Proporcionalidad
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Proporcionalidad. Muchas veces en la práctica se nos presentan situaciones en las que el valor o cantidad de una magnitud depende del valor de otra. El factor constante de proporcionalidad puede utilizarse para expresar las relaciones entre las magnitudes.
Sumario
Reseña histórica
Las matemáticas son el estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes y propiedades desconocidas.
A finales del siglo V a.C., descubrieron que no existía una unidad de longitud capaz de medir el lado y la diagonal de un cuadrado, puesto que una de las dos cantidades es inconmensurable, es decir, no existen dos números naturales cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado y la diagonal. Pero como los griegos sólo utilizaban los números naturales, no pudieron expresar numéricamente dicho cociente, ya que es un número irracional.
Proporcionalidad directa
Dos magnitudes son directamente proporcionales cuando al aumentar una, aumenta la otra en la misma proporción .
Si un metro de tela tiene un precio de $10, el costo de un corte de tela depende del número de metros que tenga de largo. A mayor número de metros de tela, mayor será el costo de la misma.
Esta relación la puedes apreciar en la siguiente tabla:
Observa que:
10=10 x 1 ; 20=10 x 2 ; 25=10 x 2,5 ; ... ... ... 100=10 x 10.
O sea que: el costo del corte de tela (en pesos) se obtiene multiplicando la longitud del corte (en metros) por el precio de un metro que es de $10.
Cuando dos magnitudes están relacionadas de modos que los
valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo
número los valores correspondientes en la otra, se dice que
son directamente proporcionales.
Podemos decir entonces que el costo de una tela es directamente proporcional a la longitud del corte. El número por el que se multiplica se llama factor de proporcionalidad. En este caso es 10 ese factor, que es el precio de 1 m de tela.
En la tabla siguiente se muestra otra correspondencia de proporcionalidad directa:
Observa que, cuando aumenta el número de panes aumenta el costo, y que las razones entre dos cantidades y sus correspondientes siempre son iguales. Por ejemplo:
En una proporcionalidad directa, dos cantidades cuales
quiera de una magnitud y sus correspondientes en la otra,
forman una proporción.
En este ejemplo el factor de proporcionalidad es 5, es el número por el cual se multiplica cada cantidad de panes para obtener su costo. Observa que el factor de proporcionalidad es el valor correspondiente al 1 y lo puedes obtener dividiendo cualquier cantidad de la segunda magnitud entre la cantidad al la cual corresponde en la primera.
Por ejemplo: 5 : 1 = 5 ; 10 : 2 = 5 ; 55 : 11 = 5 .
Si representas esta correspondencia en un sistema de coordenadas, puedes comprobar que los puntos que se obtienen al representar cada par de valores correspondientes están sobre una misma recta.
Existen ejemplos que conoces de la práctica, que son magnitudes directamente proporcionales:
- El costo y la cantidad de artículos, si se paga por unidad.
- El costo y el peso de artículos, si se paga por peso.
- El espacio recorrido y el tiempo de demora, si la velocidad es constante.
- El tiempo de trabajo y la obra producida, si el número de obreros es constante.
- El número de obreros y la obra producida, si el tiempo de trabajo es constante.
El conocer estos ejemplos te permitirá resolver con facilidad problemas que se te pueden presentar con frecuencia.
Proporcionalidad inversa
La proporcionalidad inversa es una relación entre dos variables en las que el producto entre las cantidades que se corresponden es siempre el mismo. O sea que: dos magnitudes son inversamente proporcionales cuando al aumentar una, disminuye la otra en la misma proporción .
Si un automóvil se desplaza con cierta velocidad y la aumenta, el tiempo que demora en llegar a su destino disminuye. Si duplica velocidad, el tiempo que falta para llegar a su destino se reduce a la mitad.
También podemos apreciar esta relación entre el ancho y el largo de los rectángulos que tienen la misma área.
Digamos que se trata de un área de 36 cm². Recuerda que el área de un rectángulo es el producto del largo por el ancho. En la siguiente tabla podemos ver, con algunos valores que:
Observa que:
Los valores del ancho se obtienen multiplicando 36 por los recíprocos de los valores respectivos del largo. Aquí se aprecia nuevamente que, cuando el largo aumenta, el ancho disminuye.
Cuando dos magnitudes están relacionadas de modo que los
valores de una de ellas se obtienen multiplicando por un mismo
número los recíprocos de los valores correspondientes de la
otra magnitud, se dice que son inversamente proporcionales.
La velocidad y el tiempo son inversamente proporcionales cuando la distancia a recorrer es la misma.
Igual sucede con el largo y ancho de los rectángulos de igual área.
El número por el que se multiplica cada recíproco se llama factor de proporcionalidad inversa.
Ejemplo:
Si un alumno necesita 12 días para desyerbar un campo de tomates , ¿cuántos días necesitarán 4 alumnos para realizar la misma labor?
Una vía es, hallar el valor correspondiente a 1, es decir, el factor de proporcionalidad.
Otra vía consiste en formar una proporción y calcular x. En ese caso x representa la cantidad de días que necesitan los 4 alumnos para realizar la labor.
Representando los datos en una tabla:
Formamos la proporción igualando la razón entre los valores de una magnitud con el recíproco de la razón entre sus valores correspondientes como indican las flechas.
Respuesta: 4 alumnos necesitarán 4 días para realizar la labor.
Existen casos de magnitudes que están relacionadas entre sí de modo que el valor de una depende del valor de la otra, sin embargo no existe proporcionalidad entre ellas, por ejemplo:
La estatura de una persona va aumentando con la edad, pero no se crece lo mismo por cada año que pasa. Si un niño mide 1 metro a los 4 años de edad, eso no significa que a los 8 años va a medir 2 metros, luego, no todas las relaciones representan proporcionalidad.
Enlaces externos
Fuentes
- Libro de texto de Matemática 6to grado. Editorial Pueblo y Educación, 1989.
- Profesorenlinea
- Thatquiz
- Todosloscomo
- PNTIC
- Lubrin
