Diferencia entre revisiones de «Topología usual del plano»
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*Al interior del complemento de S respecto del plano X, se llama '''exterior de S''', denotado ''Ext (S) | *Al interior del complemento de S respecto del plano X, se llama '''exterior de S''', denotado ''Ext (S) | ||
* El punto L es ''' punto frontera''' del conjunto S, si un círculo abierto C(L; r) con centro en L contiene puntos del interior como del exterior de S. Se llama '''frontera ''' de S a todos los puntos frontera de S. <ref> Jose Tola P. Introducción a la Topología </ref>. | * El punto L es ''' punto frontera''' del conjunto S, si un círculo abierto C(L; r) con centro en L contiene puntos del interior como del exterior de S. Se llama '''frontera ''' de S a todos los puntos frontera de S. <ref> Jose Tola P. Introducción a la Topología </ref>. | ||
| − | * S dice que el punto P<sub>0</sub> del plano es '''punto de acumulación''' del conjunto S del plano, si cualquier círculo abierto que contiene a P<sub>0</sub> tiene como elemento otro punto distinto del plano. En realidad, cualquier entorno de P<sub>0</sub> contiene un conjunto infinito de puntos que están en en S. <ref>A. Markushevich ''Teoría de las funciones analíticas'' Tomo I Editorial Mir Moscú (1970) </ref> | + | * S dice que el punto P<sub>0</sub> del plano es '''punto de acumulación''' del conjunto S del plano, si cualquier círculo abierto que contiene a P<sub>0</sub> tiene como elemento otro punto distinto del plano. En realidad, cualquier entorno de P<sub>0</sub> contiene un conjunto infinito de puntos que están en en S. <ref>A. Markushevich ''Teoría de las funciones analíticas'' Tomo I Editorial Mir Moscú (1970) </ref>. Como ejemplo cualquier punto de una circunferencia es punto de acumulación del conjunto de puntos H de su círculo. Lo mismo el centro de un círculo es punto de acumulación del círculo dado. Y, por último, cualquier punto interior de un círculo es punto de acumulación del mismo. Al conjunto de todos lo puntos de acumulación de S se llama '''conjunto derivado''' de S ; se denota S<sup> d</sup> . |
* Por definición el plano, denotado por '''X''' y el conjunto vacío Ø son abiertos. Y en consecuencia también son cerrados por ser complementarios. | * Por definición el plano, denotado por '''X''' y el conjunto vacío Ø son abiertos. Y en consecuencia también son cerrados por ser complementarios. | ||
* '''Clausura''' del conjunto A en el plano X es la intersección de todos los cerrados que contienen a A. | * '''Clausura''' del conjunto A en el plano X es la intersección de todos los cerrados que contienen a A. | ||
Revisión del 13:41 22 sep 2017
Con el ánimo de presentar ciertas características topológicas de figuras del plano vamos a introducir definiciones pertinentes usuales, mediante el concepto de círculo abierto.
Sumario
Conjuntos y conceptos básicos
- Consideremos un círculo abierto de centro K y radio r, denotado por C(K; r), al conjunto de todos los puntos del plano cuya distancia a K es menor que el el real positivo r. Es el equivalente a un intervalo abierto simétrico de la recta: <a-d; a+d>. Se llama también vecindad o entorno de K.
- Diremos que un conjunto A del plano es abierto ( conjunto abierto) ,si para cualquiera de sus puntos existe un círculo abierto con centro en dicho punto K y que está contenido en A. Se considera que la unión de una clase cualquiera de abiertos es abierta y la intersección de una clase finita de abiertos es abierta. [1]. Como ejemplos de conjunto abierto tenemos: el interior y el exterior de un triángulo cualquiera. También lo es es un círculo sin considerar los puntos de su circunferencia.
- Diremos que un conjunto F del plano es cerrado si su complemento respecto del plano X es abierto.
- Un punto H es punto interior del conjunto S del plano si hay un círculo abierto C(H; r) con centro en H y radio r, contenido en S, . El conjunto de los puntos interiores de S, se llama interior de S , se denota Int(S).
- Al interior del complemento de S respecto del plano X, se llama exterior de S, denotado Ext (S)
- El punto L es punto frontera del conjunto S, si un círculo abierto C(L; r) con centro en L contiene puntos del interior como del exterior de S. Se llama frontera de S a todos los puntos frontera de S. [2].
- S dice que el punto P0 del plano es punto de acumulación del conjunto S del plano, si cualquier círculo abierto que contiene a P0 tiene como elemento otro punto distinto del plano. En realidad, cualquier entorno de P0 contiene un conjunto infinito de puntos que están en en S. [3]. Como ejemplo cualquier punto de una circunferencia es punto de acumulación del conjunto de puntos H de su círculo. Lo mismo el centro de un círculo es punto de acumulación del círculo dado. Y, por último, cualquier punto interior de un círculo es punto de acumulación del mismo. Al conjunto de todos lo puntos de acumulación de S se llama conjunto derivado de S ; se denota S d .
- Por definición el plano, denotado por X y el conjunto vacío Ø son abiertos. Y en consecuencia también son cerrados por ser complementarios.
- Clausura del conjunto A en el plano X es la intersección de todos los cerrados que contienen a A.
Casos de figuras conocidas
Semiplano
Una recta l determina sobre el plano dos conjuntos disjuntos S_1 y S_2, llamados semiplanos. La recta separatriz no se considera parte de ninguno de los semiplanos. En esas condiciones cada semiplano es un conjunto abierto; también su interior coincide con el mismo. El exterior del semiplano S_2 es el semiplano S_2 y viceversa. La clausura de S_1 es la unión de él mismo con la recta l. La frontera de los dos semiplanos S_1 y S_2 es la recta separatriz l.
Una recta del plano
La recta l determina dos semiplanos que son abiertos y estos son su complemento de l. En consecuencia es cerrado. Su interior es el conjunto vacío; su clausura es es el mismo, igual que su frontera.
Invariantes de una transformación
Las propiedades de las figuras que una transformación dada no altera se llaman invariantes de esta transformación. Como ejemplo la propiedad de una figura de sr un ángulo es un invariante de la simetría central.
Invariantes de la simetría central
- La propiedad de una figura de ser rayo.
- La propiedad de una una figura de ser segmento de recta.
- La propiedad de una figura de ser semicircunferencia y su diámetro.
- La propiedad de de una figura de ser bisectriz de un ángulo.
- La propiedad del triángulo de tener tres vértices y tres lados.
- La propiedad de ser diagonales de un rectángulo.
- La propiedad de una figura de ser una curva cerrada en forma de ocho. [4]
