3</sup> + b2 es de tercer grado  
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c) 1 + 3b – b<sup>3</sup> + b<sup>2</sup> es de tercer grado  
  
Nota: El grado de un polinomio que contenga más de una variable también puede considerase con respecto a una de ellas.  
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Nota: El grado de un polinomio que contenga más de una variable también puede considerase con respecto a una de ellas.
  
== <br>'''Operaciones con polinomios'''  ==
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==Operaciones con polinomios==
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* Adición de polinomios.
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* Sustracción de polinomios.
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* Eliminación e introducción de paréntesis.
  
=== Adición y sustracción de polinomios. Eliminación e introducción de paréntesis  ===
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===Adición de polinomios===
 
 
==== Adición de polinomios  ====
 
  
 
Para adicionar polinomios se escriben uno a continuación del otro, conservando cada término su signo y reduciendo términos semejantes en caso de que existan.  
 
Para adicionar polinomios se escriben uno a continuación del otro, conservando cada término su signo y reduciendo términos semejantes en caso de que existan.  
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2a + b + 7a – 2b = 9a – b  
 
2a + b + 7a – 2b = 9a – b  
  
==== Sustracción de polinomios ====
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===Sustracción de polinomios===
  
 
Para sustraer un polinomio de otro se escribe el minuendo tal y como está y a continuación el sustraendo cambiándole el signo a cada uno de sus términos, luego se reducen los términos que sean semejantes.  
 
Para sustraer un polinomio de otro se escribe el minuendo tal y como está y a continuación el sustraendo cambiándole el signo a cada uno de sus términos, luego se reducen los términos que sean semejantes.  
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Ejemplo: (5x + 2y) – (3x – y) = 5x + 2y – 3x + y= 2x + 3y  
 
Ejemplo: (5x + 2y) – (3x – y) = 5x + 2y – 3x + y= 2x + 3y  
  
=== Eliminación e introducción de paréntesis ===
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===Eliminación e introducción de paréntesis===
  
==== Eliminación ====
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====Eliminación====
  
#Todo paréntesis precedido por el signo ”'''+'''” puede eliminarse dejando los términos del polinomio incluido en él con sus propios signos.  
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#Todo paréntesis precedido por el signo ”''+''” puede eliminarse dejando los términos del polinomio incluido en él con sus propios signos.  
 
#Todo paréntesis precedido por el signo “-“puede eliminarse siempre que se cambie el signo del polinomio incluido en él.
 
#Todo paréntesis precedido por el signo “-“puede eliminarse siempre que se cambie el signo del polinomio incluido en él.
  
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==== Introducción ====
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====Introducción====
  
 
#Si el paréntesis que se introduce está precedido por el signo “+”, los términos que se incluyen en él conservan sus propios signos.  
 
#Si el paréntesis que se introduce está precedido por el signo “+”, los términos que se incluyen en él conservan sus propios signos.  
 
#Si el paréntesis que se introduce está precedido por el signo “-“, se le cambia el signo a los términos que se incluyen en él.
 
#Si el paréntesis que se introduce está precedido por el signo “-“, se le cambia el signo a los términos que se incluyen en él.
  
=== <br>Multiplicación de polinomios ===
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==[[Multiplicación]] de polinomios==
  
 
Para multiplicar dos polinomios se aplica también la propiedad distributiva. De esta forma se obtiene un nuevo polinomio cuyos términos son los productos de cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.  
 
Para multiplicar dos polinomios se aplica también la propiedad distributiva. De esta forma se obtiene un nuevo polinomio cuyos términos son los productos de cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.  
 
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Ejemplo: (2a + b)(3 a - 4b) = 2a * 3a – 2a * 4b + b * 3a – b *4b  
 
Ejemplo: (2a + b)(3 a - 4b) = 2a * 3a – 2a * 4b + b * 3a – b *4b  
  
= 6a<sup>2</sup> - 8ab + 3ab – 4b<sup>2</sup>&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp;&nbsp; = 6a<sup>2</sup> - 5ab – 4b<sup>2</sup>  
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= 6a<sup>2</sup> - 8ab + 3ab – 4b<sup>2</sup>=6a<sup>2</sup> - 5ab – 4b<sup>2</sup>
  
=== <br>División de polinomios ===
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==[[División]] de polinomios==
  
 
Para dividir un polinomio por otro polinomio  
 
Para dividir un polinomio por otro polinomio  
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#Si este resto es de mayor o igual grado que el divisor (atendiendo a la variable respecto a la cual se ordenaron los polinomios), lo consideramos como el nuevo dividendo y se repite así el proceso hasta obtener un resto de menor grado que el divisor, el cual será el resto de la división.
 
#Si este resto es de mayor o igual grado que el divisor (atendiendo a la variable respecto a la cual se ordenaron los polinomios), lo consideramos como el nuevo dividendo y se repite así el proceso hasta obtener un resto de menor grado que el divisor, el cual será el resto de la división.
  
== Fuente<br> ==
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==Fuentes==
 
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*Matemática 8vo grado. Editorial Pueblo y Educación [[1990]].
Matemática 8vo grado. Editorial Pueblo y Educación 1990<br>
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*[http://descartes.cnice.mec.es/materiales_didacticos/Polinomios/polinomios1.htm Polinomios]
 
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*[http://thales.cica.es./rd/Recursos/rd99/ed99-0453-02/ed99-0453-02.html Calcular polinomios]
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*[http://www.ematematicas.net/polinomios.php Diferentes operaciones con polinomios]
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[[Category:Álgebra]]
 
[[Category:Álgebra]]

última versión al 20:48 30 ago 2019

Polinomio
Información sobre la plantilla
Polinomio.jpg

Polinomio. Es una expresión constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como exponentes enteros positivos. En otras palabras, es una combinación lineal de productos de potencias enteras de una o de varias indeterminadas.

Definición

En general la suma algebraica de varios monomios recibe el nombre de polinomio.

Se consideran expresiones algebraicas aquellas donde los números y las variables aparecen relacionados por cualquiera de las operaciones de cálculo.

Ejemplo: 3x2+y; (c-d)*2m son expresiones algebraicas.

Valor numérico de una expresión algebraica

Si en una expresión algebraica se sustituyen las variables por números y se efectúan las operaciones indicadas, el valor resultante (si existe) recibe el nombre de valor numérico de la expresión algebraica.

Grado de un monomio

Se denomina grado de un monomio (en el cual sus factores literales aparezcan con exponentes enteros no negativos), a la suma de los exponentes de las variables que contengan. Ejemplo: a) 3x es de grado 1. b) 2a2 es de grado 2. c) rst es de tercer grado d d) 4m3n es de cuarto grado En general, los términos en que solo aparece el coeficiente numérico tienen grado cero. Nota: A veces se considera el grado de un monomio con respecto a algunas de las variables que contienen. Por ejemplo el monomio 4m3n es de tercer grado con respecto a la m y de primer grado con respecto a la n.

Grado de un polinomio

Se denomina grado de un polinomio al mayor de los grados de los términos (monomios) que lo componen.

Ejemplo:

a) 2x + 3 es de primer grado.

b) 3a2 + 2a – 8 es de segundo grado.

c) 1 + 3b – b3 + b2 es de tercer grado

Nota: El grado de un polinomio que contenga más de una variable también puede considerase con respecto a una de ellas.

Operaciones con polinomios

  • Adición de polinomios.
  • Sustracción de polinomios.
  • Eliminación e introducción de paréntesis.

Adición de polinomios

Para adicionar polinomios se escriben uno a continuación del otro, conservando cada término su signo y reduciendo términos semejantes en caso de que existan.

Ejemplo: Para adicionar 2a + b y 7a – 2b

2a + b + 7a – 2b = 9a – b

Sustracción de polinomios

Para sustraer un polinomio de otro se escribe el minuendo tal y como está y a continuación el sustraendo cambiándole el signo a cada uno de sus términos, luego se reducen los términos que sean semejantes.

Ejemplo: (5x + 2y) – (3x – y) = 5x + 2y – 3x + y= 2x + 3y

Eliminación e introducción de paréntesis

Eliminación

  1. Todo paréntesis precedido por el signo ”+” puede eliminarse dejando los términos del polinomio incluido en él con sus propios signos.
  2. Todo paréntesis precedido por el signo “-“puede eliminarse siempre que se cambie el signo del polinomio incluido en él.

Ejemplo: 7x2 + (-3xy – y2) – (2x2 + xy – 3y2) = 7x2 – 3xy – y2 – 2x2 – xy + 3y2

                                                                   = 5x2 - 4xy + 2y2

Introducción

  1. Si el paréntesis que se introduce está precedido por el signo “+”, los términos que se incluyen en él conservan sus propios signos.
  2. Si el paréntesis que se introduce está precedido por el signo “-“, se le cambia el signo a los términos que se incluyen en él.

Multiplicación de polinomios

Para multiplicar dos polinomios se aplica también la propiedad distributiva. De esta forma se obtiene un nuevo polinomio cuyos términos son los productos de cada término del primer polinomio por cada término del segundo polinomio.

Ejemplo: (2a + b)(3 a - 4b) = 2a * 3a – 2a * 4b + b * 3a – b *4b

= 6a2 - 8ab + 3ab – 4b2=6a2 - 5ab – 4b2

División de polinomios

Para dividir un polinomio por otro polinomio

  1. El dividendo y el divisor deben ordenarse en potencias decrecientes de una misma variable.
  2. Se divide el primer término del dividendo por el primer término del divisor, obteniéndose el primer término del cociente.
  3. Este primer término del cociente se multiplica por el divisor y el producto resultante se sustrae del dividendo; de esta forma se obtiene el resto.
  4. Si este resto es de mayor o igual grado que el divisor (atendiendo a la variable respecto a la cual se ordenaron los polinomios), lo consideramos como el nuevo dividendo y se repite así el proceso hasta obtener un resto de menor grado que el divisor, el cual será el resto de la división.

Fuentes