Triángulo equilátero

Triángulo equilátero Concepto: Triángulo con sus tres lados iguales.

Triángulo equilátero. En geometría euclidiana plana son aquellos triángulos que tienen todos sus lados iguales.

La definición proviene del griego donde los términos equis y latero se refiere a iguales y lados respectivamente.

Esta clase de triángulos debido a la igualdad de sus lados posee un serie de propiedades que particularizan otras características geométricas y de cálculo, que han sido estudiadas desde los tiempos más remotos de la Humanidad.

Definiciones.

Sea un triangulo que tenga un todos sus lados de la misma longitud iguales, se dice que es un triángulo equilátero.

Propiedades.

La particularidad de los triángulos equiláteros de poseer los 3 lados iguales, hace que todas sus propiedades geométricas y de cálculo tengan características muy notables, respecto a otras figuras y otras clases de triángulos.

Primero: todo triángulo equilátero es también isósceles, pudiendo tomarse por base a cualquiera de sus tres lados. Lo inverso no es válido.

Los tres ángulos del triángulo son iguales entre sí y tienen una amplitud de 60^o. Lo cual es evidente si se recuerda la propiedad de que a lados iguales se oponen ángulos iguales en el mismo triángulo y como la suma de los ángulos interiores de un triángulo debe ser 180^o, cada uno debe tener amplitud de 60^o para satisfacer ambas propiedades de la geometría euclideana.

Si se conoce que los puntos A=(x_A;y_A), B=(x_B;y_B), C=(x_C;y_C) son los vértices de un triángulo, para que éste sea equilátero debe cumplirse que la distancia entre cada par sea la misma.

Los triángulos equiláteros son los polígonos regulares más simples.

Dado un triángulo equilátero ABC y el punto M, el baricentro, al unir los puntos A, B, M , C, A, se construye un cuadrilátero cóncavo simétrico respecto de la bisectriz A, con vértice M del ángulo entrante; la diagonal AM en el interior del cuadrilátero y BC, diagonal en el exterior del polígono.

Rectas notables de los triángulos equiláteros.

Por demás, todas las rectas notables de los triángulos relativas a cada lado coinciden con la respectiva altura que tienen la misma longitud h como se ve en la figura que sigue:

• 

donde . Esto se traduce en que la mediatriz, bisectriz, mediana y altura son coincidentes en los triángulos equiláteros y que además son todas iguales, pero esto posee otras implicaciones.

Sean los puntos A, B, C, definidos como se hizo antes, los vértices de un triángulo equilátero, las coordenadas de los segmentos correspondientes a cada recta notable vendrían dadas por un método muy sencillo. Bastaría con recordar que una mediana es la recta que va desde un vértice del triángulo hasta el punto medio del lado opuesto y como una mediana de triángulo equilatero coincide con las demás rectas notables. De modo que si:

• 
• 
• 

Son las coordenadas de los puntos medios correspondientes a los segmentos , , , respectivamente; entonces cada mediana correspondería a los segmentos , , .

También los conocidos puntos de convergencia de las rectas notables: circuncentro, baricentro, incentro y ortocentro, coinciden en el caso del triángulo equilátero y para nuestro puede hallarse su coordenada en los 2/3 de la longitud del segmento , partiendo de A o expresado vectorialmente o sus coordenadas:

• 

Esta misma propiedad permite determinar tanto el radio de la circunferencia inscrita (r) como el de la circunscrita (R) con los valores:

• 
• 

En el caso de r también se puede denominar para los triángulos equiláteros como apotema, ya que estos son los polígunos regulares más sencillos.

Longitud y área.

Una vez conocido el valor de a (lado del triángulo equilátero) la determinación del perímetro 2p y el área A viene dada por las fórmulas:

• 2p=3a.
• 

• A = a²3^1/2/ 4
• A = 3^3/2R²/4, en donde R es el radio del círculo circunscrito.
• A = r ² 3^3/2. siendo r el radio del círculo inscrito.

Área máxima

Entre los triángulos inscritos en una circunferencia, el triángulo equilátero es el que tiene mayor área. Esto resulta de la fórmula A = abc/R, con la condición de que a+b+c = 2p es constante; para que un producto de varios factores alcance el máximo es necesario que los factores sen iguales; luego a=b=c, esto implica que el triángulo es equilátero.

Los casos específicos de los tres teoremas trigonométricos (seno, coseno, tangente) toman versiones particulares de las cuales solo el de los senos reporta una utilidad práctica:

• (Teorema de los senos).

El de los cosenos devuelve apenas el conocido resultado de cos 60^o=0.5 y el de las tangentes se indefine.

Referencias

Fuentes.

1. I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir, Moscú. 1973.
2. Colectivo de autores. Libro de texto Matematica 11no grado. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. 1990.
3. Triángulo equilátero en Wikipedia. Revisado 20 de mayo de 2012.