Punto de acumulación
Uno de los conceptos fundamentales de análisis matemático es el de límite, y en el caso de una función es calcular el límite cuando los puntos próximos de acercan a un punto fijo, que puede estar o no en el dominio de la función, este punto se llama punto de acumulación.
Definición
Un punto a de S se llama punto de acumulación del conjunto L, parte de S,cuando en toda vecindad de a existe un número infinito de puntos de L. [1]
- Ejemplos
- Sea el el intervalo abierto L= (m,n); S = conjunto de todos los números reales. El elemento m, número real, es punto de acumulación de L, pues en la vecindad (m-ε; m+ε) hay infinidad de puntos de L.
- Sea el conjunto L de números racionales positivos x tales que x2 < 3 el número 30.5 es punto de acumulación, pues hay infinitos números racionales positivos, cuyo cuadrado es menor que que raíz cuadrada de 3.
- Sea L el conjunto de puntos x = 2-1/n, donde n es entero positivo, el número racional 2 es punto de acumulación de L.
- Un punto de acumulación puede o no puede pertenecer al conjunto dado. En los ejemplos anteriores ninguno de los puntos de acumulación está en el conjunto del caso.
- En el caso del intervalo abierto (m,n) cualquier punto de él es punto de acumulación .
Otras consideraciones
- Punto aislado
dado el punto h de L, este es punto aíslado, si está en L, además en cierta vecindad no hay otro punto alguno de L.
- Sea el conjunto L = (2,9)\(4,7)∪{6}, sea es un punto aislado de L.
- Conjunto derivado
dado el conjunto L, al conjunto de todos sus puntos de acumulación se llama conjunto derivado.
- Adherencia
Al conjunto L y todos sus puntos de acumulación se llama adherencia de L, que se denota Adh L.
- La adherencia del intervalo abierto (m;n) es el intervalo cerrado [m,n]
- El conjunto F, parte de S, se llama conjunto cerrado si F es igual a su adherencia [2]
- El conjunto A, parte de S, se llama abierto si su complemento S\A es cerrado
- En análisis se calcula el límite de una función en un punto de acumulación del dominio. Se puede calcular el límite de f(x) = ln x en el punto 0, que no está en el dominio o campo de definición, pero sí es punto de acumulación del dominio.
Referencias
Fuentes bibliográficas
- Grupos continuos de Pontriaguin
- Análisis matemático de Kudriatsev
