Sistema algebraico de Grupo

Estructura algebraica de Grupo Concepto: Se dice que un conjunto G, con una operación binaria , tiene estructura de grupo si se o cumplen estas propiedades: (g1) La operación o es una ley de composición interna, o tiene la propiedad de clausura: o a, b ∈ G ⇒ a b ∈ G (g2) La operación o es asociativa: a (b c) = (a b) c ∀a, b, c ∈ G (g3) La operación o tiene elemento neutro. Es un elemento e ∈ G tal que: a e = e a = e ∀a ∈ G (g4) Todo elemento de G tiene elemento simétrico para la operación : e o ∀a ∈ G ∃a ∈ G tal que a a = a a=e

Estructura algebraica de Grupo. En la historia de las matemáticas, el siglo XIX señala un nuevo periodo, el cual ha recibido el nombre de período de las matemáticas modernas. El concepto de matemáticas modernas, así como la separación del correspondiente período de su desarrollo, es algo indeterminado. Ello al parecer, no puede ser de otra forma ya que el desarrollo de la ciencia cambia constantemente la idea de contemporaneidad de sus ideas teóricas fundamentales y logros prácticos.

Período de las Matemáticas

Según consideración de estudiosos de la materia, la historia de las matemáticas del siglo XIX y comienzos del siglo XX debe ser separada en un período aparte, el cual puede denominarse Período de las Matemáticas de la nueva época en correspondencia con la periodización de la historia en general. Las particularidades características del nuevo período de desarrollo de las Matemáticas, con mayor definición comenzaron a relevarse en el mismo comienzo del siglo XIX se dan a conocer los trabajos de los matemáticos noruego y franceses respectivamente Niels Henrik Abel (1802-1829) y Evaristo Galois (1811-1832) sobre la resolución de ecuaciones algebraicas en radicales. Ellos promovieron a un primer lugar en el Álgebra, una serie de conceptos generales muy abstractos, entre los cuales el primer lugar pertenece al concepto grupo.

La teoría de Galois

La creación y desarrollo de la teoría de Galois y la teoría de grupos se convirtió en unos de los problemas principales de la nueva Álgebra. El concepto y nombre de grupo se deben a Evaristo Galois, genial matemático frances nacido en 1811. GRUPO. (Definición algebraica) El par ordenado (G,) se dice que tiene estructura de grupo, si se cumple­. (G1) G es un conjunto distinto del conjunto vacío y “ . “ es una operación binaria definida en G es decir una aplicación del producto cartesiano G x G--------------G Que a todo par de elementos (a,b) le hace corresponder un único elemento c de G tal que c=a.b (G2) La Operación . es asociativa en G o sea. a.( b.c) = (a.b).c para todo elementos a. b y c de G. (G3) Existe en G un elemento neutro (unidad) e , tal que para todo x elemento de G se Cumple. x.e = e.x =x (G4)Para cada elemento x de G existe un elemento inverso de x , que denotamos por x-1 Que pertenece a G, tal que x.x-1= x-1.x = e = Si la operación es conmutativa o sea ab= ba , el grupo (G, .) se llama grupo conmutativo o abeliano (en honor a su descubridor el matemático Noruego Abel.

Ejemplos de grupos

Ejemplos de grupos se encuentra en los conjuntos que se estudian en la escuela como (Z, + ) donde Z es el conjunto de los números enteros y + es la adición usual definida en Z. También son ejemplos de grupos (Q, + ) (R, + ) (C,+ ), El conjunto de los números racionales distintos de cero, provisto de la multiplicación etc. La teoría de grupos ha contribuido al desarrollo de las Matemáticas en distintas ramas de la misma, así como al desarrollo de la Química en la teoría de la cristalización y de la Física, en la Mecánica Cuántica entre algunas de sus aplicaciones.

Fuentes

• Ríbnikov K. Historia de las Matemáticas.—Moscú: editorial Mir, l987
• Lentin, A.Lecons D¨Algebre Moderne 1964 / . Rivaud tr. Emilio Motilva Ylarri. . – Madrid: Editado por Aguilar, España, 1969.
• Ejercicios sobre Teoría de Grupos. / Juan Luis Nieto Carrillo …/et al/. – La Habana: Editorial Pueblo y Educación, l990.
• Konstrikin, A I Introducción al álgebra Moscú : Ed. Mir, 1978.
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