EcuRed - Contribuciones del colaborador [es]

Jerarquía

2011-06-12T22:38:18Z

Luis01:

{{Definición
|nombre= Relaciones jerárquicas
|imagen= Jerarquia.gif
|tamaño=
|concepto= <div align = "justify"> Orden de los elementos que divide su [[serie]] según su valor. Puede aplicarse a personas, animales o cosas, en orden ascendente o descendente, según criterios de clase, poder, oficio, [[categoría]], [[autoridad]] o cualquier otro asunto que conduzca a un sistema de clasificación.</div>
}}
<div align = "justify"> Una '''jerarquía''' o '''relación jerárquica''' es una relación ordenada de elementos según su valor. Esto puede aplicarse a [[personas]], [[animales]] o [[cosas]], en orden ascendente o descendente, según criterios de clase, poder, oficio, categoría, autoridad o cualquier otro asunto que conduzca a un sistema de clasificación. En base de datos suele utilizarse una especie de jerarquía para otorgar permisos a los usuarios.</div>

== Jerarquia de datos ==
<div align = "justify"> Se pueden definir las relaciones jerárquicas entre diferentes valores y evaluarlos en la investigación. Por ejemplo, se puede representar una jerarquía de [[productos]] o [[clientes]] para su [[empresa]]. Se pueden definir varias versiones de una jerarquía usando las variantes, que después pueden visualizarse en los informes.
Se crea una jerarquía de datos maestros en base a los datos maestros pertenecientes a la característica o a los valores de característica. Obsérvese que cuando distintas características se refieren a la misma tabla de datos maestros, la jerarquía también es la misma. No pueden crearse jerarquías externas para características sin tablas de datos maestros. Éste es el caso de las características creadas para el release 3.0 sin [[tablas]] de verificación ni de texto.
Las jerarquías se basan en una característica. Esto significa que los valores de característica de una sola característica están contenidos en una jerarquía. Adicionalmente cada uno de los valores de característica sólo puede aparecer una vez en la jerarquía. En consecuencia, cada uno de los valores permanece unívoco en la jerarquía global.
Se pueden crear varias jerarquías alternativas basadas en la misma característica con el fin de simular distintas combinaciones. Las jerarquías alternativas están almacenadas en las variantes de jerarquía. Pueden crearse hasta 999 variantes distintas de jerarquía para una sola característica.</div>

== Jerarquías de componentes ==
<div align = "justify"> Las jerarquías [[estándar]] existen para determinados [[objetos]] en otros componentes de [[aplicación]]. Igual que con las otras características, puede crearse en EC-EIS una jerarquía de datos separada y actualizar distintas variantes. A veces, también puede ser útil informar sobre las jerarquías estándar en el EC-EIS. Las jerarquías estándar creadas en otros componentes de [[aplicación]], se pueden utilizar como jerarquías de referencia en el EC-EIS. Esto significa que no se deben reconstruir dichas jerarquías en EIS. Obsérvese que no se puede cambiar la jerarquía de referencia en el EC-EIS. Los cambios de la jerarquía deberán realizarse en el componente de aplicación original. Por ejemplo, la jerarquía estándar para los centros de coste deberá actualizarse en la [[Contabilidad]] de centros de coste.
Las jerarquías de [[referencia]] que se pueden usar en el EC-EIS son las jerarquías de centros de coste, clases de coste y centros de beneficio, así como la estructura organizativa de HR, el grupo de empresas y la estructura de balance/PyG. Para que se visualice la jerarquía de referencia en EIS, la característica correspondiente en SAP-EIS (por ejemplo, el centro de coste) deberá referirse al [[objeto]] original (elemento de datos y [[dominio]]) en el componente de aplicación. Si todavía existe una jerarquía en un componente y la característica correspondiente se actualiza en el aspecto, la jerarquía aparecerá automáticamente para efectuar una selección durante la investigación. Si ya se han creado en el EC-EIS una o más variantes de jerarquía para la característica, éstas son las que se ofrecerán. En el Customizing se configura el modo en el que deberían fijarse dentro de un informe para cada jerarquía.</div>

== Jerarquia de permisos ==
<div align = "justify"> El [[Motor]] de base de datos administra un conjunto jerárquico de [[entidades]] que se pueden proteger mediante permisos. Estas entidades se conocen como asegurables. Los asegurables más importantes son los servidores y las bases de datos, aunque se pueden establecer permisos discretos en niveles menores. [[Microsoft SQL Server]] regula las acciones de las entidades de seguridad en los asegurables comprobando que se les han concedido los permisos adecuados. </div>

== Bibliografía ==

# [http://www.google.com.cu/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBoQFjAA&url=http%3A%2F%2Ftechnet.microsoft.com%2Fes-es%2Flibrary%2Fms191465(v%3Dsql.90).aspx&rct=j&q=jerarqu%C3%ADa%20de%20permisos&ei=jzz1TevyNYrX0QHBsoXsDA&usg=AFQjCNHX9GiBoVqi-5mJWnvNIlhiWWvkWw&cad=rja Jerarquía de permisos]
# [http://www.google.com.cu/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CDcQFjAE&url=http%3A%2F%2Fhelp.sap.com%2Fsaphelp_40b%2Fhelpdata%2Fes%2F5c%2Fc1c439445f11d189f00000e81ddfac%2Fcontent.htm&rct=j&q=jerarqu%C3%ADa%20de%20datos&ei=9Dz1Td-RBurs0gGuzbDtDA&usg=AFQjCNFotKNNCjaVE9A0ezEn3HX33_ADGg&cad=rja Jerarquía de datos maestros]
# [http://www.google.com.cu/url?sa=t&source=web&cd=5&ved=0CDcQFjAE&url=http%3A%2F%2Fhelp.sap.com%2Fsaphelp_40b%2Fhelpdata%2Fes%2F5c%2Fc1c439445f11d189f00000e81ddfac%2Fcontent.htm&rct=j&q=jerarqu%C3%ADa%20de%20datos&ei=9Dz1Td-RBurs0gGuzbDtDA&usg=AFQjCNFotKNNCjaVE9A0ezEn3HX33_ADGg&cad=rja Jerarquía de datos maestros]

[[Category:Ciencias_Aplicadas_y_Tecnologías]] [[Category:Informática]][[Category:Bases_de_datos]]

Usuario:Luis01

2011-06-12T22:36:51Z

Luis01:

{{Ficha_Usuario_(avanzada)
|imagen= Luis01.JPG
|apellidos= Nuñez Nieves.
|nombre= Luis
|nivel= Preuniversitario
|título= Bachiller Técnico en Informática
|postgrado=
|temas=
|institución= [[Universidad de las Ciencias Informáticas]]
|municipio= [[Ciego de Ávila]]
|provincia= [[Ciego de Ávila]]
|país= Cuba
|seguimiento=
|colaboradores=
}}
<div align = "justify">'''Luis Nuñez Nieves''': Nacido el [[13 de noviembre|13 de noviembre]] de [[1990|1990]], en la provincia de [[Ciego de Ávila|Ciego de Ávila]], donde vive actualmente con sus padres. Sus primeros años de vida transcurrieron en una pequeña comunidad del municipio [[Primero de Enero|Primero de Enero]], donde vivió hasta los 18 años. En ese lugar cursó sus estudios primarios, en la escuela República de Nicaragua, donde resultó ser un estudiante destacado en varias ocasiones, como resultado de los eventos y concursos en los que participó.<br>Posteriormente ingresó en la escuela Secundaria Básica [[Carlos Juan Finlay|Carlos Juan Finlay]], donde siguió esta línea de buen estudiante que conquistó desde pequeño. Pronto llegó la hora de pasar a un nivel superior, por lo que se presentó a las pruebas de ingreso al Instituto Politécnico de Informática [[Rafael Simón Morales y González|Rafael Morales González]], centro en el cual ingresó posteriormente en el año [[2004|2004]].<br>En este centro no tuvo una actividad estudiantil muy amplia, ya que solamente se centró en perfeccionar sus resultados académicos. Luego de haber pasado un año cumpliendo con su deber en las filas del [[Servicio Militar Activo|Servicio Militar Activo(SMA)]], ingresó en la [[Universidad de las Ciencias Informáticas|Universidad de las Ciencias Informáticas (UCI)]], donde cursa el segundo año actualmente.</div>

<br><br> <div><div style="float: left; width: 55%;">
{{Sistema:Cuadro|azul
|título= Contactos personales:
|enlace= Usuario:Luis01/Para contactarme:
|logo=Icon_bombillo.png‎
|px=20
|leyenda= Para contactarme:
|altura=130
|contenido= '''Correos:'''
<br>[mailto:lnnieves@estudiantes.uci.cu''''lnnieves@estudiantes.uci.cu''''']
<br>[mailto:louissnn1990@gmail.com'''' louissnn1990@gmail.com''''']
<br>[mailto:louissnn1990@yahoo.es'''' louissnn1990@yahoo.es''''']
<br>'''Teléfono:'''
UCI: 07-837-3016
}}
</div> <div style="float: left; width: 55%;">
{{Sistema:Cuadro|azul
|título= Mis contribusiones a la EcuRed
|enlace=
|logo= Pagesnew_marco_usuario.png
|px=20
|leyenda= Artículos
|altura= 200
|contenido=
#[[Matemática numérica|'''Matemática Numérica.''']]
#[[Heavy metal|'''Heavy Metal''']]
#[[Metales de trancisión|'''Metales de trancisión''']]
#[[Géneros musicales|'''Géneros musicales''']]
#[[Papiro de Rhind|'''Papiro de Rhind''']]
# [[Papiro|'''Papiro''']]
# [[Funciones de consulta| '''Funciones de consulta''']]
# [[Funciones de agrupación | '''Funciones de agrupación''']]
# [[Funciones OLAP|'''Funciones OLAP''']]
# [[Cláusulas|'''Cláusulas''']]
# [[Jerarquía|'''Jerarquía''']]
}}
</div> </div>

Jerarquía

2011-06-12T22:35:29Z

Luis01: Página creada con '{{Definición |nombre= Relaciones jerárquicas |imagen= Jerarquia.gif |tamaño= |concepto= <div align = "justify"> Orden de los elementos que divide su serie según su valo...'

Usuario:Luis01

2011-06-12T21:07:51Z

Luis01:

Cláusulas

2011-06-12T21:05:13Z

Luis01: Página creada con '{{Definición |nombre= Cláusula |imagen= |tamaño= |concepto= <div align = "justify"> Una cláusula es una disyunción de literales. En cálculo proposicional, normalm...'

{{Definición
|nombre= Cláusula
|imagen=
|tamaño=

|concepto= <div align = "justify"> Una cláusula es una [[disyunción]] de literales. En [[cálculo proposicional]], normalmente se escriben de la forma siguiente: l1v ... vln, donde cada li, con i = {1,...,n} es un literal. De la misma manera, se denomina cláusula conjuntiva a una conjunción de literales. </div>
}}
Una '''cláusula''' en [[base de datos|Base de Datos]] se proyecta de manera similar a las cláusulas que comúnmente podemos ver en la [[lógica matemática]]. Estas no son más que condiciones de modificación utilizadas para definir los datos que desea seleccionar o manipular.

== Clásusulas de SQL ==
=== Cláusula FROM ===
<div align = "justify"> La cláusula FROM lista las [[tablas]] o [[ficheros]] que contienen los datos a recuperar por la [[consulta]]. El formato de esta cláusula es: ''FROM nombretabla [alias_tabla] ...''
* nombretabla: puede ser una o mas nombres de tabla en el [[directorio]] de trabajo si se omite este, o en un directorio distinto si se especifica.
* alias_tabla: es un nombre que se usa para referirse a la tabla en el resto de la sentencia SELECT para abreviar el nombre original y hacerlo más manejable, en el caso de existir más de una tabla en la consulta y, también para poder realizar consultas uniendo varias veces la misma tabla.</div>

==== Ejemplo: ====
<div align = "justify">
''SELECT A.NOMBRE, A.APELLIDOS FROM MATRICUL M, ALUMNOS A WHERE M.MATRICULA = A.MATRICULA AND M.GRUPO = ‘1A’ AND ANNO = 1995''. Es mucho más práctico y sencillo que:

''SELECT ALUMNOS.NOMBRE, ALUMNOS.APELLIDOS FROM MATRICUL, ALUMNOS WHERE MATRICUL.MATRICULA = ALUMNO.MATRICULA AND MATRICUL.GRUPO = ‘1A’ AND ANNO = 1995''
Las dos sentencias son idénticas y nos devolverían los nombres y apellidos del alumnado matriculado en el año [[1995]] y que figuran en el grupo 1A. El nombre de tablas junto al nombre de campo es obligatorio cuando existan campos con nombre idéntico en las tablas que formen parte de la sentencia. Así en el ejemplo anterior NOMBRE y APELLIDOS no lo necesitarían (aunque este puesto) pero MATRICULA si lo necesita porque en las dos tablas existe un [[campo]] con ese nombre. Si no se pudiera utilizar alias, no se podría unir una tabla consigo misma y la siguiente consulta no se podría llevar a cabo: ''SELECT A.NOMBRE, A.APELLIDOS, H.NOMBRE FROM ALUMNOS A, ALUMNOS H WHERE A.PADRE = H.PADRE'' que nos devolverá el nombre de aquellos alumnos/as que tienen el mismo padre, es decir, son hermanos.</div>

=== Cláusula WHERE ===
<div align = "justify"> La cláusula WHERE dice a SQL que incluya solo ciertas filas o [[registros]] de [[datos]] en los resultados de la consulta, es decir, que tienen que cumplir los registros que se desean ver. La cláusula WHERE contiene condiciones en la forma: ''WHERE expresión1 [[operador]] expresion2''
* expresión1 y expresion2: pueden ser nombres de campos, valores [[constantes]] o [[expresiones]].
* operador: es un operador relacional que une dos expresiones. Más tarde se verán los distintos operadores que se puede utilizar.
Por ejemplo, la siguiente sentencia nos muestra el nº de alumnos que han nacido con posterioridad a [[1985]].
''SELECT COUNT(*) FROM ALUMNOS WHERE YEAR(FECHA_NACIMIENTO) > [[1985]]'' </div>

=== Cláusula GROUP BY ===
<div align = "justify"> La cláusula GROUP BY especifica una consulta sumaria. En vez de producir un fila de resultados por cada fila de datos de la base de datos, una consulta sumaria agrupa todas las filas similares y luego produce una fila sumaria de resultados para cada grupo. Seguido de la cláusula GROUP BY se especifican los nombres de uno o más campos cuyos resultados se desean agrupados. Tiene la forma: ''GROUP BY expresión_columna''

* expresión_columna: debe coincidir con la expresión de columna utilizada en la cláusula SELECT. Puede ser uno o más nombres de campo de una tabla, separados por coma o una o más expresiones separadas por comas.
El siguiente ejemplo nos dice cuantos alumnos están matriculados en cada grupo en el año [[1995]]: ''SELECT GRUPO, COUNT(*) FROM MATRICUL WHERE ANNO = [[1995]] GROUP BY GRUPO''
Esta sentencia nos devolverá una fila por cada grupo de alumnos. Cada una de ellas contendrá el grupo y el nº de alumnos en él.</div>

=== Cláusula HAVING ===
<div align = "justify"> La cláusula HAVING dice a [[SQL]] que incluya solo ciertos grupos producidos por la cláusula GROUP BY en los resultados de la consulta. Al igual que la cláusula WHERE, utiliza una condición de búsqueda para especificar los grupos deseados. En otras palabras, especifica la [[condición]] que deben de cumplir los grupos. Sólo es válida si previamente se ha especificado la cláusula GROUP BY. La cláusula HAVING tiene la forma:
''HAVING expresión1 operador expresión2''

* expresión1 y expresión2: pueden ser nombres de campos, valores constantes o expresiones y estas no deben coincidir con una expresión de columna en la cláusula SELECT.
* operador: es un operador relacional que une las dos expresiones. Más tarde se verán los distintos [[operadores]] que se puede utilizar.

La sentencia siguiente nos mostrará el número de alumnos en cada grupo de 1995 cuyo numero de integrantes supera los 30:
''SELECT GRUPO, COUNT(*) FROM MATRICUL WHERE ANNO = 1995 GROUP BY GRUPO HAVING COUNT(*) > 30'' </div>
== Bibliografía ==

# [http://www.google.com.cu/url?sa=t&source=web&cd=1&ved=0CBoQFjAA&url=http%3A%2F%2Fpersonal.lobocom.es%2Fclaudio%2Fsql001.htm&rct=j&q=clausulas%20de%20base%20de%20dato&ei=pyn1TdyQNerw0gH7sZW_CQ&usg=AFQjCNHu4BNsN1wh1zKswvXUOxKpRUbqbw&cad=rja SQL: Introducción]

[[Category:Ciencias_Aplicadas_y_Tecnologías]] [[Category:Informática]][[Category:Bases_de_datos]]

2011-05-30T00:59:53Z

Luis01:

== Sumario ==

== Estado de copyright: ==

== Fuente: ==

2011-05-24T01:51:14Z

Luis01: /* Bibliografía */

{{Objeto
|nombre= Papiro
|imagen= Papiro_.JPG‎
|tamaño=
|descripcion=
}}

<div align="justify"> '''Papiro''', que proviene del latín papȳrus, y este del griego πάπυρος, es el nombre que recibe el soporte de escritura elaborado a partir de una planta acuática, también llamada papiro, muy común en el río [[Nilo]], en [[Egipto]], y en algunos lugares de la cuenca mediterránea, una hierba palustre de la familia de las [[ciperáceas]], el [[Cyperus papyrus]].

== Etimología ==

Etimológicamente, la palabra papiro proviene del término griego de los egipcios más conocido como papirosa de [[Egipto]] πάπυρος papiros que en latín es papyrus, cuyo plural es papyri, tomada del término [[egipcio]] antiguo per-peraâ, que significa “flor del rey”, pues su elaboración era [[monopolio]] real. También es el origen de la palabra [[papel]]. </div>

== Historia ==
<div align="justify"> Posiblemente nunca haya oído hablar del Papiro predecesor del papel en varios siglos. Hace ya 5.000 años, los antiguos [[egipcios]], usaron las fibras de esta planta, para transmitir a través de [[signos]] y [[dibujos]], sus costumbres e [[historia]]. Es tal su consistencia, que los años no lo deterioran, permitiendo que los colores que soporta se mantengan frescos con el paso del tiempo, lo que ha hecho posible que aquellos que han llegado a nuestros días conserven todas sus cualidades originales.

Los papiros fueron utilizados por la [[civilización egipcia]] 3.000 años antes a.n.e., aunque también hicieron uso de ellos las [[civilizaciones occidentales]], hasta el descubrimiento del [[papel]]. En documentos notariales y cancillerescos se usó hasta el siglo [[VII]] y la [[Cancillería Pontificia]] hasta el siglo [[XI]] [[Catalunya]] fue el principal foco en la [[Península Ibérica]].
Existen preciosos ejemplares de todas las épocas, siendo el más conocido el "Libro de los muertos" que se conserva en el [[Museo Británico de Londres]]. También la ciudad de VIC alberga una magnífica colección de papiros. Sería interminable hacer una reseña de todos ellos, y de la historia que contienen y nos transmiten, por ello vamos a ceñirnos a los papiros actuales, su fabricación y aplicaciones. Durante siglos la fórmula para fabricar el material escritorio permaneció en el olvido, hasta que un profesor [[alemán]] recuperó el sistema para unir las tiras extraídas del llamado "[[Junco del Nilo]]".
La técnica consiste en, una vez extraídas las tiras longitudinales, de la forma anteriormente descrita, se ponen en remojo durante un determinado número de horas, cambiando sucesivas veces el [[agua]], con ello la [[fibra]] pierde una parte de su contenido en [[azúcar]]. El tiempo que debe permanecer la fibra en remojo es un secreto celosamente guardado por los [[artesanos]]. Una vez remojadas se machacan a golpes de maza de [[madera]], y se escurren con un rodillo, a continuación son colocadas de forma paralela y perpendicular formando un cuadro, que será sometido a presión, para que el [[azúcar]] que aun queda en la fibra una las tiras y las solidifique. Una vez conseguido el [[papel]] soporte, los artesanos a la usanza de sus antepasados - y con técnicas similares pintan a mano los motivos más espectaculares de la decoración de las tumbas faraónicas, de los templos de los [[Dioses]], o de las costumbres de [[Egipto]]. A través del hechizo de sus pinturas, de línea simple, nada ostentosa, conoceremos la [[historia]] de un pueblo que vivió hace 5.000 años y que aun, al menos en la realización de papiros, conserva sus tradiciones vivas. </div>
=== Simbolismo ===

<div align="justify">Es el papiro sagrado, utilizado para elaborar las [[barcas]] de dioses del [[Antiguo Egipto]]. La [[planta]] también tenía una función religiosa surgida en épocas antiguas: nacida en el sagrado [[Nilo]], se representaba en los [[templos]] y era portada en las procesiones, donde simbolizaba el renacimiento y la regeneración del Mundo. Planta específica del Delta del Nilo, ésta era el emblema del Bajo Egipto y representaba a la diosa [[Uadyet]] (uady: jeroglífico del papiro, significando también el verde de malaquita, y "la prosperidad"). La planta de papiro fue representada desde la época predinástica como símbolo del Bajo Egipto; figura en la maza votiva de Horus [[Escorpión]].</div>

== Fabricación del Papiro para la escritura ==

<div align="justify"> El papiro es considerado un antecesor del papel, por su similitud en varias de sus características: color, flexibilidad, facilidad para escribir y recepción de la [[tinta]]. En [[Egipto]] se daban las condiciones de [[sequía]] y [[calor]] idóneas para la conservación del papiro, ya que el mismo por la [[humedad]], se estropea y ennegrece.
El procedimiento de fabricación consistía en seccionar el tallo y quitarle las capas, poniéndolas una junto a otra en disposición paralela. Después se colocaban encima de éstas otra capa, perpendicular a la anterior y se dejaban secar bajo presión, proceso que duraba unos tres o cuatro días. Tras el secado, se frotaba suavemente con una [[concha]] o una pieza de [[marfil]]. La cara del papiro con tiras horizontales era el anverso, en el que se realizaban las inscripciones. La cara con tiras verticales era el reverso, en el que raramente se escribía.
A veces, como el papiro era muy caro, sí se utilizaban ambas caras, o si el escrito anterior carecía de interés, era borrado, y vuelto a utilizar.
Normalmente se fabricaban rollos de unas veinte páginas, de cuatro metros y medio cada una, pero para utilizarlos, se solían cortar con una navaja a un tamaño de 47 x 22 cm.
Los papiros más grandes que se conocen son "El Gran [[Papiro Harris]]", con una longitud de casi 45 metros, el "[[Libro de los Muertos]]", de unos 40 metros y el "Papiro de Ani", de casi 26 metros de largo. </div>

=== Otros usos del papiro ===
<div align="justify"> El soporte de escritura no era el único producto fabricado a partir de esta planta, muy común en la época antigua (hoy casi desaparecida, sólo para uso turístico), también se podían fabricar objetos de cestería, [[sandalias]], [[calzones]], [[cuerdas]], e incluso [[embarcaciones]]. Se consumía su [[raíz]] y a veces también él.</div>

== Procedimiento exacto para la elaboración de papiros ==
<div align="justify"> Los papiros genuinos se obtienen a partir de la [[planta del papiro]], muy utilizada en el [[antiguo Egipto]], a partir de la cual se obtiene una superficie parecida al [[papel]] sobre la cual se pueden realizar [[dibujos]] o grabados. El proceso para obtener papiro se puede resumir en los siguientes pasos: </div>
# Se corta el tronco de la planta del papiro y se mantiene en remojo entre 7 y 14 días (cuantos más días esté en remojo, más marrón quedará el papiro final).
# Se corta el tronco en láminas finas y se pasa un rodillo sobre cada lámina, con el fin de eliminar parte del [[azúcar]] y del agua de la [[lámina]] y hacerla, así, menos quebradiza.
# Se van alternando láminas horizontales y verticales, a modo de malla, para constituir una superficie lisa.
# Se prensa la lámina durante siete días. Se saca de la prensa y listo para su uso.

== Tipos de Papiro ==
Según su calidad, existían ocho clases de papiros:
* [[Emporíticos]], usados como papel de envolver.
* [[Taeneóticos]], de mala calidad.
* [[Saíticos]], fabricados con materiales sobrantes.
* [[Anfiteátricos]], de calidad media.
* [[Fanianos]], de buena calidad.
* [[Livios]], de muy alta calidad.
* [[Augusticos]], de muy alta calidad.
* [[Hieráticos]] o regios, los de más alta calidad, empleados sólo para textos sagrados.

=== Algunos de estos nombres proceden de diversos motivos: ===
* Del lugar en que se fabricaba, como papel saítico, de la ciudad de [[Sais]].
* Del nombre de la fábrica como anfiteátrico, del anfiteatro de [[Alejandría]].
* Del dueño de la fábrica, como janniano de [[Jannio Palemón]].
* Del personaje a quien se hallaba dedicado, como [[Augusto]], [[Liviano]], [[Claudio]], por estarlo a los emperadores y emperatrices de este nombre.
* De su destino, como [[hierático]], por estar destinado a usos sagrados.
* De la grupo principal que lo usara, como [[emporético]] o [[empórico]], que era más grosero y servía para envolver mercancías.
* De otras circunstancias, como el llamado charta dentada, por ser bruñido con dientes de animales, principalmente, del [[jabalí]].

== Algunos Papiros conservados ==
# El primer papiro descubierto estaba sin utilizar, y fue encontrado en la tumba de un funcionario en [[Saqqara]], que data del [[3035]] a.n.e..
# El primer papiro escrito conservado data del [[2500]] a.n.e., en la V dinastía, y contiene la contabilidad del [[Templo]] de [[El-Gebelein]] durante el reinado de [[Neferirkare-Kakai]].
# El "Gran [[Papiro Harris]]", el más grande que se conserva, está en el [[Museo Británico de Londres]], sus dimensiones son de 45 metros de largo y 45 centímetros de ancho.
# Su nombre se debe a un aficionado a la [[egiptología]] que lo tenía en posesión. Se trata de un archivo del estado, formado por 117 columnas en [[hierático]], que nos relata desde el reinado de [[Larsu]], en la [[XIX]] dinastía, hasta el de [[Ramsés III]].
# En el mismo papiro se encuentran "las instrucciones de [[Amonnakhte]]", escrito por un [[escriba]] de la "Casa de la Vida".
# El [[Papiro de Ebers]] se conserva en la [[Universidad de Leipzi]], data del [[1550]] a.n.e. y es un tratado de [[medicina]] (en varias especialidades), [[higiene]] y [[ginecología]]. Es también un completo texto de [[anatomía]]. Contiene [[recetas médicas]] hechas a base de [[higos]], [[ajo]], [[cebolla]] y [[miel]].
# El [[Papiro Carlsberg]] se encuentra en Copenhague y se remonta al siglo II D.C. Es otro papiro médico, que nos da idea de los grandes conocimientos sobre el [[cuerpo humano]] y la [[medicina]] que tenían los [[egipcios]].
# El [[Papiro de Berlín]], en el museo egipcio de dicha ciudad, contiene documentos de muy variada índole, entre los que destacan varios tratados médicos.
# El [[Papiro Abbot]], se encuentra en el Museo Británico, que pertenece a la [[XX dinastía]], relata la investigación de una serie de robos de la época.
# El [[Papiro Aker]] es una versión de un fragmento del "Libro de Los Muertos", este no se conserva entero.
# El [[Papiro de Ani]], de 26 metros de longitud, es la versión más conocida del Libro de los Muertos, data del [[1300]] a.n.e. y se le atribuye a un escriba llamado Ani, aunque se observan tres tipos de letra diferentes, por lo que podría haber sido escrito por varias personas.
# El [[papiro Edwin Smith]] data del [[500]] a.n.e.; su contenido también es de carácter médico. Tiene pasajes muy interesantes sobre tratamientos [[máxilofaciales]] y [[enfermedades]] de mama.

=== Debido al gran número de papiros encontrados, se utilizan diversos y dispares esquemas de clasificación para poder identificarlos, así: ===
* Por la persona o fundación que poseía el manuscrito: Papiro Westcar, Papiros Bodmer 14 y 15 conocidos como P75
* Por el lugar de origen: [[Oxyrhynchus Papyri]]
* Por el sitio donde se conserva: [[Canon de Turín]], [[Papiro Rylands P52]]
A los papiros se les asigna además un número, para facilitar su identificación en las labores de clasificación.

== Véase también ==
* [[Papel]]
* [[Celulosa]]
* [[Pergamino]]
* [[Papiro de Rhind]]

== Enlaces Externos ==

== Bibliografía ==
[[Category:Historia_del_Antiguo_Egipto]]

Luis01:

<div align="justify">La '''Matemática Numérica''' es una rama de la Matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, [[Image:Divina proporcion.jpg|thumb|right|278x337px|Divina proporcion.jpg]]derivado de μάθημα, conocimiento) en la cual el objetivo no es el estudio de un ente matemático en particular; la [[#Matem.C3.A1tica_Num.C3.A9rica|Matemática Numérica]] tiene como propósito el desarrollo de métodos para la solución de los más diversos problemas matemáticos mediante una cantidad finita de operaciones numéricas. Es decir, lo que le da unidad a esta rama de la [[Matemática|Matemática]], no es el tipo de problema que se ha de resolver sino el método que se aplicará: operaciones numéricas en cantidad finita.</div> <div align="justify">Está claro que, por regla general, los problemas matemáticos no pueden ser resueltos exactamente de esta manera. Por eso, la Matemática Numérica no se plantea llegar a resultados exactos; ni siq uiera a resultados tan exactos como sea posible. El propósito aquí será obtener resultados tan exactos como sea necesario. Los métodos de solución que emplea la Matemática Numérica reciben el nombre gen érico de métodos numéricos y, en contraposición, a los otros métodos matemáticos se les llamará métodos analíticos. El prescindir de la exactitud absoluta, permite a la Matemática Numérica elaborar métodos mucho más generales que los métodos analíticos exactos. Como se trata de métodos numéricos (solo se requieren operaciones aritméticas, no operaciones algebraicas de tipo simbólico) estos métodos pueden ser fácilmente implementados en una computadora digital. Por todas estas razones, la Matemática Numérica posee en la actualidad una gran importancia. </div>
==  Historia ==
<div align="justify">
Aunque, como ciencia estructurada y rigurosa, la Matemática Numérica es relativamente joven (siglos [[Siglo XIX|XIX]] y [[Siglo XX|XX]]), desde tiempos muy remotos se emplearon métodos numéricos aproximados. En el papiro de [[Rhind|Rhind]] (el documento matemático más antiguo que se conserva) que data de unos [[2000|2000]] años a. n. e., fruto del desarrollo de la antigua [[Civilización Egipcia|civilización egipcia]], aparecen, entre más de 80 problemas resueltos, métodos aproximados para calcular el volumen de un montón de frutos y el área de una circunferencia, tomándola como la de un cuadrado cuyo lado fuera 8/9 del diámetro de la circunferencia. En [[Babilonia|Babilonia]] (siglos XX al III, a. n. e.) ya se conocían métodos aproximados para calcular raíces cuadradas. De la [[Antigua Grecia|antigua Grecia]], son famosos los trabajos de [[Arquímedes Colina Antunez|Arquímedes]] (siglo [[Siglo III|III]] a. n. e.) en la cuadratura del círculo que le permitió, aproximando una circunferencia mediante polígonos inscritos y circunscritos, llegar a una aproximación.<br>

 Sobre los conocimientos matemáticos de la cultura egipcia los primeros registros que se tienen son el [[Papiro de Moscú|Papiro de Moscú]] y de [[Rhind|Rhind]], escritos aproximadamente en [[1850|1850]] A. de C. y [[1650|1650]] A. de C., respectivamente. Ambos documentos incluyen ejemplos de cálculos que implican el manejo de ecuaciones lineales con una y dos incógnitas. En cuanto a geometría, determinaron con éxito el área y el volumen de diversas [[Las figuras geométricas|figuras geométricas:]] entre ellas, el volumen de una pirámide truncada. 

Es con los [[Griegos|griegos]] que aparece por primera vez, en el siglo V A.de C., la [[Matemática|matemática]] como una [[Ciencia|ciencia]] formal que utiliza el [[Método deductivo|método deductivo]] como herramienta funda- mental para probar que un resultado es verdadero. Los teoremas que se atribuyen a [[Tales de Mileto|Tales de Mileto]] y a [[Pitágoras|Pitágoras]] son algunos de los primeros ejemplos en el que se aplica esta metodología y el libro de los [[Elementos de Euclides|Elementos de Euclides]] es la muestra más acabada de ello. La matemática griega se ocupó de estudiar problemas de [[Geometría|geometría]], [[Aritmética|aritmética]], [[Teoría de números|teoría de números y]] [[Álgebra|álgebra]]. [[Arquímedes Colina Antunez|Arquímedes]] ([[287|287]]-[[212|212]]) es posiblemente el más brillante matemático aplicado de la antigüedad; a él se deben diversos ejemplos de métodos muy ingeniosos para aproximar la solución de problemas de la hidrodinámica y estática. Escribió más de diez obras; entre ellas el estudio de las cónicas, de la esfera y el cilindro, sobre la espiral y sobre el cálculo de volúmenes de revolución de elipses, parábolas e hipérbolas que giran alrededor de un eje de simetría y el cálculo del área de una parábola. Desde finales del siglo [[Siglo XVII|XVII]] comienza a perfilarse la teoría de las series infinitas, ligadas a matemáticos como el suizo [[Euler|Euler]], el alemán [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] y los ingleses [[Isaac Newton|Newton]] y [[Taylor|Taylor]] sin las cuales hubiera sido imposible justificar o deducir muchos de los métodos numéricos que se estudiaran más adelante.

El método de [[Arquímedes Colina Antunez|Arquímedes]] fue posteriormente aplicado por otros matemáticos y ya en la primera mitad del siglo [[Siglo XV|XV]] el árabe [[Hatake Kakashi|Kashi]] había obtenido para π una aproximación de 17 cifras decimales utilizando polígonos de hasta 805 306 368 lados. Un notable ejemplo de cálculos numéricos son las tablas de logaritmos publicadas en [[1614|1614]] por el holandés [[Neper|Neper]] en que aparecen, con 8 cifras exactas, los logaritmos de las [[Funciones trigonométricas|funciones trigonométricas]] para ángulos desde 0 hasta 90 grados con paso de un minuto. Gracias al gigantesco trabajo numérico del propio [[Neper|Neper]] y de otros como el suizo [[Bürgi|Bürgi]], el escocés [[Briggs|Briggs]] y el holandés [[Vlacq|Vlacq]] ya en [[1628|1628]] existían tablas de logaritmos decimales de los números desde 1 a 100 000 calculadas con 10 cifras decimales exactas.

Desde la aparición de los primeros asentamientos humanos se usaron piedras, cordeles, varillas como instrumentos de medición y cálculo; posteriormente, la aparición del ábaco facilitó enormemente el cálculo aritmético. La introducción de la notación decimal y del cero en el siglo [[Siglo XII|XII]] por los árabes uniformó la notación y el cálculo numérico entre los diversos pueblos. Pero no fue sino hasta inicios del siglo [[Siglo XVII|XVII]], con el invento de las tablas de logaritmos, que el cálculo numérico experimentó un avance fundamental para el desarrollo de la ciencia en el siglo [[Siglo XVII|Siglo_XVII]] y [[Siglo XVIII|XVIII]]. La tabla de logaritmos fue creada por [[John Napier|John Napier (1550-1617)]], quien fue de los primeros en estudiar la notación y el manejo de distintas bases numéricas como la binaria o la exponencial. Sus estudios sobre la relación entre las [[Progresiones geométricas y aritméticas|progresiones geométricas y aritméticas]] lo llevaron a definir el logaritmo base 1/e que publicó en [[1615|1615]].

Al morir Napier, su amigo [[Henry Briggs|Henry Briggs (1561-1630)]], el primer profesor saviliano de geometría de [[Oxford|Oxford]], retoma y simplifica su trabajo con el fin de generalizarlo a cualquier base, en particular la [[base decimal|base decimal]], que publica en [[1617|1617]] con una precisión de catorce cifras. Con la tabla de logaritmos, las multiplicaciones de varias cifras se convierten en simples sumas y el elevar un número a un exponente se reduce a una simple [[Multiplicación|multiplicación]]. Esto permitió abordar problemas de [[Astronomía|astronomía]], de [[Balística|balística]] y de índole práctico que parecían incalculables. Poco después, hizo su aparición en [[1624|1624]] la regla de cálculo que permaneció como instrumento personal de cálculo por excelencia hasta la aparición de las primeras calculadoras de bolsillo en [[1970|1970]].

Con estos antecedentes los precursores del cálculo: [[René Descartes|Descartes]], [[Pierre de Fermat|Fermat]], [[Blaise Pascal|Pascal]], [[Wallis|Wallis]], [[Barrow|Barrow]] y [[Gregory|Gregory]], entre otros, desarrollaron la [[Geometría analítica|geometría analítica]], diversos métodos para determinar la ecuación de la [[Tangente|tangente]] a una curva dada; el cálculo de [[máximos|máximos]] y [[mínimos|mínimos]] y el cálculo de cuadraturas, entre otros temas. Estos resultados prepararon el terreno para que, a fines del siglo [[Siglo XVII|XVII]], [[Leibnitz|Leibnitz]] y [[Isaac Newton|Newton]] los sistematizaran, relacionaran y unificaran en una metodología poderosísima: el cálculo diferencial e [[integral|integral]].

A principios del siglo [[Siglo XVIII|XVIII]] se produce otro gran paso con la aparición del [[Cálculo de Diferencias Finitas|Cálculo de Diferencias Finitas]] (fundado por los ingleses Taylor y [[Stirling|Stirling]]), el cual constituye la base teórica para fundamentar varios métodos numéricos.

Figuras como [[Isaac Newton|Isaac Newton (1642-1727)]] hicieron aportes fundamentales para definir con precisión el concepto de velocidad instantánea, la fuerza de atracción entre los cuerpos, la fuerza gravitacional y la [[descomposición de la luz|descomposición de la luz]], entre otras muchas cosas. Desde el punto de vista numérico, [[Isaac_Newton|Newton]] inventó varios algoritmos que se siguen utilizando hasta nuestros días, como el método para encontrar los [[cero de la función|ceros de una función]] o la aproximación de [[derivadas|derivadas]] por medio de diferencias divididas o la construcción de [[polinomios de interpolación|polinomios de interpolación]].<br>En esa misma época se introdujo el uso de [[series de potencias|series de potencias]] que permitió aproximar localmente con la precisión deseada a un gran conjunto de funciones y abrió la posibilidad de atacar problemas de mayor complejidad que aparecen en el estudio de fenómenos físicos como las vibraciones de una cuerda, la difusión de calor o el comportamiento de los fluidos. Por ejemplo, [[James Gregory|James Gregory (1638-1675)]] en [[1671|1671]] determinó la serie de potencias para la función Arctang(x) lo que permitió aproximar, tanto como se deseara, el valor de π<br>(π/4) = 1 – (1/3) + (1/5) – (1/7) +…<br>

Siguiendo el ejemplo de [[Isaac Newton|Newton]], varios matemáticos de primer orden contribuyeron a la solución de problemas numéricos: [[Leonard Euler|Leonard Euler (1707-1783)]] utilizó la [[serie de Taylor|serie de Taylor]] para crear el método que lleva su nombre y que aproxima la solución de problemas con condiciones iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias; [[Joseph Louis Lagrange|''Joseph Louis Lagrange (1736-1813)'']] dio una forma de construir polinomios de interpolación. Karl ''[[Carl Friedrich Gauss|Friedrich Gauss (1777-1855)]] ''contribuyó de manera notable con el método de mínimos cuadrados y sus fórmulas de cuadratura que abren la puerta a la utilización de familias de polinomios ortogonales para la aproximación de [[integrales|integrales]]; sus aportes al estudio de la solución de sistemas de ecuaciones lineales siguen siendo fundamentales en la enseñanza del álgebra lineal. También se le atribuye la invención de la transformada rápida de Fourier, algoritmo que pasó desapercibido hasta su redescubrimiento por Cooley y Tukey en 1963.

Durante la segunda mitad del siglo XIX, la matemática entró en una etapa de rigorismo necesario para cimentar con firmeza su amplio cuerpo de conocimientos Weierstrass y Cauchy entre otros, son los responsables del concepto riguroso de límite que es fundamental en el análisis. Esto explica que la obtención de cálculos numéricos pasara a segundo término aunque el desarrollo del análisis funcional está estrechamente ligado a la aproximación de funciones en espacios normados. Por último, hay que mencionar que, a principios del siglo XX, Richardson aplicó por primera vez el método de diferencias finitas para el análisis de esfuerzos en distintos materiales y que, en 1928 apareció el famoso artículo de Courant, Friedrichs y Lewy sobre el análisis de estabilidad de estos métodos. Para saber más sobre la historia del análisis numérico, consultar.
El surgimiento y consolidación del Análisis Funcional desde finales del siglo XIX hasta principios del XX, permitió a la Matemática Numérica dar un salto cualitativo al lograrse esclarecer los conceptos básicos de la aproximación funcional. Con el surgimiento de las computadoras digitales a mediados del siglo XX y su continuo desarrollo, la Matemática Numérica ha recibido un fuerte estímulo, ya que la computadora digital ha hecho posible la aplicación práctica de muchos métodos numéricos, que con el trabajo en forma manual, solo tendrían un valor teórico. Por otra parte, las computadoras digitales han traído la necesidad de desarrollar nuevos métodos numéricos para dar respuesta a nuevos problemas que antes no era posible siquiera imaginar.</div>

== Fuentes de error. ==
<div align="justify">El hecho de que la Matemática Numérica ponga su atención en métodos aproximados, no significa que los errores carezcan de importancia; todo lo contrario: un método aproximado solo tiene valor si permite, de alguna forma, tener una estimación de la magnitud del error que se comete con su aplicación. Por esta razón, es necesario dedicar un tiempo a estudiar los diversos tipos de errores que se pueden presentar en la solución de un problema real. En la figura 1 se muestra esquemáticamente los pasos que suelen seguirse para llegar a la solución de un problema real y los errores que pueden introducirse en los diferentes pasos. Pudiera pensarse que el camino a seguir es tratar de eliminar todas las fuentes posibles de error, pero no es así: algunos tipos de error son inevitables y, como se verá, algunos resultan aconsejables.</div>

== La modelación y los errores de modelación ==
<div align="justify">El primer paso en la solución de un problema consiste en pasar de una situación problémica del mundo real a un [[Image:Diag.png|border|left|400x400px|Driagrama 1]]modelo matemático. Este modelo matemático consiste generalmente en un conjunto de objetos matemáticos relacionados entre sí, tales como ecuaciones diferenciales, integrales, ecuaciones e inecuaciones algebraicas, tablas, esquemas, etc. que intentan reflejar (no copiar) los aspectos esenciales del mundo real que constituyen la situación problémica del mundo natural. Este paso suele llamarse modelación matemática del problema. Nótese que el modelo no puede, ni debe, reflejar exactamente el mundo real sino sólo los aspectos de aquel que resultan importantes en el problema que se desea resolver, de acuerdo con el uso que se dará a los resultados obtenidos. Realmente, la modelación matemática tiene mucho de arte; si el modelo copia demasiados detalles de la realidad, es probable que el modelo matemático sea tan complicado que no ayude a comprender lo esencial del problema, e incluso, que no pueda ser resuelto posteriormente; si se ignoran aspectos importantes del mundo real entonces puede ocurrir que el modelo sea una aproximación demasiado grosera de la realidad y que se pueda llegar a conclusiones absurdas a partir del modelo. El arte consiste en decidir adecuadamente qué aspectos del mundo real deben estar reflejados en el modelo y cuáles no, de manera que los errores de modelación sean aceptables para los objetivos que se persigue. Por ejemplo, para la mayoría de los problemas de mecánica se suele suponer que la aceleración producida por la fuerza de la gravedad es 9,8 m/seg2, independientemente del lugar de la tierra en que ocurra el fenómeno; en realidad esta acele ración varía desde 9,780 en el ecuador hasta 9,832 en las regiones polares; esta suposición no causa grandes e rrores en problemas comunes pero en el lanzamiento de cohetes propulsores de satélites artificiales, hay que tener en cuenta la aceleración gravitacional propia de cada lugar de La Tierra por donde vuele el cohete pro pulsor, pues de otra forma se introducen errores (de modelación) intolerables. A los efectos de la Matemática Numérica, los errores de modelación suelen clasificarse (junto con los de medición) como errores inherentes, en el sentido de que no pueden ser eliminados o disminuidos por el tratamiento matemático del problema, ya que están presentes desde la misma formulación del problema. </div>
=== Errores de truncamiento ===
<div align="justify">La segunda etapa en la solución de un problema es establecer los métodos o algoritmos que se usarán para la solución del modelo matemático planteado. A veces estos métodos son exactos pero, casi siempre esto no es posible o no es práctico. La mayoría de los métodos exactos solamente se aplican a situaciones muy simples y específicas que raras veces se dan en los problemas reales. Por ejemplo, las ecuaciones algebraicas de grado mayor que 4 solamente se pueden resolver por métodos exactos cuando poseen soluciones enteras o racionales (el método de Rufini) lo cual siempre sucede en los problemas escolares pero casi nunca en la realidad; las ecuaciones no algebraicas (es decir, las trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc.) solo admiten soluciones por métodos exactos en casos muy triviales; los métodos de integración exactos, basados en hallar una primitiva del integrando, pueden aplicarse a un reducido número de integrales y en problemas tan simples como calcular la longitud de una elipse, fracasan rotundamente. Por todas estas razones, en una gran cantidad de ocasiones hay que recurrir a métodos no exactos en la solución del modelo matemático obtenido. El error que se introduce en el proceso debido a la no exactitud del método de solución empleado se suele llamar error de truncamiento. Esta palabra se utiliza debido a que muchas veces la no exactitud del método utilizado proviene de utilizar en alguna parte de un proceso, solo una cantidad finita de términos de una serie infinita (es decir, de truncar una serie). Sin embargo, no es esta la única causa de que un método no sea exacto; a veces el error se produce por sustituir una derivada por un cociente finito de incrementos o una integral por una suma finita de muchos sumandos pequeños o por detener un proceso infinito convergente. A lo largo de este libro serán tratados muchos métodos aproximados y en cada caso se hará el estudio necesario del error de truncamiento cometido, que a veces se llama simplemente, error del método.</div>
=== Errores en el proceso de cálculo ===
<div align="justify">Una vez que está definido el algoritmo de solución del modelo matemático, se procede a la solución. En la actualidad, la solución se ejecuta, en su mayor parte, mediante calculadora electrónica o mediante una computadora digital con un programa adecuado. En esta etapa del proceso se pueden introducir tres tipos de errores: </div>
==== Errores de observación ====
<div align="justify">Estos son los errores contenidos en los datos debido a la imperfección de los instrumentos de medición o los métodos de observación utilizados o a la poca información acerca del problema que se está resolviendo. A veces, los objetivos que se persiguen no justifican utilizar datos de mayor calidad, los cuales pueden ser muy costosos. Por ejemplo, medir una temperatura con un error menor que 0,01 grados centígrados requiere instrumentos sumamente costosos que pocos laboratorios en el mundo poseen en la actualidad y, posiblemente, el resultado que se desea obtener no se afecte grandemente por este pequeño error de medición. Como ya se mencionó, los errores de medición (junto con los de modelación) forman parte de los llamados errores inherentes, dado su carácter externo al procesamiento matemático del modelo.</div>
==== Equivocaciones ====
<div align="justify">En el trabajo manual estos son esos frecuentes errores que se introducen, por ejemplo, cuando se dice que “tres por dos es cinco” o cuando se oprime una tecla equivocada en la calculadora. Con el uso de las computadoras las equivocaciones no suelen ocurrir en el momento en que se ejecuta el programa, pero sí pueden estar presentes en el programa elaborado y sus consecuencias pueden a veces pasar inadvertidas durante años. Cuando el trabajo numérico se realizaba a mano, los algoritmos de cálculo se ejecutaban mediante tablas y en ellas siempre aparecían “columnas de comprobación”, destinadas a realizar operaciones redundantes solamente con el objetivo de detectar las equivocaciones. Con el uso de las computadoras digitales, el proceso de detección y corrección de equivocaciones (que suele llamarse debuging en el argot de los programadores) es una etapa muy importante de la puesta a punto de un programa, pero se escapa a los objetivos de un curso de Matemática Numérica. </div>
==== Errores de redondeo ====
<div align="justify">Estos errores se producen cuando se sustituye un número decimal por otro con menos cifras. Más adelante se profundizará en este tipo de errores pero por el momento puede adelantarse que ellos están constantemente presentes tanto si se trabaja a mano, como si se usa una calculadora o una computadora sofisticada. Son debidos a la naturaleza del sistema de numeración que se utiliza, el cual se basa en cifras y no permite representar todos los números reales mediante una cantidad finita de dígitos. Por ejemplo, cuando se utiliza 0,333333 en lugar de 1/3 ó 3,1416 en lugar de π , se comenten errores de redondeo. A diferencia de las equivocaciones ante las cuales todo lo que se puede hacer es tratar de evitarlas, con los errores de redondeo hay que aprender a convivir; ellos son inevitables y todo lo que se necesita es, por una parte, mantenerlos lo suficientemente pequeños de modo que no afecten significativamente los resultados que se desea obtener y, por otra parte, no intentar hacerlos exageradamente pequeños (por ejemplo, utilizando una cantidad muy grande de cifras decimales) porque ello se traduce en algoritmos innecesariamente lentos. </div>
== Ejemplos ==

=== Ejemplo#1 ===
<div align="justify">Desde un cierto punto del espacio se lanza un pequeño objeto al suelo (por ejemplo, una piedrecilla) y se desea saber que distancia recorrerá en su trayectoria desde la mano hasta el piso.
'''Solución:'''
Primero es necesario modelar matemáticamente el problema. Como es un problema mecánico, hay que recurrir a las leyes de la Mecánica para elaborar un modelo adecuado. En el proceso de modelación habrá que realizar algunas aproximaciones que introducirán errores de modelación. </div>
'''Se tomarán las siguientes hipótesis:'''

*La partícula lanzada se tratará como si fuera un punto.
*Se considerará que la partícula solamente es atraída por la Tierra y no por la Luna o por otros cuerpos celestes.
*Se tomará el valor de 9,8 m/seg2 como la aceleración de la gravedad.
*Se ignorará el efecto de la fuerza de empuje del aire sobre la partícula.
*No se tomará en cuenta la fricción entre el aire y la partícula.
*Se supondrá que el aire está en reposo, es decir, que no hay viento.
*Se aproximará la superficie del suelo como un plano perfectamente horizontal.<br>
<div align="justify"><br></div><div align="justify">Todas estas hipótesis son idealizaciones que permitirán llegar a un modelo matemático suficientemente sencillo, a costa de introducir errores de modelación. Se supone que el error de modelación introducido es razonablemente pequeño a los efectos del resultado que se desea obtener. Uno de los primeros pasos en la modelación matemática de un problema, es la definición de un sistema de referencia adecuado. Se tomará el instante en que la piedra es lanzada (en que abandona la mano) como el instante inicial (t = 0). En cuanto al sistema de referencia espacial, se tomará un plano coordenado con su eje x colocado en el suelo y el eje y vertical pasando por el punto en que la partícula abandona la mano. El eje x se toma en una dirección tal, que la trayectoria de la partícula se efectúa en plano xy. En la figura 2 se muestra el sistema de referencia, la partícula en su posición inicial (en blanco) y en un instante t posterior (en negro) y, en línea de puntos, la trayectoria que supuestamente seguirá. [[Image:Func.png|border|center|Func.png]]</div> <div align="justify"></div>
Para obtener el modelo matemático se hará uso de la conocida Segunda Ley de Newton de la Mecánica: “La suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual al producto de su masa por su aceleración”. Esta ley establece una igualdad vectorial, que puede expresarse como dos igualdades escalares, tomando las componentes respectivas de la fuerza resultante y de la aceleración:<br>Fx = max (1)<br>Fy = may (2)<br>En un instante t = 0 cualquiera, según la hipótesis iniciales, la única fuerza que actúa sobre la partícula es la debida a la atracción gravitacional, que es una fuerza vertical dirigida hacia abajo y de magnitud mg. De aquí resulta Fx = 0 y Fy = – mg. Sustituyendo en las ecuaciones (1) y (2):<br>max = 0 (3)<br> may = – mg (4)<br>

De las ecuaciones (3) y (4) se obtienen de forma inmediata:

ax = 0     (5)<br>ay = – g  (6)<br>Como la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo, las ecuaciones (5) y (6) se traducen en:<br>(d²x) / (dt²) = 0 (7)<br>(d²y) / (dt²) = -g (8)  donde t = 0.<br>Para completar el modelo matemático hay que añadir a las ecuaciones (7) y (8) las condiciones iniciales del problema, algunas de las cuales son consecuencia del sistema de referencia definido:<br>x (0) = 0   (9)<br> y (0) = h  (10)<br>vx (0) = v0 x (11)<br>v y (0) = v0 y (12)<br>donde h, v0x y v0y son datos del problema que habrá que obtener por medición.

Las ecuaciones (7) a (12) constituyen el modelo matemático del problema. Operando con este modelo matemático se pueden predecir muchas cosas: la trayectoria de la partícula, el lugar en que esta choca con el suelo, la máxima altura que alcanza en su recorrido, etcétera. Como el problema que se desea investigar es la distancia que recorre la piedra en su trayectoria, será necesario trabajar con el modelo para obtener:
<div align="align"></div>
== Aplicaciones en la computación ==
<div align="align"></div>
Hay muchas formas de representar los números, desde la antigüedad se conocen las ventajas de utilizar potencias de 10 lo que da un sistema posicional decimal en el que es importante la posición que ocupa un dígito. Usar las potencias de diez es natural porque los humanos tienen diez dedos en la mano, pero hay otros sistemas que utilizan las potencias de otros números. Los babilónicos tenían un sistema sexagesimal y quedan vestigios de ello en nuestra forma de medir el tiempo. Para las computadoras lo más natural es usar potencias de dos, ya que almacenan los caracteres en bytes que a su vez se componen de 8 bits. Cada bit puede tomar dos valores, uno si está prendido y cero si está apagado. Un byte permite representar 256 caracteres distintos.<br>Una palabra de computadora se compone de 4 bytes y una palabra doble de 8 bytes consecutivos. Al usar potencias de dos se dice que se trabaja en base binaria en lugar de la base decimal. Algunas computadoras modernas trabajan en base octal, base 8, o hexadecimal que es en base 16.<br>La manera más fácil de representar un número real en una computadora es en notación de punto flotante. A continuación, por simplicidad, se presenta esta notación en base decimal aunque las computadoras usan otras bases. La notación es la siguiente:<br>X = +- d1d2d3……..dkdk+1…….. X 10^n<br>donde n es un número entero, dk es un número entero entre 0 y 9, y d1 es distinto de cero. La sucesión de dígitos dk se le conoce como la mantisa y al entero n como el exponente.

Como la representación de un número real puede tener mantisa infinita y n puede tomar cualquier valor en los enteros, es imposible que un instrumento de cálculo pueda representar cualquier número en forma exacta; cada instrumento de cálculo tiene una cota superior e inferior para n y solo puede almacenar un número finito de dígitos k de la mantisa. Si se almacena un real con exponente mayor a n; la computadora marca un error que se conoce como overflow o desbordamiento superior. Si el real tiene como exponente un entero menor a la cota inferior, la máquina genera un error de underflow o desbordamiento inferior. Cuando la mantisa tiene un número de dígitos mayor a k entonces la computadora redondea el número y almacena solo k dígitos.<br>El procedimiento de redondear consiste en lo siguiente: primero se observa el valor del dígito dk+1; si este es menor o igual a 4 se almacenan únicamente los primeros k dígitos; si dk+1 es mayor o igual a 5 se suma un uno al k-ésimo dígito y se almacenan los k dígitos del número resultante.<br>Para representar un número en punto flotante se puede usar una palabra simple o doble, la diferencia estriba en el número de dígitos k de la mantisa que almacenan. Si se usan palabras simples para representar a los reales se dice que se calcula en simple precisión o en doble precisión en caso de utilizar palabras dobles.<br>¿De qué tamaño es el error que se comete al representar cualquier número real en una computadora? Para estimarlo denótese por fl(x) la representación en punto flotante de un número real x en una computadora con una mantisa de k dígitos. Se usará el error relativo Er para estimar el error y se puede probar que

[[Image:Funcs1.jpg]]<br>
<div align="align"></div> <div align="align">A este error se le llama error de redondeo. En consecuencia, cuando se resuelve un problema con una computadora, la mayor parte de las veces, se resuelve un problema aproximado y no el original; los resultados obtenidos tendrán, en el mejor de los casos, la precisión de la computadora. </div>
== Véase también ==

*[[Funciones Matemáticas|Funciones matemáticas ]]<br>
*[[Matemática|Matemática]]
*[[Matemática Discreta|Matemática Discreta]]
*[[Análisis Matemático|Análisis Matemático]]<br>
*[[Elementos de lógica matemática|Elementos de lógica matemática]]<br>

== Bibliografía ==

*  Benjamin, Peirce (1882). Linear Associative Algebra. Van Nostrand. Digitalizado por University of California Libraries. Págs. 97-229.
*  Einstein, Albert (1923). «Geometry and experience», en Sidelights on relativity. P. Dutton., Co.
*  Peterson, Ivars. (2001). Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books. ISBN 0-8050-7159-8.
* Jourdain, Philip E. B., «The Nature of Mathematics», en The World of Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-41153-8.
*  Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.
*  Popper, Karl R. (1995). «On knowledge», en In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.
*  Ziman, J.M., F.R.S. (1968). Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science. Cambridge University Press.
*  Riehm, Carl (August 2002). «The Early History of the Fields Medal», en Notices of the AMS. AMS 49 (7). Págs. 778–782.<br>

== Enlaces externos ==

*[http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/NuevoContenido.html Curso de matemáticas dirigido a estudiantes de ingeniería de sistemas]. <br>
*[http://thesaurus.maths.org/mmkb/view.html?resource=index Conexiones Matemáticas]
*[http://www.rsme.es/  Real Sociedad Matemática Española]
* [http://e.hnesolutions.com/numerics/mainnumerics.aspx Sitio Interactivo de Análisis Numérico]
* [http://ciencia.astroseti.org/matematicas/ Historia de las Matemáticas (Astroseti)]
* [http://www.rinconmatematico.com/ Temas de matemática básica.]
*[http://www.elsaposabio.com/matematicas Ejercicios de Matemáticas.]
*[http://www.matematicas.net/ "El paraíso de las Matemáticas"]<br>

<br>

[[Category:Matemáticas]]

Matemática numérica

2011-05-13T14:29:53Z

Luis01:

<div align="justify">La '''Matemática Numérica''' es una rama de la Matemática (del lat. mathematĭca, y éste del gr. μαθηματικά, [[Image:Divina proporcion.jpg|thumb|right|278x337px|Divina proporcion.jpg]]derivado de μάθημα, conocimiento) en la cual el objetivo no es el estudio de un ente matemático en particular; la [[#Matem.C3.A1tica_Num.C3.A9rica|Matemática Numérica]] tiene como propósito el desarrollo de métodos para la solución de los más diversos problemas matemáticos mediante una cantidad finita de operaciones numéricas. Es decir, lo que le da unidad a esta rama de la [[Matemática|Matemática]], no es el tipo de problema que se ha de resolver sino el método que se aplicará: operaciones numéricas en cantidad finita.</div> <div align="justify">Está claro que, por regla general, los problemas matemáticos no pueden ser resueltos exactamente de esta manera. Por eso, la Matemática Numérica no se plantea llegar a resultados exactos; ni siq uiera a resultados tan exactos como sea posible. El propósito aquí será obtener resultados tan exactos como sea necesario. Los métodos de solución que emplea la Matemática Numérica reciben el nombre gen érico de métodos numéricos y, en contraposición, a los otros métodos matemáticos se les llamará métodos analíticos. El prescindir de la exactitud absoluta, permite a la Matemática Numérica elaborar métodos mucho más generales que los métodos analíticos exactos. Como se trata de métodos numéricos (solo se requieren operaciones aritméticas, no operaciones algebraicas de tipo simbólico) estos métodos pueden ser fácilmente implementados en una computadora digital. Por todas estas razones, la Matemática Numérica posee en la actualidad una gran importancia. </div>
==  Historia ==
<div align="justify">
Aunque, como ciencia estructurada y rigurosa, la Matemática Numérica es relativamente joven (siglos [[Siglo XIX|XIX]] y [[Siglo XX|XX]]), desde tiempos muy remotos se emplearon métodos numéricos aproximados. En el papiro de [[Rhind|Rhind]] (el documento matemático más antiguo que se conserva) que data de unos [[2000|2000]] años a. n. e., fruto del desarrollo de la antigua [[Civilización Egipcia|civilización egipcia]], aparecen, entre más de 80 problemas resueltos, métodos aproximados para calcular el volumen de un montón de frutos y el área de una circunferencia, tomándola como la de un cuadrado cuyo lado fuera 8/9 del diámetro de la circunferencia. En [[Babilonia|Babilonia]] (siglos XX al III, a. n. e.) ya se conocían métodos aproximados para calcular raíces cuadradas. De la [[Antigua Grecia|antigua Grecia]], son famosos los trabajos de [[Arquímedes Colina Antunez|Arquímedes]] (siglo [[Siglo III|III]] a. n. e.) en la cuadratura del círculo que le permitió, aproximando una circunferencia mediante polígonos inscritos y circunscritos, llegar a una aproximación.<br>

 Sobre los conocimientos matemáticos de la cultura egipcia los primeros registros que se tienen son el [[Papiro de Moscú|Papiro de Moscú]] y de [[Rhind|Rhind]], escritos aproximadamente en [[1850|1850]] A. de C. y [[1650|1650]] A. de C., respectivamente. Ambos documentos incluyen ejemplos de cálculos que implican el manejo de ecuaciones lineales con una y dos incógnitas. En cuanto a geometría, determinaron con éxito el área y el volumen de diversas [[Las figuras geométricas|figuras geométricas:]] entre ellas, el volumen de una pirámide truncada. 

Es con los [[Griegos|griegos]] que aparece por primera vez, en el siglo V A.de C., la [[Matemática|matemática]] como una [[Ciencia|ciencia]] formal que utiliza el [[Método deductivo|método deductivo]] como herramienta funda- mental para probar que un resultado es verdadero. Los teoremas que se atribuyen a [[Tales de Mileto|Tales de Mileto]] y a [[Pitágoras|Pitágoras]] son algunos de los primeros ejemplos en el que se aplica esta metodología y el libro de los [[Elementos de Euclides|Elementos de Euclides]] es la muestra más acabada de ello. La matemática griega se ocupó de estudiar problemas de [[Geometría|geometría]], [[Aritmética|aritmética]], [[Teoría de números|teoría de números y]] [[Álgebra|álgebra]]. [[Arquímedes Colina Antunez|Arquímedes]] ([[287|287]]-[[212|212]]) es posiblemente el más brillante matemático aplicado de la antigüedad; a él se deben diversos ejemplos de métodos muy ingeniosos para aproximar la solución de problemas de la hidrodinámica y estática. Escribió más de diez obras; entre ellas el estudio de las cónicas, de la esfera y el cilindro, sobre la espiral y sobre el cálculo de volúmenes de revolución de elipses, parábolas e hipérbolas que giran alrededor de un eje de simetría y el cálculo del área de una parábola. Desde finales del siglo [[Siglo XVII|XVII]] comienza a perfilarse la teoría de las series infinitas, ligadas a matemáticos como el suizo [[Euler|Euler]], el alemán [[Gottfried Wilhelm Leibniz|Leibniz]] y los ingleses [[Isaac Newton|Newton]] y [[Taylor|Taylor]] sin las cuales hubiera sido imposible justificar o deducir muchos de los métodos numéricos que se estudiaran más adelante.

El método de [[Arquímedes Colina Antunez|Arquímedes]] fue posteriormente aplicado por otros matemáticos y ya en la primera mitad del siglo [[Siglo XV|XV]] el árabe [[Hatake Kakashi|Kashi]] había obtenido para π una aproximación de 17 cifras decimales utilizando polígonos de hasta 805 306 368 lados. Un notable ejemplo de cálculos numéricos son las tablas de logaritmos publicadas en [[1614|1614]] por el holandés [[Neper|Neper]] en que aparecen, con 8 cifras exactas, los logaritmos de las [[Funciones trigonométricas|funciones trigonométricas]] para ángulos desde 0 hasta 90 grados con paso de un minuto. Gracias al gigantesco trabajo numérico del propio [[Neper|Neper]] y de otros como el suizo [[Bürgi|Bürgi]], el escocés [[Briggs|Briggs]] y el holandés [[Vlacq|Vlacq]] ya en [[1628|1628]] existían tablas de logaritmos decimales de los números desde 1 a 100 000 calculadas con 10 cifras decimales exactas.

Desde la aparición de los primeros asentamientos humanos se usaron piedras, cordeles, varillas como instrumentos de medición y cálculo; posteriormente, la aparición del ábaco facilitó enormemente el cálculo aritmético. La introducción de la notación decimal y del cero en el siglo [[Siglo XII|XII]] por los árabes uniformó la notación y el cálculo numérico entre los diversos pueblos. Pero no fue sino hasta inicios del siglo [[Siglo XVII|XVII]], con el invento de las tablas de logaritmos, que el cálculo numérico experimentó un avance fundamental para el desarrollo de la ciencia en el siglo [[Siglo XVII|Siglo_XVII]] y [[Siglo XVIII|XVIII]]. La tabla de logaritmos fue creada por [[John Napier|John Napier (1550-1617)]], quien fue de los primeros en estudiar la notación y el manejo de distintas bases numéricas como la binaria o la exponencial. Sus estudios sobre la relación entre las [[Progresiones geométricas y aritméticas|progresiones geométricas y aritméticas]] lo llevaron a definir el logaritmo base 1/e que publicó en 1615.

Al morir Napier, su amigo [[Henry Briggs|Henry Briggs (1561-1630)]], el primer profesor saviliano de geometría de [[Oxford|Oxford]], retoma y simplifica su trabajo con el fin de generalizarlo a cualquier base, en particular la decimal, que publica en [[1617|1617]] con una precisión de catorce cifras. Con la tabla de logaritmos, las multiplicaciones de varias cifras se convierten en simples sumas y el elevar un número a un exponente se reduce a una simple multiplicación. Esto permitió abordar problemas de [[Astronomía|astronomía]], de [[Balística|balística]] y de índole práctico que parecían incalculables. Poco después, hizo su aparición en [[1624|1624]] la regla de cálculo que permaneció como instrumento personal de cálculo por excelencia hasta la aparición de las primeras calculadoras de bolsillo en [[1970|1970]].

Con estos antecedentes los precursores del cálculo: [[René Descartes|Descartes]], [[Pierre de Fermat|Fermat]], [[Blaise Pascal|Pascal]], [[Wallis|Wallis]], [[Barrow|Barrow]] y [[Gregory|Gregory]], entre otros, desarrollaron la [[Geometría analítica|geometría analítica]], diversos métodos para determinar la ecuación de la [[Tangente|tangente]] a una curva dada; el cálculo de máximos y mínimos y el cálculo de cuadraturas, entre otros temas. Estos resultados prepararon el terreno para que, a fines del siglo [[Siglo XVII|XVII]], [[Leibnitz|Leibnitz]] y [[Isaac Newton|Newton]] los sistematizaran, relacionaran y unificaran en una metodología poderosísima: el cálculo diferencial e integral.

A principios del siglo [[Siglo XVIII|XVIII]] se produce otro gran paso con la aparición del [[Cálculo de Diferencias Finitas|Cálculo de Diferencias Finitas]] (fundado por los ingleses Taylor y [[Stirling|Stirling]]), el cual constituye la base teórica para fundamentar varios métodos numéricos.

Figuras como [[Isaac Newton|Isaac Newton (1642-1727)]] hicieron aportes fundamentales para definir con precisión el concepto de velocidad instantánea, la fuerza de atracción entre los cuerpos, la fuerza gravitacional y la descomposición de la luz, entre otras muchas cosas. Desde el punto de vista numérico, Newton inventó varios algoritmos que se siguen utilizando hasta nuestros días, como el método para encontrar los ceros de una función o la aproximación de derivadas por medio de diferencias divididas o la construcción de polinomios de interpolación.<br>En esa misma época se introdujo el uso de series de potencias que permitió aproximar localmente con la precisión deseada a un gran conjunto de funciones y abrió la posibilidad de atacar problemas de mayor complejidad que aparecen en el estudio de fenómenos físicos como las vibraciones de una cuerda, la difusión de calor o el comportamiento de los fluidos. Por ejemplo, James Gregory (1638-1675) en 1671 determinó la serie de potencias para la función Arctang(x) lo que permitió aproximar, tanto como se deseara, el valor de π<br>(π/4) = 1 – (1/3) + (1/5) – (1/7) +…<br>

Siguiendo el ejemplo de [[Isaac Newton|Newton]], varios matemáticos de primer orden contribuyeron a la solución de problemas numéricos: Leonard Euler (1707-1783) utilizó la serie de Taylor para crear el método que lleva su nombre y que aproxima la solución de problemas con condiciones iniciales en ecuaciones diferenciales ordinarias; [[Joseph Louis Lagrange|''Joseph Louis Lagrange (1736-1813)'']] dio una forma de construir polinomios de interpolación. Karl ''[[Carl Friedrich Gauss|Friedrich Gauss (1777-1855)]] ''contribuyó de manera notable con el método de mínimos cuadrados y sus fórmulas de cuadratura que abren la puerta a la utilización de familias de polinomios ortogonales para la aproximación de integrales; sus aportaciones al estudio de la solución de sistemas de ecuaciones lineales siguen siendo fundamentales en la enseñanza del álgebra lineal. También se le atribuye la invención de la transformada rápida de Fourier, algoritmo que pasó desapercibido hasta su redescubrimiento por Cooley y Tukey en 1963.

Durante la segunda mitad del siglo XIX, la matemática entró en una etapa de rigorismo necesario para cimentar con firmeza su amplio cuerpo de conocimientos Weierstrass y Cauchy entre otros, son los responsables del concepto riguroso de límite que es fundamental en el análisis. Esto explica que la obtención de cálculos numéricos pasara a segundo término aunque el desarrollo del análisis funcional está estrechamente ligado a la aproximación de funciones en espacios normados. Por último, hay que mencionar que, a principios del siglo XX, Richardson aplicó por primera vez el método de diferencias finitas para el análisis de esfuerzos en distintos materiales y que, en 1928 apareció el famoso artículo de Courant, Friedrichs y Lewy sobre el análisis de estabilidad de estos métodos. Para saber más sobre la historia del análisis numérico, consultar.
El surgimiento y consolidación del Análisis Funcional desde finales del siglo XIX hasta principios del XX, permitió a la Matemática Numérica dar un salto cualitativo al lograrse esclarecer los conceptos básicos de la aproximación funcional. Con el surgimiento de las computadoras digitales a mediados del siglo XX y su continuo desarrollo, la Matemática Numérica ha recibido un fuerte estímulo, ya que la computadora digital ha hecho posible la aplicación práctica de muchos métodos numéricos, que con el trabajo en forma manual, solo tendrían un valor teórico. Por otra parte, las computadoras digitales han traído la necesidad de desarrollar nuevos métodos numéricos para dar respuesta a nuevos problemas que antes no era posible siquiera imaginar.</div>
== Fuentes de error. ==
<div align="justify">El hecho de que la Matemática Numérica ponga su atención en métodos aproximados, no significa que los errores carezcan de importancia; todo lo contrario: un método aproximado solo tiene valor si permite, de alguna forma, tener una estimación de la magnitud del error que se comete con su aplicación. Por esta razón, es necesario dedicar un tiempo a estudiar los diversos tipos de errores que se pueden presentar en la solución de un problema real. En la figura 1 se muestra esquemáticamente los pasos que suelen seguirse para llegar a la solución de un problema real y los errores que pueden introducirse en los diferentes pasos. Pudiera pensarse que el camino a seguir es tratar de eliminar todas las fuentes posibles de error, pero no es así: algunos tipos de error son inevitables y, como se verá, algunos resultan aconsejables.</div>

== La modelación y los errores de modelación ==
<div align="justify">El primer paso en la solución de un problema consiste en pasar de una situación problémica del mundo real a un [[Image:Diag.png|border|left|400x400px|Driagrama 1]]modelo matemático. Este modelo matemático consiste generalmente en un conjunto de objetos matemáticos relacionados entre sí, tales como ecuaciones diferenciales, integrales, ecuaciones e inecuaciones algebraicas, tablas, esquemas, etc. que intentan reflejar (no copiar) los aspectos esenciales del mundo real que constituyen la situación problémica del mundo natural. Este paso suele llamarse modelación matemática del problema. Nótese que el modelo no puede, ni debe, reflejar exactamente el mundo real sino sólo los aspectos de aquel que resultan importantes en el problema que se desea resolver, de acuerdo con el uso que se dará a los resultados obtenidos. Realmente, la modelación matemática tiene mucho de arte; si el modelo copia demasiados detalles de la realidad, es probable que el modelo matemático sea tan complicado que no ayude a comprender lo esencial del problema, e incluso, que no pueda ser resuelto posteriormente; si se ignoran aspectos importantes del mundo real entonces puede ocurrir que el modelo sea una aproximación demasiado grosera de la realidad y que se pueda llegar a conclusiones absurdas a partir del modelo. El arte consiste en decidir adecuadamente qué aspectos del mundo real deben estar reflejados en el modelo y cuáles no, de manera que los errores de modelación sean aceptables para los objetivos que se persigue. Por ejemplo, para la mayoría de los problemas de mecánica se suele suponer que la aceleración producida por la fuerza de la gravedad es 9,8 m/seg2, independientemente del lugar de la tierra en que ocurra el fenómeno; en realidad esta acele ración varía desde 9,780 en el ecuador hasta 9,832 en las regiones polares; esta suposición no causa grandes e rrores en problemas comunes pero en el lanzamiento de cohetes propulsores de satélites artificiales, hay que tener en cuenta la aceleración gravitacional propia de cada lugar de La Tierra por donde vuele el cohete pro pulsor, pues de otra forma se introducen errores (de modelación) intolerables. A los efectos de la Matemática Numérica, los errores de modelación suelen clasificarse (junto con los de medición) como errores inherentes, en el sentido de que no pueden ser eliminados o disminuidos por el tratamiento matemático del problema, ya que están presentes desde la misma formulación del problema. </div>
=== Errores de truncamiento ===
<div align="justify">La segunda etapa en la solución de un problema es establecer los métodos o algoritmos que se usarán para la solución del modelo matemático planteado. A veces estos métodos son exactos pero, casi siempre esto no es posible o no es práctico. La mayoría de los métodos exactos solamente se aplican a situaciones muy simples y específicas que raras veces se dan en los problemas reales. Por ejemplo, las ecuaciones algebraicas de grado mayor que 4 solamente se pueden resolver por métodos exactos cuando poseen soluciones enteras o racionales (el método de Rufini) lo cual siempre sucede en los problemas escolares pero casi nunca en la realidad; las ecuaciones no algebraicas (es decir, las trigonométricas, logarítmicas, exponenciales, etc.) solo admiten soluciones por métodos exactos en casos muy triviales; los métodos de integración exactos, basados en hallar una primitiva del integrando, pueden aplicarse a un reducido número de integrales y en problemas tan simples como calcular la longitud de una elipse, fracasan rotundamente. Por todas estas razones, en una gran cantidad de ocasiones hay que recurrir a métodos no exactos en la solución del modelo matemático obtenido. El error que se introduce en el proceso debido a la no exactitud del método de solución empleado se suele llamar error de truncamiento. Esta palabra se utiliza debido a que muchas veces la no exactitud del método utilizado proviene de utilizar en alguna parte de un proceso, solo una cantidad finita de términos de una serie infinita (es decir, de truncar una serie). Sin embargo, no es esta la única causa de que un método no sea exacto; a veces el error se produce por sustituir una derivada por un cociente finito de incrementos o una integral por una suma finita de muchos sumandos pequeños o por detener un proceso infinito convergente. A lo largo de este libro serán tratados muchos métodos aproximados y en cada caso se hará el estudio necesario del error de truncamiento cometido, que a veces se llama simplemente, error del método.</div>
=== Errores en el proceso de cálculo ===
<div align="justify">Una vez que está definido el algoritmo de solución del modelo matemático, se procede a la solución. En la actualidad, la solución se ejecuta, en su mayor parte, mediante calculadora electrónica o mediante una computadora digital con un programa adecuado. En esta etapa del proceso se pueden introducir tres tipos de errores: </div>
==== Errores de observación ====
<div align="justify">Estos son los errores contenidos en los datos debido a la imperfección de los instrumentos de medición o los métodos de observación utilizados o a la poca información acerca del problema que se está resolviendo. A veces, los objetivos que se persiguen no justifican utilizar datos de mayor calidad, los cuales pueden ser muy costosos. Por ejemplo, medir una temperatura con un error menor que 0,01 grados centígrados requiere instrumentos sumamente costosos que pocos laboratorios en el mundo poseen en la actualidad y, posiblemente, el resultado que se desea obtener no se afecte grandemente por este pequeño error de medición. Como ya se mencionó, los errores de medición (junto con los de modelación) forman parte de los llamados errores inherentes, dado su carácter externo al procesamiento matemático del modelo.</div>
==== Equivocaciones ====
<div align="justify">En el trabajo manual estos son esos frecuentes errores que se introducen, por ejemplo, cuando se dice que “tres por dos es cinco” o cuando se oprime una tecla equivocada en la calculadora. Con el uso de las computadoras las equivocaciones no suelen ocurrir en el momento en que se ejecuta el programa, pero sí pueden estar presentes en el programa elaborado y sus consecuencias pueden a veces pasar inadvertidas durante años. Cuando el trabajo numérico se realizaba a mano, los algoritmos de cálculo se ejecutaban mediante tablas y en ellas siempre aparecían “columnas de comprobación”, destinadas a realizar operaciones redundantes solamente con el objetivo de detectar las equivocaciones. Con el uso de las computadoras digitales, el proceso de detección y corrección de equivocaciones (que suele llamarse debuging en el argot de los programadores) es una etapa muy importante de la puesta a punto de un programa, pero se escapa a los objetivos de un curso de Matemática Numérica. </div>
==== Errores de redondeo ====
<div align="justify">Estos errores se producen cuando se sustituye un número decimal por otro con menos cifras. Más adelante se profundizará en este tipo de errores pero por el momento puede adelantarse que ellos están constantemente presentes tanto si se trabaja a mano, como si se usa una calculadora o una computadora sofisticada. Son debidos a la naturaleza del sistema de numeración que se utiliza, el cual se basa en cifras y no permite representar todos los números reales mediante una cantidad finita de dígitos. Por ejemplo, cuando se utiliza 0,333333 en lugar de 1/3 ó 3,1416 en lugar de π , se comenten errores de redondeo. A diferencia de las equivocaciones ante las cuales todo lo que se puede hacer es tratar de evitarlas, con los errores de redondeo hay que aprender a convivir; ellos son inevitables y todo lo que se necesita es, por una parte, mantenerlos lo suficientemente pequeños de modo que no afecten significativamente los resultados que se desea obtener y, por otra parte, no intentar hacerlos exageradamente pequeños (por ejemplo, utilizando una cantidad muy grande de cifras decimales) porque ello se traduce en algoritmos innecesariamente lentos. </div>
== Ejemplos ==

=== Ejemplo#1 ===
<div align="justify">Desde un cierto punto del espacio se lanza un pequeño objeto al suelo (por ejemplo, una piedrecilla) y se desea saber que distancia recorrerá en su trayectoria desde la mano hasta el piso.
'''Solución:'''
Primero es necesario modelar matemáticamente el problema. Como es un problema mecánico, hay que recurrir a las leyes de la Mecánica para elaborar un modelo adecuado. En el proceso de modelación habrá que realizar algunas aproximaciones que introducirán errores de modelación. </div>
'''Se tomarán las siguientes hipótesis:'''

*La partícula lanzada se tratará como si fuera un punto.
*Se considerará que la partícula solamente es atraída por la Tierra y no por la Luna o por otros cuerpos celestes.
*Se tomará el valor de 9,8 m/seg2 como la aceleración de la gravedad.
*Se ignorará el efecto de la fuerza de empuje del aire sobre la partícula.
*No se tomará en cuenta la fricción entre el aire y la partícula.
*Se supondrá que el aire está en reposo, es decir, que no hay viento.
*Se aproximará la superficie del suelo como un plano perfectamente horizontal.<br>
<div align="justify"><br></div><div align="justify">Todas estas hipótesis son idealizaciones que permitirán llegar a un modelo matemático suficientemente sencillo, a costa de introducir errores de modelación. Se supone que el error de modelación introducido es razonablemente pequeño a los efectos del resultado que se desea obtener. Uno de los primeros pasos en la modelación matemática de un problema, es la definición de un sistema de referencia adecuado. Se tomará el instante en que la piedra es lanzada (en que abandona la mano) como el instante inicial (t = 0). En cuanto al sistema de referencia espacial, se tomará un plano coordenado con su eje x colocado en el suelo y el eje y vertical pasando por el punto en que la partícula abandona la mano. El eje x se toma en una dirección tal, que la trayectoria de la partícula se efectúa en plano xy. En la figura 2 se muestra el sistema de referencia, la partícula en su posición inicial (en blanco) y en un instante t posterior (en negro) y, en línea de puntos, la trayectoria que supuestamente seguirá. [[Image:Func.png|border|center|Func.png]]</div> <div align="justify"></div>
Para obtener el modelo matemático se hará uso de la conocida Segunda Ley de Newton de la Mecánica: “La suma de las fuerzas que actúan sobre una partícula es igual al producto de su masa por su aceleración”. Esta ley establece una igualdad vectorial, que puede expresarse como dos igualdades escalares, tomando las componentes respectivas de la fuerza resultante y de la aceleración:<br>Fx = max (1)<br>Fy = may (2)<br>En un instante t = 0 cualquiera, según la hipótesis iniciales, la única fuerza que actúa sobre la partícula es la debida a la atracción gravitacional, que es una fuerza vertical dirigida hacia abajo y de magnitud mg. De aquí resulta Fx = 0 y Fy = – mg. Sustituyendo en las ecuaciones (1) y (2):<br>max = 0 (3)<br> may = – mg (4)<br>

De las ecuaciones (3) y (4) se obtienen de forma inmediata:

ax = 0     (5)<br>ay = – g  (6)<br>Como la aceleración es la segunda derivada del desplazamiento respecto al tiempo, las ecuaciones (5) y (6) se traducen en:<br>(d²x) / (dt²) = 0 (7)<br>(d²y) / (dt²) = -g (8)  donde t = 0.<br>Para completar el modelo matemático hay que añadir a las ecuaciones (7) y (8) las condiciones iniciales del problema, algunas de las cuales son consecuencia del sistema de referencia definido:<br>x (0) = 0   (9)<br> y (0) = h  (10)<br>vx (0) = v0 x (11)<br>v y (0) = v0 y (12)<br>donde h, v0x y v0y son datos del problema que habrá que obtener por medición.

Las ecuaciones (7) a (12) constituyen el modelo matemático del problema. Operando con este modelo matemático se pueden predecir muchas cosas: la trayectoria de la partícula, el lugar en que esta choca con el suelo, la máxima altura que alcanza en su recorrido, etcétera. Como el problema que se desea investigar es la distancia que recorre la piedra en su trayectoria, será necesario trabajar con el modelo para obtener:
<div align="align"></div>
== Aplicaciones en la computación ==
<div align="align"></div>
Hay muchas formas de representar los números, desde la antigüedad se conocen las ventajas de utilizar potencias de 10 lo que da un sistema posicional decimal en el que es importante la posición que ocupa un dígito. Usar las potencias de diez es natural porque los humanos tienen diez dedos en la mano, pero hay otros sistemas que utilizan las potencias de otros números. Los babilónicos tenían un sistema sexagesimal y quedan vestigios de ello en nuestra forma de medir el tiempo. Para las computadoras lo más natural es usar potencias de dos, ya que almacenan los caracteres en bytes que a su vez se componen de 8 bits. Cada bit puede tomar dos valores, uno si está prendido y cero si está apagado. Un byte permite representar 256 caracteres distintos.<br>Una palabra de computadora se compone de 4 bytes y una palabra doble de 8 bytes consecutivos. Al usar potencias de dos se dice que se trabaja en base binaria en lugar de la base decimal. Algunas computadoras modernas trabajan en base octal, base 8, o hexadecimal que es en base 16.<br>La manera más fácil de representar un número real en una computadora es en notación de punto flotante. A continuación, por simplicidad, se presenta esta notación en base decimal aunque las computadoras usan otras bases. La notación es la siguiente:<br>X = +- d1d2d3……..dkdk+1…….. X 10^n<br>donde n es un número entero, dk es un número entero entre 0 y 9, y d1 es distinto de cero. La sucesión de dígitos dk se le conoce como la mantisa y al entero n como el exponente.

Como la representación de un número real puede tener mantisa infinita y n puede tomar cualquier valor en los enteros, es imposible que un instrumento de cálculo pueda representar cualquier número en forma exacta; cada instrumento de cálculo tiene una cota superior e inferior para n y solo puede almacenar un número finito de dígitos k de la mantisa. Si se almacena un real con exponente mayor a n; la computadora marca un error que se conoce como overflow o desbordamiento superior. Si el real tiene como exponente un entero menor a la cota inferior, la máquina genera un error de underflow o desbordamiento inferior. Cuando la mantisa tiene un número de dígitos mayor a k entonces la computadora redondea el número y almacena solo k dígitos.<br>El procedimiento de redondear consiste en lo siguiente: primero se observa el valor del dígito dk+1; si este es menor o igual a 4 se almacenan únicamente los primeros k dígitos; si dk+1 es mayor o igual a 5 se suma un uno al k-ésimo dígito y se almacenan los k dígitos del número resultante.<br>Para representar un número en punto flotante se puede usar una palabra simple o doble, la diferencia estriba en el número de dígitos k de la mantisa que almacenan. Si se usan palabras simples para representar a los reales se dice que se calcula en simple precisión o en doble precisión en caso de utilizar palabras dobles.<br>¿De qué tamaño es el error que se comete al representar cualquier número real en una computadora? Para estimarlo denótese por fl(x) la representación en punto flotante de un número real x en una computadora con una mantisa de k dígitos. Se usará el error relativo Er para estimar el error y se puede probar que

[[Image:Funcs1.jpg]]<br>
<div align="align"></div> <div align="align">A este error se le llama error de redondeo. En consecuencia, cuando se resuelve un problema con una computadora, la mayor parte de las veces, se resuelve un problema aproximado y no el original; los resultados obtenidos tendrán, en el mejor de los casos, la precisión de la computadora. </div>
== Véase también ==

*[[Funciones Matemáticas|Funciones matemáticas ]]<br>
*[[Matemática|Matemática]]
*[[Matemática Discreta|Matemática Discreta]]
*[[Análisis Matemático|Análisis Matemático]]<br>
*[[Elementos de lógica matemática|Elementos de lógica matemática]]<br>

== Bibliografía ==

*  Benjamin, Peirce (1882). Linear Associative Algebra. Van Nostrand. Digitalizado por University of California Libraries. Págs. 97-229.
*  Einstein, Albert (1923). «Geometry and experience», en Sidelights on relativity. P. Dutton., Co.
*  Peterson, Ivars. (2001). Mathematical Tourist, New and Updated Snapshots of Modern Mathematics. Owl Books. ISBN 0-8050-7159-8.
* Jourdain, Philip E. B., «The Nature of Mathematics», en The World of Mathematics. Courier Dover Publications. ISBN 0-486-41153-8.
*  Waltershausen, Wolfgang Sartorius von (1856, repr. 1965). Gauss zum Gedächtniss. Sändig Reprint Verlag H. R. Wohlwend. ISBN 3-253-01702-8.
*  Popper, Karl R. (1995). «On knowledge», en In Search of a Better World: Lectures and Essays from Thirty Years. Routledge. ISBN 0-415-13548-6.
*  Ziman, J.M., F.R.S. (1968). Public Knowledge:An essay concerning the social dimension of science. Cambridge University Press.
*  Riehm, Carl (August 2002). «The Early History of the Fields Medal», en Notices of the AMS. AMS 49 (7). Págs. 778–782.<br>

== Enlaces externos ==

*[http://huitoto.udea.edu.co/Matematicas/NuevoContenido.html Curso de matemáticas dirigido a estudiantes de ingeniería de sistemas]. <br>
*[http://thesaurus.maths.org/mmkb/view.html?resource=index Conexiones Matemáticas]
*[http://www.rsme.es/  Real Sociedad Matemática Española]
* [http://e.hnesolutions.com/numerics/mainnumerics.aspx Sitio Interactivo de Análisis Numérico]
* [http://ciencia.astroseti.org/matematicas/ Historia de las Matemáticas (Astroseti)]
* [http://www.rinconmatematico.com/ Temas de matemática básica.]
*[http://www.elsaposabio.com/matematicas Ejercicios de Matemáticas.]
*[http://www.matematicas.net/ "El paraíso de las Matemáticas"]<br>

<br>

[[Category:Matemáticas]]