Teoría de grupos
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La teoría de grupos estudia la estructura algebraica conocida como grupo. Sus objetivos son,la clasificación de los grupos, sus propiedades y sus aplicaciones tanto dentro como fuera de las matemáticas.
Los grupos sirven como pilar a otras estructuras algebraicas más elaboradas como los anillos, los cuerpos o los espacios vectoriales. La teoría de grupos tiene muchas aplicaciones en el campo de la física y la química, y es potencialmente aplicable en situaciones caracterizadas por la simetría. Además se aplican en astrofísica: quarks, solución de acertijos: cubo de Rubik, en los códigos binarios y en criptografía.
La clasificación de los grupos simples de orden finito es uno de los mayores logros matemáticos del siglo XX.
Historia
El origen de las raízes de la teoría de grupos son la teoría de las ecuaciones algebraicas, la teoría de números y la geometría. Euler, Gauss, Lagrange, Abel y Galois fueron los creadores que ponen los cimientos de esta rama del álgebra abstracta. Galois es reconocido como el primer matemático que relacionó esta teoría con la teoría de cuerpos, de lo que surgió la teoría de Galois. Otros importantes matemáticos que contribuyen son Cayley, Emil Artin, Emmy Noether, Peter Ludwig Mejdell Sylow, A.G. Kurosch, Iwasawa entre muchos otros. Fue Walter Dick quien en 1882, dio la moderna definición de grupo y fue el primero en definir el grupo libre engendrado por un número finito de generadores, según Nicolás Bourbaki. A fines del siglo XIX, Frobenius definió grupo abstracto con un sistema de axiomas.
Definición
Se llama grupo a cualquier conjunto G de transformaciones de simetría que cumple:
- Elemento simétrico: todo elemento posee inverso
- La ley es asociativa
- Existe un elemento neutro, a este elemento se le denomina 1 en la multiplicación o 0 en la suma.
Definición alternativa
Un grupo es un sistema algebraico que no es sino un conjunto no vacío provisto de una operación binaria asociativa, es decir, también cumple la clausuratividad, entre otras propiedades.
Categorías
Desde el punto de vista de la teoría de categorías, la teoría de grupos podría catalogarse como una categoría llamada categoría de grupos, debido a que en ella se estudia a los grupos y sus morfismos. La categoría de grupos es muy grande, pero puede armarse una relación de equivalencia en esta categoría para que se factorice: la relación entre grupos de ser isomorfos reduce cuestiones estructurales de la categoría de grupos a la categoría de grupos-módulo-los-isomorfos. En esta reducción la operación de unión disjunta la convierte en una categoría monoidal.
