Último teorema de Fermat
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Último teorema de Fermat. Fue formulado por Pierre de Fermat en 1637 y que su prueba se consiguió todavía, transcurridos 358 años después su planteamiento. El esfuerzo multisecular y plurinacional de hallar una prueba de la conjetura aún, fue motor impulsor del desarrollo de la teoría algebraica de números en el siglo XIX y la demostración del teorema de la modularidad en el siglo XX.
Sumario
Historia
En el libro Arithmetica de Diofanto, Fermat escribía comentarios al margen de cada problema, y uno por uno han sido resueltos por personalidades como Leibniz, Newton, etc. Sólo quedó sin resolver el acertijo que propuso debajo del problema VIII, que trata de encontrar un número cuadrado como suma de dos cuadrados , conocidas como ternas pitagóricas.
La nota de Fermat decía: Es imposible descomponer un cubo en dos cubos, un bicuadrado en dos bicuadrados, y en general, una potencia cualquiera, aparte del cuadrado, en dos potencias del mismo exponente. He encontrado una demostración realmente admirable, pero el margen del libro es muy pequeño para ponerla.
Cronología de la demostración
Varios fueron los que intentaron la demostración del VIII problema del libro Arithmetica de Diofanto, entre ellos;
Pierre de Fermat El primer matemático que consiguió avanzar sobre este teorema fue el propio Fermat, que demostró el caso n=4 usando la técnica del descenso infinito, una variante del principio de inducción.
Leonhard Euler demostró el caso n = 3. El 4 de agosto de 1735 Euler escribió a Goldbach reclamando tener una demostración para el caso n = 3. En Álgebra (1770) se encontró una falacia en la demostración de Euler. Corregirla directamente era demasiado difícil, pero otros aportes anteriores de Euler permitían encontrar una solución correcta por medios más simples. Por esto se consideró que Euler había demostrado ese caso. Del análisis de la demostración fallida de Euler surgió la evidencia de que ciertos conjuntos de números complejos no se comportaban de igual manera que los enteros.
Sophie Germain El siguiente mayor paso fue hecho por la matemática Sophie Germain. Un caso especial dice que si p y 2p + 1 son ambos primos, entonces la expresión de la conjetura de Fermat para la potencia p implica que uno de los x, y o z es divisible por p. En consecuencia la conjetura se divide en dos casos:
• Caso 1: ninguno de los x, y, z es divisible por p; • Caso 2: uno y sólo uno de x, y, z es divisible por p.
Sophie Germain probó el caso 1 para todo p menor que 100 y Adrien-Marie Legendre extendió sus métodos a todos los números menores que 197. Aquí se encontró que el caso 2 no estaba demostrado ni siquiera para p = 5, por lo que fue evidente que era en el caso 2 en el que había que concentrarse. Este caso también se dividía entre varios casos posibles.
Ernst Kummer y otros No fue hasta 1825 cuando Peter Gustav Lejeune Dirichlet y Legendre generalizaron para n=5 la demostración de Euler. Lamé demostró el caso n=7 en 1839.
Entre 1844 y 1846 Ernst Kummer demostró que la factorización no única podía ser salvada mediante la introducción de números complejos ideales. Un año después Kummer afirma que el número 37 no es un primo regular.
Luego se encuentra que tampoco 59 y 67 lo son. Kummer, Mirimanoff, Wieferich, Furtwänger, Vandiver y otros extienden la investigación a números más grandes. En 1915 Jensen demuestra que existen infinitos primos irregulares. La investigación se estanca por esta vía de la divisibilidad, a pesar de que se logran comprobaciones para n menor o igual a 4 000 000.
Andrew Wiles En el año 1995 el matemático Andrew Wiles, en un artículo de 98 páginas publicado en Annals of mathematics, demostró el caso semiestable del Teorema de Taniyama-Shimura, anteriormente una conjetura, que engarza las formas modulares y las curvas elípticas. De este trabajo, combinado con ideas de Frey y con el Teorema de Ribet, se desprende la demostración del Último Teorema de Fermat. Aunque una versión anterior (no publicada) del trabajo de Wiles contenía un error, este pudo ser corregido en la versión publicada, que consta de dos artículos, el segundo en colaboración con el matemático Richard Taylor.
En estos trabajos por primera vez se establecen resultados de modularidad a partir de modularidad residual, por lo cual los resultados del tipo de los probados por Wiles y Taylor son denominados "Teoremas de Levantamiento Modular". En la actualidad resultados de este tipo, mucho más generales y poderosos, han sido probados por varios matemáticos: además de generalizaciones probadas por Wiles en colaboración con C. Skinner y de Taylor en colaboración con M. Harris, los más generales en la actualidad se deben a Mark Kisin.
En el trabajo de 1995 de Wiles se abrió una nueva vía, prácticamente una nueva área: la de la modularidad. Con estas técnicas, de las que este trabajo fue pionero, se han resuelto más recientemente otras importantes conjeturas, como la Conjetura de Serre y la de Sato-Tate. Curiosamente, la resolución de los primeros casos de la Conjetura de Serre, como observara el propio Serre al formular la conjetura, permite una nueva demostración del Último Teorema de Fermat.
Los trabajos de Wiles por lo tanto tienen una importancia que trasciende ampliamente su aplicación al Último Teorema de Fermat: se consideran centrales en la Geometría Aritmética moderna y se espera que sigan jugando un rol vital en la demostración de resultados de modularidad que se enmarcan en el Programa de Langlands.
Fuentes
- El último teorema de Fermat. Simon Singh. ISBN 958-04-4865-5
- El enigma de Fermat. Simon Singh. ISBN 978-84-08-06572-2
- Amir D. Axel: El último teorema de Fermat, Fondo de Cultura Económica, México D.f. 2003
Referencias y notas
- ↑ Y. Perelman Algebra recreativa pág 157
Enlaces Externos
Notas sobre el último teorema de Fermat
