Teorema de Tales
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Teorema de Tales. Es la división de un segmento en partes iguales y también en partes proporcionales a números dados.
Sumario
Historia
Según la leyenda (relatada por Plutarco ), Tales de Mileto en un viaje a Egipto, visitó las pirámides de Guiza (conocidas como Keops, Kefrén y Micerinos), construidas varios siglos antes. Admirado ante tan portentosos monumentos de esta civilización, quiso saber su altura.
De acuerdo a la leyenda, trató este problema con semejanza de triángulos (y bajo la suposición de que los rayos solares incidentes eran paralelos), pudo establecer una relación de semejanza (teorema primero de Tales) entre dos triángulos rectángulos, por un lado el que tiene por catetos (C y D) a la longitud de la sombra de la pirámide (conocible) y la longitud de su altura (desconocida), y por otro lado, valiéndose de una vara (clavada en el suelo de modo perfectamente vertical) cuyos catetos conocibles (A y B) son, la longitud de la vara y la longitud de su sombra.
Realizando las mediciones, en una hora del día en que la sombra de la vara sea perpendicular a la base de la cara, desde la cual medía la sombra de la pirámide y agregando a su sombra la mitad de la longitud de una de las caras, obtenía la longitud total C de la sombra de la pirámide hasta el centro de la misma.
Teorema de Tales (primero)
Si por un triángulo se traza una línea paralela a cualquiera de sus lados, se obtienen dos triángulos semejantes.
Corolario
Del establecimiento de la existencia de una relación de semejanza entre ambos triángulos se deduce la necesaria proporcionalidad entre sus lados. Ello significa que la razón entre la longitud de dos de ellos en un triángulo se mantiene constante en el otro.
Por ejemplo, en la figura se observan dos triángulos que, en virtud del teorema de Tales, son semejantes. Entonces, del mismo se deduce a modo de corolario que el cociente entre los lados A y B del triángulo pequeño es el mismo que el cociente entre los lados D y C en el triángulo grande. Esto es, que como por el teorema de Tales ambos triángulos son semejantes, se cumple que:
Este corolario es la base de la geometría descriptiva. Su utilidad es evidente, según Heródoto, el propio Tales empleó el corolario de su teorema para medir la altura de la pirámide de Keops en Egipto. En cualquier caso, el teorema per se demuestra la semejanza entre dos triángulos, no la constancia del cociente. Del primer teorema de Tales se deduce además lo siguiente (realmente es otra variante de dicho teorema, y, a su vez, consecuencia del mismo): Si las rectas a, b, c son paralelas y cortan a otras dos rectas r y s, entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales.
Teorema de Tales (segundo)
Sea C un punto de la circunferencia de diámetro AB, distinto de A y de B. Entonces el ángulo ACB, es recto.
El “teorema segundo” (de Tales de Mileto) puede ser aplicado para trazar las tangentes a una circunferencia k dada, que además pasen por un punto P conocido y externo a la misma (véase figura).
Se supondrá que una tangente cualquiera t (por ahora desconocida) toca a la circunferencia k en un punto T (también desconocido por ahora). Se sabe por simetría que cualquier radio r de la circunferencia k es perpendicular a la tangente del punto T que dicho radio define en la misma, por lo que se determina que ángulo OTP es necesariamente recto.
Lo anterior implica que el triángulo OTP es rectángulo. Recordando el «corolario 2 del teorema segundo de Tales» se deduce que entonces el triángulo OTP es inscribible en una circunferencia de radio ½ de la hipotenusa OP del mismo.
Entonces marcando el punto H como punto medio de la hipotenusa OP y haciendo centro en el mismo, se puede dibujar una segunda circunferencia auxiliar (gris en la figura) que será la que circunscribe al triángulo OTP.
Esta última circunferencia trazada interceptará a la circunferencia k en dos puntos T y T', estos son justamente los puntos de tangencia de las dos rectas que son simultáneamente tangentes a k y además pasan por el punto P, ahora ya conocidos los puntos T y T' solo basta trazar las rectas TP y T'P (rojas en la figura) para tener resuelto el problema.
Corolario 1
En todo triángulo rectángulo la longitud de la mediana correspondiente a la hipotenusa es siempre ½ de la hipotenusa.
Corolario 2
La circunferencia circunscripta a todo triángulo rectángulo siempre tiene radio igual a ½ de la hipotenusa y su circuncentro se ubicará en el punto medio de la misma.
Aplicaciones del teorema
Las aplicaciones del teorema de Tales son muchas y muy importantes: la división de un segmento en partes proporcionales, la división de un segmento en partes iguales, la cuarta y tercera proporcional de dos segmentos dados, la media proporcional, la segmentación áurea, la cuarta proporcional de tres segmentos dados, el cálculo gráfico de productos y razones de segmentos dados, el cálculo de razones simples, razones dobles y cuaternas armónicas, la semejanza y el estudio de las escalas. Todas estas construcciones son de gran interés para la resolución de problemas y para el estudio de las transformaciones.
División de un segmento en partes proporcionales
Para dividir un segmento AD en partes proporcionales a las partes A’B’, B’C’ y C’D’ dadas, se traza una recta que pase por A definiendo así un haz de dos rectas. Sobre ella se llevan las magnitudes dadas. Por el extremo D’ trazando la recta DD’ . Se trazan paralelas a DD’ por los puntos B’ y C’ . Estas paralelas cortan al segmento dado en los puntos B y C. Por el teorema de Tales, se cumplirá que:
División de un segmento en partes iguales
Para dividir un segmento AB dado en n partes iguales, se traza una recta que pase por A. Se sitúa sobre ella con el compas, n partes iguales y se enumeran. En este caso n=9. Se dibuja la recta 9B y se trazan paralelas a ella por los puntos restantes, ordenadamente. Por ser equidistantes las paralelas los segmentos definidos sobre AB son igual.
Cuarta proporcional de tres segmentos
Dados tres segmentos a, b y c, se llama magnitud cuarta proporcional de ellos a un segmento d que verifica: a/b=c/d. Para hallarlo se aplica el teorema de Tales: se dibuja un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas se sitúan los segmentos a y c y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.
Se traza la recta que une los extremos de a y b y una paralela por el extremo de c. Esta paralela define el segmento d solución del problema, pues: a/b=c/d
Tercera proporcional de dos segmentos
Dados dos segmentos a y b, se llama magnitud tercera proporcional de ellos a un segmento c que verifica: a/b=b/c.
Se muestra que es un caso particular de cuarta proporcional, con los términos intermedios iguales.
Para hallarlo se aplica el teorema de Tales: se dibuja un haz de dos rectas. Sobre una de las rectas se sitúan los segmentos a y b y sobre la otra el segmento b, como se ve en la figura.
Se traza la recta que une los extremos de a y b y una paralela por el extremo de b. Esta paralela define el segmento c solución del problema, pues: a/b=b/c
Fuentes
- Artículo Teorema de Tales. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado: 14 de julio del 2011.
- Artículo Teorema de Tales. Disponible en "divulgamat.ehu.es". Consultado: 14 de julio del 2011.
- Artículo Aplicaciones del teorema de Tales. Disponible en "www.educared.org". Consultado: 14 de julio del 2011.
