Producto interior (álgebra lineal)

Producto interior. También lo nombran producto interno o producto escalar, que es una aplicación que a dos elementos de un espacio lineal le hace corresponder un elemento del cuerpo de escalares.

Caso real

Sea V un espacio lineal real. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v en V, un número real que se denota < u, v > y verifica las siguientes formalidades:

• 1. < u', v > = < v , u> para todo u y v en V,.
• 2. <α u'+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+β v > =α< w, u > +β< w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
• 3. < u, u > positivo si v ≠ '0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.
• El ángulo φ entre dos vectores diferentes de 0 u y v' se define por sus coseno:

cosφ = < u, v > / < u, u > ^1/2< v, v >^1/2

Caso complejo

Sea V un espacio lineal complejo. Un producto interno en V es una función que asigna a cada par ordenado de vectores u y v' en V, un número complejo posiblemente que se denota < u, v > y verifica las siguientes condiciones:

• 1. < u', v > = < v , u>* para todo u y v en V, donde * designa el conjugado del resultado en número complejo.
• 2. <α u'+β v, w > = α< u, w > +β< v, w >, además < w , α u+β v > =α< w, u > +β< w, v > para todos u , v y w en V , α y β números reales.
• 3. < u, u > positivo si v ≠ '0. Además < u, u > = 0 s,s,s u = 0.

Ejemplos

1. Se conoce como producto interno típico en Rⁿ al número real definido como < u, v > = u₁v₁ +...+u_nv_n

Fuentes

• Álgebra lineal de Maltsev.
• Álgebra lineal de Serge Lange.
• Álgebra Lineal de Barbolla y otros.