Diferencia entre revisiones de «Producto interior (álgebra lineal)»
(Página creada con «'''Producto interior'''. También lo nombran ''producto interno'' o producto escalar, que es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder u...») |
(→Caso real: Los vectores van en negritas y los escalares con letras griegas) |
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==Caso real== | ==Caso real== | ||
Sea V un espacio lineal real. Un ''producto interno'' en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores '''u''' y '''v''' en V, un número real que se denota < '''u''', '''v''' > y verifica las siguientes formalidades: | Sea V un espacio lineal real. Un ''producto interno'' en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores '''u''' y '''v''' en V, un número real que se denota < '''u''', '''v''' > y verifica las siguientes formalidades: | ||
| − | *1. < '''u''', '''v''' > = < '''v''' , '''u'''> para todo '''u'' y '''v''' en V,. | + | *1. < '''u''', '''v''' > = < '''v''' , '''u'''> para todo '''u''' y '''v''' en V,. |
| − | *2. <α '''u'''+β '''v''', '''w''' > = α< '''u''', '''w''' > +β< '''v''', '''w''' >, además < '''w''' , α '''u'''+β '''v''' > =α< '''w''', '''u''' > +β< '''w''', '''v''' > para todos '''u'' , '''v''' y '''w''' en V , α y β números reales. | + | *2. <α '''u'''+β '''v''', '''w''' > = α< '''u''', '''w''' > +β< '''v''', '''w''' >, además < '''w''' , α '''u'''+ β '''v''' > = α < '''w''', '''u''' > + β < '''w''', '''v''' > para todos '''u''' , '''v''' y '''w''' en V , α y β números reales. |
| − | *3. < '''u''', '''u''' > positivo si '''v''' ≠ '0. Además < '''u''', '''u''' > = 0 s,s,s '''u''' = 0. | + | *3. < '''u''', '''u''' > positivo si '''v''' ≠ '''0'''. Además < '''u''', '''u''' > = 0 s,s,s '''u''' = '''0'''. |
| − | * El ángulo φ entre dos vectores diferentes de 0 '''u'' y '''v''' se define por | + | * El ángulo φ entre dos vectores diferentes de '''0''', '''u''' y '''v''' se define por su coseno: |
| − | :::cosφ = < '''u''', '''v''' > / < '''u''', '''u''' > <sup>1/2</sup>< '''v''', '''v''' ><sup>1/2</sup> | + | :::cosφ = < '''u''', '''v''' > / < '''u''', '''u''' > <sup>1/2</sup>< '''v''', '''v''' ><sup>1/2</sup> |
==Caso complejo== | ==Caso complejo== | ||
Revisión del 01:28 27 nov 2015
Producto interior. También lo nombran producto interno o producto escalar, que es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder un elemento del cuerpo de escalares.
Caso real
Sea V un espacio lineal real. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v en V, un número real que se denota < u, v > y verifica las siguientes formalidades:
- 1. < u, v > = < v , u> para todo u y v en V,.
- 2. <α u+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+ β v > = α < w, u > + β < w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
- 3. < u, u > positivo si v ≠ 0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
- El ángulo φ entre dos vectores diferentes de 0, u y v se define por su coseno:
- cosφ = < u, v > / < u, u > 1/2< v, v >1/2
Caso complejo
Sea V un espacio lineal complejo. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v' en V, un número complejo posiblemente que se denota < u, v > y verifica las siguientes condiciones:
- 1. < u', v > = < v , u>* para todo u y v en V, donde * designa el conjugado del resultado en número complejo.
- 2. <α u'+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+β v > =α< w, u > +β< w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
- 3. < u, u > positivo si v ≠ '0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
Ejemplos
- Se conoce como producto interno típico en Rn al número real definido como < u, v > = u1v1 +...+unvn
Teorema de Schwarz
Fuentes
- Álgebra lineal de Maltsev.
- Álgebra lineal de Serge Lange.
- Álgebra Lineal de Barbolla y otros.
