EcuRed - Contribuciones del colaborador [es]

Triángulo

2016-01-18T18:00:18Z

Pararinax: /* Líneas en el triángulo */ Se ha redactado en una notación matemática correcta, usando posibles opciones para indicar las operaciones que intervienen.

<div align="justify">
{{Otros usos|este=Triángulo|Triángulo (desambiguación)}}
{{Definición
|Nombre=Triángulo
|imagen=Triángulo.JPG
|concepto=Es la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada de tres lados, o sea, la parte de superficie plana limitada por tres segmentos.
}}
<div align="justify">
'''Triángulo(figura)'''. [[Polígono|Polígono]] de tres lados. La suma de los tres [[Ángulos|ángulos]] de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u [[obtuso]]. 

== Definición ==
Un triángulo es un [polígono] de 3 lados, siendo el menor de los polígonos en cuanto a la cantidad de lados. Las [[longitud]]es de todos los lados deben satisfacer la llamada [[Desigualdad triangular]].

==Regiones==

Es un polígono convexo; no tiene diagonales; si se considera al triángulo como la unión de tres segmentos determinados por 3 puntos no colineales, el plano queda dividido en dos regiones disjuntas: interior y exterior; si se une un punto del interior con otro del exterior, el segmento que originan corta el triángulo; además cualquier segmento definido por dos puntos del interior no corta el triángulo; en el caso de un segmento que une dos puntos del exterior, dicho segmento no corta el triángulo. Por un punto del exterior se puede trazar al menos una recta que no corta al triángulo. Cualquier recta que pasa por un punto del interior, siempre corta el triángulo, el interior no puede contener una recta. <ref>Michael Helfgott: ''Geometría moderna'', Lima </ref>

== Clasificación ==
Los triángulos se clasifican según la [[longitud]] de sus lados o según la amplitud de sus [[Ángulo|ángulos]].

=== Según sus lados ===
Según la [[longitud]] de sus lados, los triángulos se clasifican en:

* [[Triángulo equilátero]]: si sus tres lados son iguales.
* [[Triángulo isósceles]]: si tienen dos lados iguales.
* [[Triángulo escaleno]]: si los tres lados son distintos.

[[Image:Triángulo lados.jpg|thumb|center|Clasificación según lados]]

=== Según sus ángulos ===
La clasificación según sus [[ángulo]]s los define en las siguentes categorías:

* [[Triángulo acutángulo]]: Si todos los [[ángulo]]s del triángulo son [[Ángulo agudo|agudos]].
* [[Triángulo rectángulo]]: Si tiene un [[ángulo recto]]. Estos triángulos también se denominan [[Triángulo recto|rectos]].
* [[Triángulo obtusángulo]]: Estos triángulos poseen un [[ángulo obtuso]].

[[Image:Triángulo ángulos.jpg|thumb|center|Clasificación según ángulos]]

== Alturas de un Triángulo ==
Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El [[segmento]] perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres [[Bases|bases]] a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc. 
En un [[triángulo rectángulo]] el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos [[segmento]]s en que la divide: h2 = m • n 
Esta relación se conoce como '''teorema de la altura'''. 
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado [[Ortocentro|ortocentro]]. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.

[[Image:Triángulo alturas.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo acutángulo]]En un [[triángulo rectángulo]], cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del [[ángulo]] recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. 

[[Image:Triángulo alturas acuttángulos.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo obtusángulo]] 

== Medianas ==
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres [[segmento]]s que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un [[punto]] que se llama [[Baricentros|baricentro]]. 
[[Image:Triángulo medianas.jpg|thumb|center|Medianas de un triángulo]]El baricentro corta a cada mediana en dos [[segmento]]s, uno de ellos la mitad del otro: 

[[Image:Triángulo medianas proporciones.jpg|thumb|center|Proporciones que se cumplen]] 

== Circunferencia inscrita ==
Las bisectrices de los tres [[ángulo]]s de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor [[circunferencia]] contenida en el triángulo. 
[[Image:Triángulo circunf inscrita.jpg|thumb|center|Circunferencia inscrita]] 

== Circunferencia exinscritas ==
La [[bisectriz interior]] de un [[ángulo]] se corta con las dos [[Bisectrices|bisectrices exteriores]] de los otros dos [[ángulo]]s en un punto llamado exincentro, y que es centro de una [[circunferencia]] (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos. 
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas. 

[[Image:Triángulo circunf exinscritas.jpg|thumb|center|circunferencia exinscrita]]

== Circunferencia circunscrita ==
Las [[mediatrices]] de los lados de un triángulo se cortan en un [[punto]] llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo. 

== Área de un Triángulo ==
[[Image:Triángulo medianas división.jpg|thumb|center|403x175px|Distintas fórmulas para calcular el área de un triángulo]] 
El [[Área]] de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es: A = (1/2)a • ha = (1/2)b • hb = (1/2)c • hc 
Si se conocen las [[longitud]]es de los tres lados, a, b, c, el [[área]] se puede calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de [[Herón|Herón]]:

[[Image:Triángulo área herón.jpg|thumb|center|fórmula de herón para calcular área de un triángulo]] 

en donde p = (a + b + c)/2 es el [[Semiperímetro|semiperímetro]] del triángulo. 

==Topología del triángulo==
Se va a usar la topología común o euclídea del plano.
* Un punto es punto interior de un triángulo si se traza una recta por este punto, la recta corta al triángulo en dos puntos. Y el punto está entre las dos intersecciones. de la recta con el triángulo
*El interior I de un triángulo es el conjunto de todos sus puntos interiores. I es un conjunto abierto, en el sentido de que para cualquiera de sus puntos P0 el círculo C(P0, r)-los puntos que están a una distancia menor que r están en el interior I.
* El interior unido con el triángulo (como segmentos unidos) es un conjunto cerrado; algunos llaman ''región triangular'' , como tal tiene área.
* El triángulo - como unión de segmentos- es, topologimente, ''frontera'' de su región triangular.
* Un triangulo es equivalente a un cuadrado, elipse, circunferencia; esto es, se puede establecer una transformación topológica entre dos de tales conjuntos. <ref> Adaptación de los conceptos de Grupos continuos de Pontriaguin.</ref>. De manera que dos puntos próximos en el dominio, siguen próximos en el codominio, se preserva la frontera, el interior, etc, que son propiedades topológicas.
* Una región triangular es un conjunto compacto, pues es cerrado y acotado, inscribible en una circunferencia.
* No es equivalente a una corona circular, pues esta como una región en el plano, tiene su exterior formado por dos conjuntos abiertos y disjuntos. Su exterior no es conjunto conexo, mientras que el exterior de una región triangular sí lo es. Su exterior de la región triangular es abierto y conexo.. <ref> Salpicones sugerentes en ''Formas y números'' de Milton Donaire Peña ISBN 978-612-45279-9-9 </ref>

==Áreas y otras expresiones==
===Diversas formas del área triangular===
Siendo S, el área; a b y c los lados que cumplen x < y+z tambien x-y < z; p = semiperímetro = 0.5 (a+b+c); ha, hb, hc alturas de los lados respectivos; A, B, C medidas de los ángulos interiores opuestos a los lados a,b,c respectivamnete; R radio de la circunferencia circunscrita en torno al triángulo; r, el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo; ra, rb, rc, los radios de las circunferencias exinscritas que son tangentes de los lados a,b,c. <ref>A. G. Tsipkin, G:G. Tsipkin : ''Fórmulas matemáticas Álgebra Geometría Análisis Matemático. Editorial Mir, Moscú, 1985; traducido del ruso por Samojválov; impreso en la URSS</ref>
* S = 0.5 aha =0.5 b hb= chc;
* S = 0.5absenC; S = S= abc/4R; S = pr.
* S = ra(p-a); S = rb(p-b); S = rc(p-c);
* S = p(p-a) tag A/2 = p(p-b) tg B/2 = p(p-)tgC/2.

===Fórmula de Molveide===
* (a+b)/c = cos[0.5 (A-B)]/ sen (0.5C) = cos[0.5(A-B)]/cos[0.5(A+B)]

*(a-b)/c = sen[0.5 (A-B)]/ cos (0.5C) = sen[0.5(A-B)]/sen[0.5(A+B)]

===Líneas en el triángulo===
* Mediana
::: ma = 0.5 (2b2+2c2-a2)0.5, la mediana que une el vértice A con el punto medio del lado ''a''.
* Altura
::: ha = 2[p(p-a)(p-b)(p-c)]0.5 /a, siendo la altura ''ha'', trazada del vértice A sobre la base ''a''; p es el semiperímetro, p = (a+b+c)/2
* Bisectriz
::: la = 2[bcp(p-a)]0.5/(b+c), bisectriz al lado A, biseca el angBAC:
::: la = 2abcos''C/2'': (a+b) = 2accos''B/2'' : (a+c)

==referencias==
{{listaref}}

== Fuentes ==
*[[Encarta|Microsoft ® Encarta]] ® [[2007|2007]]. © [[1993|1993]]--[[2006|2006 ]]Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
*[[Arturo Miyares|Miyares Arturo]] y [[Jose M Escalona|Escalona Jose M]]. Geometría, Segundo Curso. Quinta Edición. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba. [[1974|1974]].

[[Category:Geometría]] [[Category:Geometría_euclídea]]

Triángulo

2016-01-18T17:49:55Z

Pararinax: /* Líneas en el triángulo */

<div align="justify">
{{Otros usos|este=Triángulo|Triángulo (desambiguación)}}
{{Definición
|Nombre=Triángulo
|imagen=Triángulo.JPG
|concepto=Es la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada de tres lados, o sea, la parte de superficie plana limitada por tres segmentos.
}}
<div align="justify">
'''Triángulo(figura)'''. [[Polígono|Polígono]] de tres lados. La suma de los tres [[Ángulos|ángulos]] de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u [[obtuso]]. 

== Definición ==
Un triángulo es un [polígono] de 3 lados, siendo el menor de los polígonos en cuanto a la cantidad de lados. Las [[longitud]]es de todos los lados deben satisfacer la llamada [[Desigualdad triangular]].

==Regiones==

Es un polígono convexo; no tiene diagonales; si se considera al triángulo como la unión de tres segmentos determinados por 3 puntos no colineales, el plano queda dividido en dos regiones disjuntas: interior y exterior; si se une un punto del interior con otro del exterior, el segmento que originan corta el triángulo; además cualquier segmento definido por dos puntos del interior no corta el triángulo; en el caso de un segmento que une dos puntos del exterior, dicho segmento no corta el triángulo. Por un punto del exterior se puede trazar al menos una recta que no corta al triángulo. Cualquier recta que pasa por un punto del interior, siempre corta el triángulo, el interior no puede contener una recta. <ref>Michael Helfgott: ''Geometría moderna'', Lima </ref>

== Clasificación ==
Los triángulos se clasifican según la [[longitud]] de sus lados o según la amplitud de sus [[Ángulo|ángulos]].

=== Según sus lados ===
Según la [[longitud]] de sus lados, los triángulos se clasifican en:

* [[Triángulo equilátero]]: si sus tres lados son iguales.
* [[Triángulo isósceles]]: si tienen dos lados iguales.
* [[Triángulo escaleno]]: si los tres lados son distintos.

[[Image:Triángulo lados.jpg|thumb|center|Clasificación según lados]]

=== Según sus ángulos ===
La clasificación según sus [[ángulo]]s los define en las siguentes categorías:

* [[Triángulo acutángulo]]: Si todos los [[ángulo]]s del triángulo son [[Ángulo agudo|agudos]].
* [[Triángulo rectángulo]]: Si tiene un [[ángulo recto]]. Estos triángulos también se denominan [[Triángulo recto|rectos]].
* [[Triángulo obtusángulo]]: Estos triángulos poseen un [[ángulo obtuso]].

[[Image:Triángulo ángulos.jpg|thumb|center|Clasificación según ángulos]]

== Alturas de un Triángulo ==
Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El [[segmento]] perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres [[Bases|bases]] a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc. 
En un [[triángulo rectángulo]] el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos [[segmento]]s en que la divide: h2 = m • n 
Esta relación se conoce como '''teorema de la altura'''. 
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado [[Ortocentro|ortocentro]]. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.

[[Image:Triángulo alturas.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo acutángulo]]En un [[triángulo rectángulo]], cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del [[ángulo]] recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. 

[[Image:Triángulo alturas acuttángulos.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo obtusángulo]] 

== Medianas ==
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres [[segmento]]s que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un [[punto]] que se llama [[Baricentros|baricentro]]. 
[[Image:Triángulo medianas.jpg|thumb|center|Medianas de un triángulo]]El baricentro corta a cada mediana en dos [[segmento]]s, uno de ellos la mitad del otro: 

[[Image:Triángulo medianas proporciones.jpg|thumb|center|Proporciones que se cumplen]] 

== Circunferencia inscrita ==
Las bisectrices de los tres [[ángulo]]s de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor [[circunferencia]] contenida en el triángulo. 
[[Image:Triángulo circunf inscrita.jpg|thumb|center|Circunferencia inscrita]] 

== Circunferencia exinscritas ==
La [[bisectriz interior]] de un [[ángulo]] se corta con las dos [[Bisectrices|bisectrices exteriores]] de los otros dos [[ángulo]]s en un punto llamado exincentro, y que es centro de una [[circunferencia]] (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos. 
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas. 

[[Image:Triángulo circunf exinscritas.jpg|thumb|center|circunferencia exinscrita]]

== Circunferencia circunscrita ==
Las [[mediatrices]] de los lados de un triángulo se cortan en un [[punto]] llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo. 

== Área de un Triángulo ==
[[Image:Triángulo medianas división.jpg|thumb|center|403x175px|Distintas fórmulas para calcular el área de un triángulo]] 
El [[Área]] de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es: A = (1/2)a • ha = (1/2)b • hb = (1/2)c • hc 
Si se conocen las [[longitud]]es de los tres lados, a, b, c, el [[área]] se puede calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de [[Herón|Herón]]:

[[Image:Triángulo área herón.jpg|thumb|center|fórmula de herón para calcular área de un triángulo]] 

en donde p = (a + b + c)/2 es el [[Semiperímetro|semiperímetro]] del triángulo. 

==Topología del triángulo==
Se va a usar la topología común o euclídea del plano.
* Un punto es punto interior de un triángulo si se traza una recta por este punto, la recta corta al triángulo en dos puntos. Y el punto está entre las dos intersecciones. de la recta con el triángulo
*El interior I de un triángulo es el conjunto de todos sus puntos interiores. I es un conjunto abierto, en el sentido de que para cualquiera de sus puntos P0 el círculo C(P0, r)-los puntos que están a una distancia menor que r están en el interior I.
* El interior unido con el triángulo (como segmentos unidos) es un conjunto cerrado; algunos llaman ''región triangular'' , como tal tiene área.
* El triángulo - como unión de segmentos- es, topologimente, ''frontera'' de su región triangular.
* Un triangulo es equivalente a un cuadrado, elipse, circunferencia; esto es, se puede establecer una transformación topológica entre dos de tales conjuntos. <ref> Adaptación de los conceptos de Grupos continuos de Pontriaguin.</ref>. De manera que dos puntos próximos en el dominio, siguen próximos en el codominio, se preserva la frontera, el interior, etc, que son propiedades topológicas.
* Una región triangular es un conjunto compacto, pues es cerrado y acotado, inscribible en una circunferencia.
* No es equivalente a una corona circular, pues esta como una región en el plano, tiene su exterior formado por dos conjuntos abiertos y disjuntos. Su exterior no es conjunto conexo, mientras que el exterior de una región triangular sí lo es. Su exterior de la región triangular es abierto y conexo.. <ref> Salpicones sugerentes en ''Formas y números'' de Milton Donaire Peña ISBN 978-612-45279-9-9 </ref>

==Áreas y otras expresiones==
===Diversas formas del área triangular===
Siendo S, el área; a b y c los lados que cumplen x < y+z tambien x-y < z; p = semiperímetro = 0.5 (a+b+c); ha, hb, hc alturas de los lados respectivos; A, B, C medidas de los ángulos interiores opuestos a los lados a,b,c respectivamnete; R radio de la circunferencia circunscrita en torno al triángulo; r, el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo; ra, rb, rc, los radios de las circunferencias exinscritas que son tangentes de los lados a,b,c. <ref>A. G. Tsipkin, G:G. Tsipkin : ''Fórmulas matemáticas Álgebra Geometría Análisis Matemático. Editorial Mir, Moscú, 1985; traducido del ruso por Samojválov; impreso en la URSS</ref>
* S = 0.5 aha =0.5 b hb= chc;
* S = 0.5absenC; S = S= abc/4R; S = pr.
* S = ra(p-a); S = rb(p-b); S = rc(p-c);
* S = p(p-a) tag A/2 = p(p-b) tg B/2 = p(p-)tgC/2.

===Fórmula de Molveide===
* (a+b)/c = cos[0.5 (A-B)]/ sen (0.5C) = cos[0.5(A-B)]/cos[0.5(A+B)]

*(a-b)/c = sen[0.5 (A-B)]/ cos (0.5C) = sen[0.5(A-B)]/sen[0.5(A+B)]

===Líneas en el triángulo===
* Mediana
::: ma = 0.5 (2b2+2c2-a2)0.5, la mediana que une el vértice A con el punto medio del lado ''a''.
* Altura
::: ha = 2[p(p-a)(p-b)(p-c)]0.5 /a, siendo la altura ''ha'', trazada del vértice A sobre la base ''a''; p es el semiperímetro, p = (a+b+c)/2
* bisectriz

==referencias==
{{listaref}}

== Fuentes ==
*[[Encarta|Microsoft ® Encarta]] ® [[2007|2007]]. © [[1993|1993]]--[[2006|2006 ]]Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
*[[Arturo Miyares|Miyares Arturo]] y [[Jose M Escalona|Escalona Jose M]]. Geometría, Segundo Curso. Quinta Edición. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba. [[1974|1974]].

[[Category:Geometría]] [[Category:Geometría_euclídea]]

Triángulo

2016-01-18T17:43:43Z

Pararinax: /* Fórmula de Molveide */

<div align="justify">
{{Otros usos|este=Triángulo|Triángulo (desambiguación)}}
{{Definición
|Nombre=Triángulo
|imagen=Triángulo.JPG
|concepto=Es la porción de plano limitada por una línea poligonal cerrada de tres lados, o sea, la parte de superficie plana limitada por tres segmentos.
}}
<div align="justify">
'''Triángulo(figura)'''. [[Polígono|Polígono]] de tres lados. La suma de los tres [[Ángulos|ángulos]] de un triángulo es 180º. Dos de los ángulos son, necesariamente, agudos. El tercero puede ser también agudo, o bien recto u [[obtuso]]. 

== Definición ==
Un triángulo es un [polígono] de 3 lados, siendo el menor de los polígonos en cuanto a la cantidad de lados. Las [[longitud]]es de todos los lados deben satisfacer la llamada [[Desigualdad triangular]].

==Regiones==

Es un polígono convexo; no tiene diagonales; si se considera al triángulo como la unión de tres segmentos determinados por 3 puntos no colineales, el plano queda dividido en dos regiones disjuntas: interior y exterior; si se une un punto del interior con otro del exterior, el segmento que originan corta el triángulo; además cualquier segmento definido por dos puntos del interior no corta el triángulo; en el caso de un segmento que une dos puntos del exterior, dicho segmento no corta el triángulo. Por un punto del exterior se puede trazar al menos una recta que no corta al triángulo. Cualquier recta que pasa por un punto del interior, siempre corta el triángulo, el interior no puede contener una recta. <ref>Michael Helfgott: ''Geometría moderna'', Lima </ref>

== Clasificación ==
Los triángulos se clasifican según la [[longitud]] de sus lados o según la amplitud de sus [[Ángulo|ángulos]].

=== Según sus lados ===
Según la [[longitud]] de sus lados, los triángulos se clasifican en:

* [[Triángulo equilátero]]: si sus tres lados son iguales.
* [[Triángulo isósceles]]: si tienen dos lados iguales.
* [[Triángulo escaleno]]: si los tres lados son distintos.

[[Image:Triángulo lados.jpg|thumb|center|Clasificación según lados]]

=== Según sus ángulos ===
La clasificación según sus [[ángulo]]s los define en las siguentes categorías:

* [[Triángulo acutángulo]]: Si todos los [[ángulo]]s del triángulo son [[Ángulo agudo|agudos]].
* [[Triángulo rectángulo]]: Si tiene un [[ángulo recto]]. Estos triángulos también se denominan [[Triángulo recto|rectos]].
* [[Triángulo obtusángulo]]: Estos triángulos poseen un [[ángulo obtuso]].

[[Image:Triángulo ángulos.jpg|thumb|center|Clasificación según ángulos]]

== Alturas de un Triángulo ==
Se llama base de un triángulo a cualquiera de sus lados. El [[segmento]] perpendicular desde un vértice a la base opuesta o a su prolongación se llama altura. Un triángulo tiene, pues, tres [[Bases|bases]] a, b, c, y las tres alturas correspondientes, ha, hb y hc. 
En un [[triángulo rectángulo]] el cuadrado de la altura sobre la hipotenusa es igual al producto de los dos [[segmento]]s en que la divide: h2 = m • n 
Esta relación se conoce como '''teorema de la altura'''. 
Las tres alturas de un triángulo (o sus prolongaciones) se cortan en un punto llamado [[Ortocentro|ortocentro]]. Si el triángulo es acutángulo, el ortocentro es interior al triángulo.

[[Image:Triángulo alturas.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo acutángulo]]En un [[triángulo rectángulo]], cada cateto puede ser considerado como base y como altura. El ortocentro es, por tanto, el vértice del [[ángulo]] recto. Si el triángulo es obtusángulo el ortocentro se obtiene, prolongando las alturas, fuera del triángulo. 

[[Image:Triángulo alturas acuttángulos.jpg|thumb|center|Alturas del triángulo obtusángulo]] 

== Medianas ==
Se llama mediana de un triángulo a cada uno de los tres [[segmento]]s que unen un vértice con el punto medio del lado opuesto. Las tres medianas de un triángulo se cortan en un [[punto]] que se llama [[Baricentros|baricentro]]. 
[[Image:Triángulo medianas.jpg|thumb|center|Medianas de un triángulo]]El baricentro corta a cada mediana en dos [[segmento]]s, uno de ellos la mitad del otro: 

[[Image:Triángulo medianas proporciones.jpg|thumb|center|Proporciones que se cumplen]] 

== Circunferencia inscrita ==
Las bisectrices de los tres [[ángulo]]s de un triángulo se cortan en un punto que se llama incentro porque es el centro de la circunferencia inscrita que es tangente a los tres lados del triángulo. Ésta es la mayor [[circunferencia]] contenida en el triángulo. 
[[Image:Triángulo circunf inscrita.jpg|thumb|center|Circunferencia inscrita]] 

== Circunferencia exinscritas ==
La [[bisectriz interior]] de un [[ángulo]] se corta con las dos [[Bisectrices|bisectrices exteriores]] de los otros dos [[ángulo]]s en un punto llamado exincentro, y que es centro de una [[circunferencia]] (exinscrita) tangente a un lado y a la prolongación de los otros dos. 
Un triángulo tiene, pues, tres circunferencias exinscritas. 

[[Image:Triángulo circunf exinscritas.jpg|thumb|center|circunferencia exinscrita]]

== Circunferencia circunscrita ==
Las [[mediatrices]] de los lados de un triángulo se cortan en un [[punto]] llamado circuncentro porque es centro de la circunferencia circunscrita que pasa por los tres vértices del triángulo. Esta es la menor circunferencia que contiene al triángulo. 

== Área de un Triángulo ==
[[Image:Triángulo medianas división.jpg|thumb|center|403x175px|Distintas fórmulas para calcular el área de un triángulo]] 
El [[Área]] de un triángulo de lados a, b, c, y alturas correspondientes ha, hb y hc es: A = (1/2)a • ha = (1/2)b • hb = (1/2)c • hc 
Si se conocen las [[longitud]]es de los tres lados, a, b, c, el [[área]] se puede calcular mediante la siguiente fórmula, llamada fórmula de [[Herón|Herón]]:

[[Image:Triángulo área herón.jpg|thumb|center|fórmula de herón para calcular área de un triángulo]] 

en donde p = (a + b + c)/2 es el [[Semiperímetro|semiperímetro]] del triángulo. 

==Topología del triángulo==
Se va a usar la topología común o euclídea del plano.
* Un punto es punto interior de un triángulo si se traza una recta por este punto, la recta corta al triángulo en dos puntos. Y el punto está entre las dos intersecciones. de la recta con el triángulo
*El interior I de un triángulo es el conjunto de todos sus puntos interiores. I es un conjunto abierto, en el sentido de que para cualquiera de sus puntos P0 el círculo C(P0, r)-los puntos que están a una distancia menor que r están en el interior I.
* El interior unido con el triángulo (como segmentos unidos) es un conjunto cerrado; algunos llaman ''región triangular'' , como tal tiene área.
* El triángulo - como unión de segmentos- es, topologimente, ''frontera'' de su región triangular.
* Un triangulo es equivalente a un cuadrado, elipse, circunferencia; esto es, se puede establecer una transformación topológica entre dos de tales conjuntos. <ref> Adaptación de los conceptos de Grupos continuos de Pontriaguin.</ref>. De manera que dos puntos próximos en el dominio, siguen próximos en el codominio, se preserva la frontera, el interior, etc, que son propiedades topológicas.
* Una región triangular es un conjunto compacto, pues es cerrado y acotado, inscribible en una circunferencia.
* No es equivalente a una corona circular, pues esta como una región en el plano, tiene su exterior formado por dos conjuntos abiertos y disjuntos. Su exterior no es conjunto conexo, mientras que el exterior de una región triangular sí lo es. Su exterior de la región triangular es abierto y conexo.. <ref> Salpicones sugerentes en ''Formas y números'' de Milton Donaire Peña ISBN 978-612-45279-9-9 </ref>

==Áreas y otras expresiones==
===Diversas formas del área triangular===
Siendo S, el área; a b y c los lados que cumplen x < y+z tambien x-y < z; p = semiperímetro = 0.5 (a+b+c); ha, hb, hc alturas de los lados respectivos; A, B, C medidas de los ángulos interiores opuestos a los lados a,b,c respectivamnete; R radio de la circunferencia circunscrita en torno al triángulo; r, el radio de la circunferencia inscrita en el triángulo; ra, rb, rc, los radios de las circunferencias exinscritas que son tangentes de los lados a,b,c. <ref>A. G. Tsipkin, G:G. Tsipkin : ''Fórmulas matemáticas Álgebra Geometría Análisis Matemático. Editorial Mir, Moscú, 1985; traducido del ruso por Samojválov; impreso en la URSS</ref>
* S = 0.5 aha =0.5 b hb= chc;
* S = 0.5absenC; S = S= abc/4R; S = pr.
* S = ra(p-a); S = rb(p-b); S = rc(p-c);
* S = p(p-a) tag A/2 = p(p-b) tg B/2 = p(p-)tgC/2.

===Fórmula de Molveide===
* (a+b)/c = cos[0.5 (A-B)]/ sen (0.5C) = cos[0.5(A-B)]/cos[0.5(A+B)]

*(a-b)/c = sen[0.5 (A-B)]/ cos (0.5C) = sen[0.5(A-B)]/sen[0.5(A+B)]

===Líneas en el triángulo===
* Mediana
::: ma = 0.5 (2b2+2c2-a2)0.5, la mediana que une el vértice A con el punto medio del lado ''a''.
* altura
* bisectriz

==referencias==
{{listaref}}

== Fuentes ==
*[[Encarta|Microsoft ® Encarta]] ® [[2007|2007]]. © [[1993|1993]]--[[2006|2006 ]]Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos.
*[[Arturo Miyares|Miyares Arturo]] y [[Jose M Escalona|Escalona Jose M]]. Geometría, Segundo Curso. Quinta Edición. Editorial Pueblo y Educación. La Habana. Cuba. [[1974|1974]].

[[Category:Geometría]] [[Category:Geometría_euclídea]]

Usuario:Pararinax

2016-01-18T17:36:28Z

Pararinax: Página creada con «Ayer no me permitieron grabar ''líneas de un triángulo'', hoy no he podido entrar como Pararin; no he he visto otra opción que ingresar con otro remoquete, pero con el m...»

Ayer no me permitieron grabar ''líneas de un triángulo'', hoy no he podido entrar como Pararin; no he he visto otra opción que ingresar con otro remoquete, pero con el mismo temple de un modesto y honesto editor: verdad y libertad.--[[Usuario:Pararinax|Pararinax]] ([[Usuario discusión:Pararinax|discusión]]) 12:36 18 ene 2016 (CST)