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| | |concepto= [[Operación binaria]] entre dos [[vector]]es de un [[espacio euclídeo|espacio euclídeo tridimensional]] que da como resultado un vector [[ortogonal]] a los dos vectores originales | | |concepto= [[Operación binaria]] entre dos [[vector]]es de un [[espacio euclídeo|espacio euclídeo tridimensional]] que da como resultado un vector [[ortogonal]] a los dos vectores originales |
| | }} | | }} |
| − | En [[álgebra lineal]], el '''producto vectorial''' es una [[operación binaria]] entre dos [[vector]]es de un [[espacio euclídeo|espacio euclídeo tridimensional]] que da como resultado un vector [[ortogonal]] a los dos vectores originales. Con frecuencia se lo denomina también '''producto cruz''' (pues se lo denota mediante el símbolo ×) o '''producto externo''' (pues está relacionado con el [[producto exterior]]).
| + | El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a: |
| | + | |
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| − | == Definición ==
| + | |
| − | Sean dos vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math> en el [[espacio vectorial]] <math>\mathbb{R}^3</math>. El producto vectorial entre <math>\mathbf a\,</math> y <math>\mathbf b\,</math> da como resultado un nuevo vector, <math>\mathbf c\,</math>. Para definir este nuevo vector es necesario especificar su [[módulo]] y [[dirección]]:
| + | |
| | + | El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante: |
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| − | * El '''módulo''' de <math>\mathbf c\,</math> está dado por
| + | Ejemplos |
| − | :<math> c = a \, b \, \sin\theta</math>
| + | Calcular el producto vectorial de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2). |
| − | donde ''θ'' es el ángulo determinado por los vectores '''a''' y '''b'''.
| + | |
| − | * La '''dirección''' del vector '''c''', que es ortogonal a '''a''' y ortogonal a '''b''', está dada por la [[regla de la mano derecha]].
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| − | El producto vectorial entre '''a''' y '''b''' se denota mediante '''a''' × '''b''', por ello se lo llama también ''producto cruz''. En los textos manuscritos, para evitar confusiones con la letra '''x''' (equis), es frecuente denotar el producto vectorial mediante '''a''' ∧ '''b'''.
| + | |
| | | | |
| − | El producto vectorial puede definirse de una manera más compacta de la siguiente manera:
| + | |
| − | {{ecuación|
| + | Dados los vectores y , hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y . |
| − | <math>{\mathbf a \times \mathbf b = {a} \, {b} \, {\sin}{\theta}
| + | |
| − | \ \hat\mathbf n}</math>
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| − | ||left}}
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| − | donde <math>\hat\mathbf n</math> es el [[vector unitario]] y [[Ortogonalidad (matemáticas)|ortogonal]] a los vectores '''a''' y '''b''' y su dirección está dada por la [[regla de la mano derecha]] y ''θ'' es, como antes, el ángulo entre '''a''' y '''b'''. A la regla de la mano derecha se la llama a menudo también regla del sacacorcho.
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| − | === Producto vectorial de dos vectores ===
| + | |
| − | [[Archivo:Producto vectorial 2.png|right|Producto vectorial.]]
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| − | Sean <math> \mathbf u = u_x \mathbf i + u_y \mathbf j + u_z \mathbf k </math> y <math> \mathbf v = v_x \mathbf i + v_y \mathbf j + v_z \mathbf k </math> dos vectores concurrentes de <math> \mathbb{R}^3 </math>, el [[espacio afín]] tridimensional según la base anterior.
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| | | | |
| − | Se define el producto <math> \times : \mathbb{R}^3 \times \mathbb{R}^3 \longrightarrow \mathbb{R}^3 </math>, y se escribe <math> \mathbf u \times \mathbf v </math>, como el vector:
| + | |
| − | {{ecuación|
| + | El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y . |
| − | <math>
| + | |
| − | \mathbf u \times \mathbf v =
| + | Área del paralelogramo |
| − | \begin{vmatrix}u_y & u_z \\v_y & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf i
| + | Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores. |
| − | - \begin{vmatrix}u_x & u_z \\v_x & v_z \\\end{vmatrix} \mathbf j
| + | |
| − | + \begin{vmatrix}u_x & u_y \\v_x & v_y \\\end{vmatrix} \mathbf k
| |
| − | </math>
| |
| − | ||left}}
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| − | En el que
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| − | :<math>\begin{vmatrix}a & c \\ b & d \\ \end{vmatrix} = a \cdot d - b \cdot c </math>, es el [[Determinante (matemáticas)|determinante]] de orden 2.
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| − | O usando una notación más compacta, mediante el desarrollo por la primera fila de un determinante simbólico de orden 3 (simbólico ya que los términos de la primera fila no son escalares):
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| − | {{ecuación|
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| − | <math>
| |
| − | \mathbf u \times \mathbf v =
| |
| − | \begin{vmatrix}
| |
| − | \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\
| |
| − | u_x & u_y & u_z \\
| |
| − | v_x & v_y & v_z \\
| |
| − | \end{vmatrix}
| |
| − | =
| |
| − | \begin{vmatrix}
| |
| − | u_y & u_z \\
| |
| − | v_y & v_z \\
| |
| − | \end{vmatrix}
| |
| − | \cdot \mathbf i -
| |
| − | \begin{vmatrix}
| |
| − | u_x & u_z \\
| |
| − | v_x & v_z \\
| |
| − | \end{vmatrix}
| |
| − | \cdot \mathbf j +
| |
| − | \begin{vmatrix}
| |
| − | u_x & u_y \\
| |
| − | v_x & v_y \\
| |
| − | \end{vmatrix}
| |
| − | \cdot \mathbf k
| |
| − | </math>
| |
| − | ||left}}
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| − | Que da origen a la llamada [[regla de la mano derecha]] o regla del sacacorchos: girando el primer vector hacia el segundo por el ángulo más pequeño, la dirección de <math> \mathbf u \times \mathbf v </math> es el de un sacacorchos que gire en la misma dirección.
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| | | | |
| − | La siguiente expresión, aunque carece de significado matemático estricto, sirve de método nemónico para recordar el orden de las coordenadas en el producto:{{citarequerida}}
| + | |
| − | {{ecuación|
| |
| − | <math> \mathbf{u} \times \mathbf{v} =
| |
| − | \begin{bmatrix} u_x\\ u_y\\ u_z \end{bmatrix} \times
| |
| − | \begin{bmatrix} v_x\\ v_y\\ v_z \end{bmatrix} =
| |
| − | \begin{bmatrix} u_yv_z-u_zv_y\\ u_zv_x-u_xv_z\\ u_xv_y-u_yv_x \end{bmatrix}
| |
| − | </math>||left}}
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| | | | |
| − | === Ejemplo ===
| + | Ejemplo |
| − | El producto vectorial de los vectores <math>\mathbf a = (2,0,1)</math> y <math>\mathbf b = (1,-1,3)</math> se calcula del siguiente modo:
| + | Dados los vectores y , hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y · |
| − | {{ecuación|
| + | |
| − | <math>\mathbf a \times \mathbf b =
| |
| − | \begin{vmatrix}\mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\2 & 0 & 1 \\1 & -1 & 3 \\\end{vmatrix} </math>
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| − | ||left}}
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| − | Expandiendo el [[Determinante (matemática)|determinante]]:
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| − | {{ecuación|
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| − | <math>\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf i \begin{vmatrix}0 & 1 \\-1 & 3 \\\end{vmatrix} - \mathbf j \begin{vmatrix}2 & 1 \\1 & 3 \\\end{vmatrix} +
| |
| − | \mathbf k \begin{vmatrix}2 & 0 \\1 & -1 \\\end{vmatrix} =
| |
| − | \mathbf i - 5 \mathbf j - 2 \mathbf k
| |
| − | </math>
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| − | ||left}}
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| − | Puede verificarse fácilmente que <math>\mathbf a \times \mathbf b</math> es ortogonal a los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math> efectuando el [[producto escalar]] y verificando que éste es nulo (condición de [[perpendicular]]idad de vectores).
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| − | ==Propiedades==
| + | |
| − | Cualesquiera que sean los vectores <math> \mathbf a </math>, <math> \mathbf b </math> y <math> \mathbf c </math>:
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| − | #<math> \mathbf a \times \mathbf b = - (\mathbf b \times \mathbf a) </math>, ([[anticonmutatividad]])
| + | Área de un triángulo |
| − | #Si <math>\mathbf a \times \mathbf b = \mathbf 0</math> con <math>\mathbf a \neq \mathbf 0 </math> y <math> \mathbf b \neq \mathbf 0 </math>, <math>\Rightarrow \mathbf a \| \mathbf b </math>; esto es, la anulación del producto vectorial proporciona la [[condición de paralelismo]] entre dos direcciones.
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| − | #<math> ( \mathbf a + \mathbf b ) \times \mathbf c = \mathbf a \times \mathbf c + \mathbf b \times \mathbf c </math>.
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| − | #<math>\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) = \mathbf b (\mathbf a \cdot \mathbf c) - \mathbf c (\mathbf a \cdot \mathbf b)</math>, conocida como [[regla de la expulsión]].
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| − | #<math>\mathbf a \times (\mathbf b \times \mathbf c ) + \mathbf c \times (\mathbf a \times \mathbf b ) + \mathbf b \times (\mathbf c \times \mathbf a ) = 0</math>, conocida como identidad de [[Carl Gustav Jakob Jacobi|Jacobi]].
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| − | #<math>|\mathbf a \times \mathbf b| = a \, b \, \sin \theta </math>, en la expresión del término de la derecha, sería el módulo de los vectores a y b, siendo <math> \theta </math> ,el ángulo menor entre los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math>; esta expresión relaciona al producto vectorial con el área del [[paralelogramo]] que definen ambos vectores.
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| − | #El vector unitario <math> \hat\mathbf n = \frac{ \mathbf a \times \mathbf b }{|\mathbf a \times \mathbf b|} </math> es normal al [[plano (geometría)|plano]] que contiene a los vectores <math>\mathbf a</math> y <math>\mathbf b</math>.
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| − | === Bases ortonormales y producto vectorial ===
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| − | Sea un [[sistema de referencia]] <math> S = \{O; \mathbf i , \mathbf j , \mathbf k \} </math> en el [[espacio vectorial]] <math>\mathbb{R}^3</math>. Se dice que <math> S \,</math> es una [[Base (álgebra)|base]] ortonormal ''derecha'' si cumple con las siguientes condiciones:
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| − | # <math> \mathbf i \cdot \mathbf j = \mathbf j \cdot \mathbf k = \mathbf k \cdot \mathbf i = 0 </math>; es decir, los tres vectores son [[ortogonal]]es entre sí.
| + | Ejemplo |
| − | # <math> |\mathbf i|= |\mathbf j|= |\mathbf k|= 1 </math>; es decir, los vectores son [[Vector unitario|vectores unitarios]] (y por lo tanto, dada la propiedad anterior, son [[ortonormal]]es).
| + | Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1). |
| − | # <math>\mathbf i \times \mathbf j = \mathbf k </math>, <math> \mathbf j \times \mathbf k = \mathbf i </math>, <math> \mathbf k \times \mathbf i = \mathbf j</math>; es decir, cumplen la [[regla de la mano derecha]].
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| − | ===Vectores axiales===
| + | |
| − | Cuando consideramos dos magnitudes físicas vectoriales, su producto vectorial es otra mangitud física aparentemente vectorial que tiene un extraño comportamiento respecto a los cambios de sistema de referencia. Los vectores que presentan esas anomalías se llaman [[vector axial|pseudovectores o vectores axiales]]. Esas anomalías se deben a que no todo ente formado de tres componentes es un [[vector (física)#Requirimientos físicos de las magnitudes vectoriales|vector físico]].
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| − | === Dual de Hodge ===
| + | |
| − | {{AP|Dual de Hodge}}
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| − | En el formalismo de la [[geometría diferencial]] de las [[variedad riemanniana|variedades riemannianas]] la noción de producto vectorial se puede reducir a una operación de dual de Hodge del producto de dos formas diferenciales naturalmente asociadas a dos vectores. Así el producto vectorial es simplemente:
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| − | {{ecuación|
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| − | <math>\mathbf{a} \times \mathbf{b} =
| |
| − | *(\phi_\mathbf{a} \wedge \phi_\mathbf{b})</math>
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| − | ||left}}
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| − | Donde <math>\phi_\mathbf{a}, \phi_\mathbf{b}</math> denotan las 1-formas naturalmente asociadas a los dos vectores.
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| − | ==Generalización==
| + | |
| − | Aunque el producto vectorial está definido solamente en tres dimensiones, éste puede generalizarse a <math>n</math> dimensiones, con <math>n \ne {0,1}</math> y sólo tendrá sentido si se usan <math>n-1</math> vectores, dependiendo de la dimensión en la que se esté. Así, por ejemplo, en dos dimensiones el producto vectorial generalizado sólo tiene sentido si se usa un vector, y el resultado es un vector ortogonal.
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| | | | |
| − | Desde un punto de vista tensorial el producto generalizado de ''n'' vectores vendrá dado por:
| + | |
| − | {{ecuación|
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| − | <math>V^a = \epsilon^{aa_1\dots a_{n-1}}V_1^{a_1}\dots V_{n-1}^{a_{n-1}}</math>
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| − | ||left}}
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| − | == Otros productos vectoriales ==
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| − | | |
| − | Dados dos vectores, se definen tres [[operación matemática|operaciones matemáticas]] de tipo producto entre ellos:
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| − | * [[producto escalar]]
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| − | * producto vectorial
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| − | * [[producto tensorial]]
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| − | | |
| − | El producto escalar de vectores permite determinar ángulos y distancias (véase [[operador norma]]) de una forma fácil y directa. El producto vectorial proporciona un modo para determinar ángulos y áreas de paralelogramos definidos por dos vectores de una forma tal que permitirá expresar volúmenes fácilmente mediante el llamado [[producto mixto]] de tres vectores.
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| − | | |
| − | En el [[espacio afín]] bidimensional, <math> \mathbb{R}^2 </math>, el producto vectorial es una operación externa, ya que da como resultado un vector que no pertenece al mismo [[espacio vectorial]], esto es al plano definido por los dos vectores que se operan, por ser un vector perpendicular a dicho plano. En el [[espacio afín]] tridimensional, <math> \mathbb{R}^3 </math>, el producto vectorial es una operación interna.
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| | + | Propiedades del producto vectorial |
| | + | 1. Anticonmutativa |
| | + | |
| | + | x = − x |
| | + | |
| | + | 2. Homogénea |
| | + | |
| | + | λ ( x ) = (λ) x = x (λ) |
| | + | |
| | + | 3. Distributiva |
| | + | |
| | + | x ( + ) = x + x · |
| | + | |
| | + | 4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo. |
| | + | |
| | + | x = |
| | + | |
| | + | 5. El producto vectorial x es perpendicular a y a . |
| | == Véase también == | | == Véase también == |
| | * [[Producto escalar]] | | * [[Producto escalar]] |
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El producto vectorial de dos vectores es otro vector cuya dirección es perpendicular a los dos vectores y su sentido sería igual al avance de un sacacorchos al girar de u a v. Su módulo es igual a:
El producto vectorial se puede expresar mediante un determinante:
Ejemplos
Calcular el producto vectorial de los vectores = (1, 2, 3) y = (−1, 1, 2).
Dados los vectores y , hallar el producto vectorial de dichos vectores. Comprobar que el vector hallado es ortogonal a y .
El producto vectorial de es ortogonal a los vectores y .
Área del paralelogramo
Geométricamente, el módulo del producto vectorial de dos vectores coincide con el área del paralelogramo que tiene por lados a esos vectores.
Ejemplo
Dados los vectores y , hallar el área del paralelogramo que tiene por lados los vectores y ·
Área de un triángulo
Ejemplo
Determinar el área del triángulo cuyos vértices son los puntos A(1, 1, 3), B(2, −1, 5) y C(−3, 3, 1).
Propiedades del producto vectorial
1. Anticonmutativa
x = − x
2. Homogénea
λ ( x ) = (λ) x = x (λ)
3. Distributiva
x ( + ) = x + x ·
4. El producto vectorial de dos vectores paralelos en igual al vector nulo.
x =
5. El producto vectorial x es perpendicular a y a .
Véase también
Fuentes
- Ortega, Manuel R. (1989-2006). . Monytex.
- Resnick,Robert & Krane, Kenneth S. (2001). . New York: John Wiley & Sons.
