Teorema fundamental del álgebra

Teorema fundamental del álgebra Concepto: Todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz, coeficientes numéricos, cuyo grado no sea menor que la unidad, tiene por lo menos una raíz, generalmente, compleja

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Teorema fundamental del álgebra. En Matemáticas y más especifícamente Álgebra superior, Análisis Matemático, Geometría y funciones de variable compleja, es un teorema que plantea que todo polinomio no constante de una variable tiene al menos una raíz. Del presente se deriva que todo polinomio p(x) de una variable no constante tiene la misma cantidad de raíces reales o complejas que su grado n, resultado teórico que es vital para el cálculo numérico.

Definiciones

Sea el polinomio de grado n (n>0) de una variable:

• p(x)=a₀+a₁x+a₂x²+...+a_nxⁿ.

Existe un número r tal que p(r)=0 o lo que es lo mismo, pero expresado como una factorización:

• p(x)=(x-r)(b₀+b₁x+...+b_n-1x^n-1)

Importancia

De la última definición se desprende que si p(x) puede expresarse como:

• p(x)=(x-r₁)(b₀+b₁x+...+b_n-1x^n-1)

resultando un nuevo polinomio p₁(x):

• p₁(x)=b₀+b₁x+...+b_n-1x^n-1

de grado n-1; entonces a este nuevo polinomio puede aplicarsele el mismo teorema obteniendo una nueva raíz r₂ de manera que se podría expresar p(x) de la forma:

• p(x)=(x-r₁)(x-r₂)p₂(x)

y así descomponiendo sucesivamente los polinomios de menor grado resultantes p_i(x) (0<i<n), hasta tener n raíces para p(x) quien podría expresarse a partir del producto de n binomios de primer gado (x-r_i) en el conjunto C de los complejos, tal y como sigue:

• p(x)=(x-r₁)(x-r₂)...(x-r_n)

Aunque ya se ha mencionado las raíces r_i (0<i<n+1) pueden ser reales o complejas y puede darse el caso de que algunas raíces sean iguales como por ejemplo las raíces de los polinomios cuádraticos de la forma trinomio cuadrado perfecto a²x²+2abx+b² ó a²x²-2abx+b².

Esta asociación directa entre el grado del polinomio y la cantidad de raíces suyas es de vital importancia tanto para las matemáticas como para otras ramas en las que se modela el comportamiento de algún fenómeno con polinomios.

Otro aspecto es el hecho de la paridad de las raíces complejas que indica que:

• Si a + bi es una raíz compleja del polinomio p(x), con coeficientes racionales, entonces su conjugada a - bi, también es raíz de p(x). Esta propiedad no se cumple cuando los coeficientes son complejos a + bi, donde a≠0 y b ≠ 0.

Esto puede apreciarse en el caso en que las ecuaciones de segundo grado ax²+bx+c=0, al calcularsele el discriminante D=b²-4ac<0, entonces solo se satisface con los complejos:

• 
• 

que como se ve son conjugadas.

Veáse también

• Polinomio.
• Números complejos.
• Número real.

Referencias

Fuentes

• I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial MIR, Moscú. 1973.

• Pontriaguin. Álgebra. Editorial URSS Moscú ( demostración por caminos)
• Kúrosch. Curso superior de álgebra, Editorial Mir, Moscú, varias ediciones en el siglo XX