Diferencia entre revisiones de «Teorema de Rolle»
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==Enunciado== | ==Enunciado== | ||
| − | Sea ''f'' un función de una variable real, continua en el intervalo cerrado ''[a,b]'' y derivable en | + | Sea ''f'' un función de una variable real, continua en el intervalo cerrado ''[a,b]'' y derivable en los puntos interiores de dicho intervalo y f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto interior ''c'' del intervalo cerrado ''[a,b]'' tal que la derivada de ''f'' se anula: ''f'(c)=0''. <ref> Banach, Stefan: ''Cálculo diferencial e integral'' Uteha Ciudad de México (1967)</ref> |
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| + | ===Interpretación geométrica=== | ||
| + | Cuando una curva y = f(x) posee tangente en todos sus puntos y además hay dos puntos con la misma ordenada, entonces al menos en un punto de dicha curva la recta tangente es paralela al eje OX. <ref>Rodríguez Macías, Raúl y otros "Cálculo diferencia e integral Primera parte" Editorial Pueblo y Educación Ciudad de La Habana ( 1988) </ref> | ||
| + | ==Prueba== | ||
| + | Como f es continua en el intervalo compacto [a;b], por el teorema de Weirstrass existen ''c'' y ''d'', de manera que para cualquier elemento ''x'' de [a;b], se verifica que ''f(c) <=x <= f(d)''. | ||
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| + | Si ''f(c) = f(d)'' implicaría que ''f'' es constante en el intervalo [a;b], y, de esta manera ''f'(e)'' =0 para todo e elemento de (a;b). | ||
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| + | Asumamos que ''f(c) < f(d). Como ''f(a) = f(b)'' debe suceder que ''c'' o ''d'' estén en el interior de [a;b]. Sea el caso de que ''c'' esté en (a; b), como ''f'' tiene un mínimo local en ''c'' y por ser ''f'' derivable, se deduce que ''f'(c)'' = 0. <ref> Barbolla García, R.M. y otros " Introducción al análisis real" A lhambra Madrid (1981) ISBN 84-205-0771-7. Se usa la proposición. '''V.2. 3''' pág. 106</ref> | ||
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*[https://www.matesfacil.com/demostracion-valor-medio-cauchy.htm Michell Rolle y el teorema de Rolle (Matesfacil.com)] | *[https://www.matesfacil.com/demostracion-valor-medio-cauchy.htm Michell Rolle y el teorema de Rolle (Matesfacil.com)] | ||
*[https://books.google.es/books?id=60qaEePdqcoC&dq=Philosophy+of+Mathematics+and+Mathematical+Practice+in+the+Seventeenth+Century&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiGua-BkdDQAhWJ7xQKHe9FBZ4Q6AEIGjAA P Mancosu; ''Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century'' (Google Books)] ([[1996]]) | *[https://books.google.es/books?id=60qaEePdqcoC&dq=Philosophy+of+Mathematics+and+Mathematical+Practice+in+the+Seventeenth+Century&hl=en&sa=X&ved=0ahUKEwiGua-BkdDQAhWJ7xQKHe9FBZ4Q6AEIGjAA P Mancosu; ''Philosophy of Mathematics and Mathematical Practice in the Seventeenth Century'' (Google Books)] ([[1996]]) | ||
última versión al 21:02 4 abr 2017
El teorema de Rolle es una una proposición del cálculo diferencial que establece que si una función de una variable real es derivable en el intervalo abierto I y continua en la clausura de I, entonces existe al menos un punto del intervalo I en el que la derivada se anula. El teorema fue presentado por el matemático francés Michel Rolle en su obra Traité d’algèbre en 1690. Se sabe que esta propiedad ya era conocida por el matemático indio Bhaskara Acharia (1114-1185). Tal como se conoce en la actualidad, el teorema fue demostrado por Louis Cauchy (1789-1857) como corolario del Teorema del Valor Medio (de Lagrange) de 1823.
Enunciado
Sea f un función de una variable real, continua en el intervalo cerrado [a,b] y derivable en los puntos interiores de dicho intervalo y f(a) = f(b). Entonces, existe al menos un punto interior c del intervalo cerrado [a,b] tal que la derivada de f se anula: f'(c)=0. [1]
Interpretación geométrica
Cuando una curva y = f(x) posee tangente en todos sus puntos y además hay dos puntos con la misma ordenada, entonces al menos en un punto de dicha curva la recta tangente es paralela al eje OX. [2]
Prueba
Como f es continua en el intervalo compacto [a;b], por el teorema de Weirstrass existen c y d, de manera que para cualquier elemento x de [a;b], se verifica que f(c) <=x <= f(d).
Si f(c) = f(d) implicaría que f es constante en el intervalo [a;b], y, de esta manera f'(e) =0 para todo e elemento de (a;b).
Asumamos que f(c) < f(d). Como f(a) = f(b) debe suceder que c o d estén en el interior de [a;b]. Sea el caso de que c esté en (a; b), como f tiene un mínimo local en c y por ser f derivable, se deduce que f'(c) = 0. [3]
Referencias
- ↑ Banach, Stefan: Cálculo diferencial e integral Uteha Ciudad de México (1967)
- ↑ Rodríguez Macías, Raúl y otros "Cálculo diferencia e integral Primera parte" Editorial Pueblo y Educación Ciudad de La Habana ( 1988)
- ↑ Barbolla García, R.M. y otros " Introducción al análisis real" A lhambra Madrid (1981) ISBN 84-205-0771-7. Se usa la proposición. V.2. 3 pág. 106
