Teorema de Wilson ( Teoría de números)

Teorema de Wilson ( Teoría de números) Concepto: Es una proposición de teoría de números relacionado con la primalidad de un número entero positivo.

Teorema de Wilson ( Teoría de números). En matemáticas, especialmente en la teoría de números hay una proposición que vincula tres conceptos: primalidad, factorial de un número entero no nulo y congruencia de números respecto de un módulo. Este es el teorema de Wilson.

Enunciado

(m-1)! ~ -1(mod m) siempre que m sea racional primo.

• Por cierto el recíproco de este teorema se puede demostrar con facilidad, en lenguaje implicativo, de

(k-1)! ~ -1(mod k) se deduce que k es primo, si ello no ocurriera k y (k-1)! tienen un divisor común, lo que es una contradicción. Por lo tanto , el teorema provee una condición necesaria y suficiente para que k sea un número primo.

Prueba

Vamos a considerar el conjunto de los números

1, 2, 3,…, m-2, m-1 y sea la pareja de 2 el número b2 de la lista para el cual 2 a2 ~ 1 (mod m) sabemos que tal número existe puesto que 2 es primo respectp a m. Después podemos vincular 3 con su pareja y así sucesivamente. Si h fuera su propia pareja, h al cuadrado sería congruente con 1 mod m, de donde h² -1 = 0, hecho que exige que h = m-1 o

h = 1. Luego descartando estos dos números se tiene:

(m-2)! ~ (2 b2)() ()… ()(mod m),

Donde en cada paréntesis hay dos números cuyo producto es congruente con 1 mod m, de donde:

(m-1)! ~ 1 (1) (1) … (1)(p-1) ~ -1 (mod)

Ejemplo

Lo anterior podemos esclarecer con un ejemplo. Sea m= 11. Ello implica 2y ~ 1 (mod 11) posee una solución = 6, por lo que 2 y 6 constituyen una pareja, la pareja de 4 es 3 y otros. Cabe escribir:

10! = 1(2.6) (3.4)(5.9)(7.8)(10)= 1.1.1.1.1.(-1) ~ -1.

Fuentes

• Capítulo V: Teoremas de Fermat, Euler y Wilson [1]. Consultado: 27 de febrero del 2020
• Teorema de Wilson [2]. Consultado: 27 de febrero del 2020