EcuRed - Contribuciones del colaborador [es]

Fórmulas de Reducción

2018-06-11T17:13:48Z

Profecanek: /* IV Cuadrante */

{{Definición
|nombre=Fórmulas de Reducción
|imagen=Form_plantilla.jpg
|tamaño=
|concepto=Fórmulas para reducir a ángulos del I Cuadrante
}}
<div align="justify">
'''Fórmulas de reducción'''. Fórmulas utilizadas en [[Trigonometría]] para reducir los valores de los [[Ángulo|ángulos]] que intervienen en la solución de ecuaciones, o de diferentes cálculos en un [[Triángulo]] y que sean mayores de 900, a ángulos x (00 < x < 900), pues sus [[Razones trigonométricas|razones trigonométricas]] coinciden exactamente con la de éstos, y que son conocidas de antemano.

== Circunferencia Trigonométrica ==

=== Características ===

*Su radio es igual a la unidad.
*Su centro es el origen de coordenadas.
*Sus razones trigonométricas son independientes del radio vector

=== Funcionamiento ===

Los [[Ángulo|ángulos]] entre 00 y 900 son los ángulos del llamado del '''''I''''''''Cuadrante'''. Sus razones trigonométricas son conocidas, y cualquier otro ángulo mayor que estos, puede reducirse a uno de ellos mediante las fórmulas de reducción, y sus razones trigonométricas coinciden con las de éste, por lo que en la práctica se utilizan mucho estas fórmulas con este fin.

=== Signos de las razones ===

Teniendo en cuenta el análisis de los signos de las [[Razones trigonométricas|razones trigonométricas]] del [[Triángulo rectángulo]] que forma el vector que conforma el [[Ángulo|ángulo]] con los ejes de simetría, se infiere de una manera elemental el signo de las diferentes razones trigonométricas ('''Sen x, Cos x, Tan x, Cot x''') en cada uno de los cuadrantes. Los signos son los siguientes:

*'''''I Cuadrante''''': Todas son positivas.
*'''''II Cuadrante''''': Sólo es positivo en '''Sen x'''. Los demás son negativos.
*'''''III Cuadrante''''': Son positivos la '''Tan''' '''x''' y '''Cot x'''. Los demás son negativos.

*'''''IV Cuadrante''''': Solo es positivo en '''Cos''' '''x'''. Los demás son negativos.

En la escuela cubana, y de manera que los alumnos puedan memorizar estos signos, se menciona mucho una máxima del pueblo de Cuba: '''''T'''''odos '''S'''omos '''T'''rabajadores '''C'''ubanos '''C'''omunistas. 

Vemos en la frase que las iniciales en negrita, se refieren a las iniciales de las razones trigonométricas que son positivas en cada uno de los cuadrantes, es decir: la '''''T''''', se refiere al '''I Cuadrante''' (positivos todos), la '''''S''''' al '''II''' (Solo es positivo el '''Sen x'''), la '''''T''''', y la primera '''''C''''', al '''III Cuadrante''' (Son positivas la '''Tan x''' y la '''Cot x''') , y la última '''''C''''' al '''IV''' (Solo es positivo el '''Cos x''').

== Ángulos notables ==

Existen unos ángulos especiales por la frecuencia con que se trabaja con ellos. Aparecen en la solución de la mayoría de los ejercicios que se proponen a todos los niveles. Ellos son 00, 300, 450, 600, 900, 1800, 2700, y 3600. Estos ángulos se llaman ángulos notables, y sus razones trigonométricas son bien conocidas por todos. 

La siguiente tabla resume las razones trigonométricas de estos ángulos:

[[Image:Angulosnotables.JPG|thumb|center|230x97px|Razones trigonométricas de ángulos notables]] 

== I Cuadrante ==

[[Image:Tabla0a90.jpg|thumb|right|Tabla trigonométrica]]Sabemos que en este primer cuadrante las razones '''Sen x''', '''Cos x''', '''Tan x''', y '''Cot x''', que son las más usadas en la escuela cubana, tienen valores positivos. 

Se llama ángulo del '''''I cuadrante''' ''a los ángulos que están entre 00 y 900 . Para ver sus razones trigonométricas, los matemáticos han proporcionado una tabla que recoge estos datos, y la búsqueda de estos es muy sencilla. 

Estas tablas las podemos encontrar en los libros de texto de [[Matemática]] de la escuela cubana del décimo grado en adelante. 

Se procede buscando el valor del ángulo en la primera columna, y en la primera fila buscamos el número que corresponde a los decimales. El número que ocupa la intercepción de esta fila y columna, constituyen los lugares decimales del resultado, que siempre empieza por '''0,.......''' 

'''Ejemplo''': Buscar el '''Sen 50,30''' 

Siguiendo el procedimiento indicado podemos fácilmente comprobar que el número que encontramos en la intecepción es: 7694. 

Entonces podemos concluir que el '''Sen 50,30 = 0,7694'''

== II Cuadrante ==

En el '''''II cuadrante''''' el '''Sen x''' es el único positivo, las demás razones trigonométricas tienen valores negativos. Los ángulos que pertenecen a este cuadrante son mayores que 900 y menores que 1800, por lo que siempre lo podemos expresar como la diferencia entre 1800 y un ángulo agudo, o como la suma entre 900 y un ángulo agudo  .

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" align="center" style="width: 523px; height: 145px;"
|-
| align="center" colspan="3" | '''Fórmulas de Reducción del II Cuadrante'''
|-
| align="center" | '''Razón'''
| align="center" | '''1800 - x'''
| align="center" | '''900 + x'''
|-
| align="center" | Sen x
| align="center" | Sen (1800 - x) = Sen x
| align="center" | Sen (900 + x) = Cos x
|-
| align="center" | Cos x
| align="center" | Cos (1800 - x) = - Cos x
| align="center" | Cos (900 + x) =- Sen x
|-
| align="center" | Tan x
| align="center" | Tan (1800 - x) = - Tan x
| align="center" | Tan (900 + x) = - Cot x
|-
| align="center" | Cot x
| align="center" | Cot (1800 - x) = - Cot x
| align="center" | Cot (900 + x) = - Tan x
|}

 '''Ejemplo''': Calcule las razones trigonométricas de 1500 '''Solución:''' Podemos escribirlo como (1800 - 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante).

Las razones trigonométricas de 1500 coinciden con las de 300 que ya conocemos. 

En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 1500 podemos calcularlas de la siguiente manera: 

Sen (1800 - 300) =   Sen 300 Cos (1800 - 300) = - Cos 300 Tan (1800 - 300) = - Tan 300 Cot (1800 - 300) = - Cot 300 

'''Nota:''' Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. 

== III Cuadrante ==

En este cuadrante son positivos la '''Tan x''' y la '''Cot x'''. El '''Sen x''' y el '''Cos x''' son negativos. Un ángulo de este cuadrante es mayor que 1800 y menor que 2700, por lo que siempre se puede expresar como la suma de 180 0más un ángulo agudo (x), o como la diferencia entre 2700 y un ángulo agudo (x), por los que sus fórmulas de reducción son:

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" align="center" style="width: 523px; height: 145px;"
|-
| align="center" colspan="3" | '''Fórmulas de Reducción del III Cuadrante'''
|-
| align="center" | '''Razón'''
| align="center" | '''1800 + x'''
| align="center" | '''2700 - x'''
|-
| align="center" | Sen x
| align="center" | Sen (1800 + x) = - Sen x
| align="center" | Sen (2700 - x) = - Cos x
|-
| align="center" | Cos x
| align="center" | Cos (1800 + x) = - Cos x
| align="center" | Cos (2700 - x) = - Sen x
|-
| align="center" | Tan x
| align="center" | Tan (1800 +  x) =  Tan x
| align="center" | Tan (2700 - x) = Cot x
|-
| align="center" | Cot x
| align="center" | Cot (1800 + x) =  Cot x
| align="center" | Cot (2700 - x) = Tan x
|}

 '''Ejemplo''': Calcule las razones trigonométricas de 2100. 

'''Solución''':Podemos escribirlo como (1800 + 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante). 

En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 2100 podemos calcularlas de la siguiente manera: 

Sen (1800 + 300) =  - Sen 300 Cos (1800 + 300) =  - Cos 300 Tan (1800 + 300) =     Tan 300 Cot (1800 - 300) =      Cot 300 

'''Nota:''' Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. 

== IV Cuadrante ==

En este cuadrante es positivo son el '''Cos x. '''Los demás son negativos. Un ángulo de este cuadrante es mayor que 2700 y menor que 3600, por lo que siempre se puede expresar como la suma de 2700 más un ángulo agudo (x), o como la diferencia entre 3600 y un ángulo agudo (x), por los que sus fórmulas de reducción son:

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" align="center" style="width: 523px; height: 145px;"
|-
| align="center" colspan="3" | '''Fórmulas de Reducción del IV Cuadrante'''
|-
| align="center" | '''Razón'''
| align="center" | '''3600 - x'''
| align="center" | '''2700 + x'''
|-
| align="center" | Sen x
| align="center" | Sen (3600 - x) = - Sen x
| align="center" | Sen (2700 + x) = -Cos x
|-
| align="center" | Cos x
| align="center" | Cos (3600 - x) = Cos x
| align="center" | Cos (2700 + x) = Sen x
|-
| align="center" | Tan x
| align="center" | Tan (3600 -  x) =  - Tan x
| align="center" | Tan (2700 + x) = - Cot x
|-
| align="center" | Cot x
| align="center" | Cot (3600 - x) =  - Cot x
| align="center" | Cot (2700 + x) = -Tan x
|}

 '''Ejemplo''': Calcule las razones trigonométricas de 3300. 

'''Solución''':Podemos escribirlo como (3600 - 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante). 

En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 3300 podemos calcularlas de la siguiente manera: 

Sen (3600 - 300) =  - Sen 300 Cos (3600 - 300) =    Cos 300 Tan (3600 - 300) =   - Tan 300 Cot (3600 - 300) =   - Cot 300 

'''Nota:''' Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. 

== Ángulos coterminales ==

Sabemos calcular las razones trigonométricas de ángulos entre 00 y 3600. Los que están entre 00 y 900(I Cuadrante), tienen sus razones en una tabla trigonométricas y los que están entre 900 y 3600 (del II a IV Cuadrante), se pueden reducir a un ángulo del I Cuadrante a través de las fórmulas de reducción. El cuál posee las mismas razones trigonométricas que él, y que sabemos calcular. ¿Pero qué pasaría si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo mayor a 3600?. Sencillo, estos ángulos se obtienen al dar vueltas completas a la circunferencia trigonométrica, más un ángulo entre 00 y 3600 grados. Este ángulo entre 00 y 3600 tiene las mismas razones trigonométricas que él, y que ya sabemos calcular. En la práctica se divide el ángulo entre 3600, y el resto de esa división es el ángulo entre 00 y 3600 grados que tiene sus mismas razones trigonométricas. A estos ángulos se les llama ángulos coterminales.

'''Ejemplo 1''': Calcule las razones trigonométricas de 7200. '''Solución''': 7200 = 2 .3600 + 00, así que 7200 y 00 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos. '''Ejemplo 2''': Calcule las razones trigonométricas de 7500. '''Solución''': 7500 = 2 . 3600 + 300, así que 7500 y 300 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos por ser un ángulo notable. '''Ejemplo 3''': Calcule las razones trigonométricas de 12300. '''Solución:''' 12300 = 3 . 3600 + 1500, así que 12300 y 1500 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos por poder calcularlas con las fórmulas de reducción del II Cuadrante. 

== Fuentes ==

*Libro de texto de décimo grado.
</div>
 

[[Category:Matemáticas]]

Fórmulas de Reducción

2018-06-11T17:12:23Z

Profecanek: /* II Cuadrante */

{{Definición
|nombre=Fórmulas de Reducción
|imagen=Form_plantilla.jpg
|tamaño=
|concepto=Fórmulas para reducir a ángulos del I Cuadrante
}}
<div align="justify">
'''Fórmulas de reducción'''. Fórmulas utilizadas en [[Trigonometría]] para reducir los valores de los [[Ángulo|ángulos]] que intervienen en la solución de ecuaciones, o de diferentes cálculos en un [[Triángulo]] y que sean mayores de 900, a ángulos x (00 < x < 900), pues sus [[Razones trigonométricas|razones trigonométricas]] coinciden exactamente con la de éstos, y que son conocidas de antemano.

== Circunferencia Trigonométrica ==

=== Características ===

*Su radio es igual a la unidad.
*Su centro es el origen de coordenadas.
*Sus razones trigonométricas son independientes del radio vector

=== Funcionamiento ===

Los [[Ángulo|ángulos]] entre 00 y 900 son los ángulos del llamado del '''''I''''''''Cuadrante'''. Sus razones trigonométricas son conocidas, y cualquier otro ángulo mayor que estos, puede reducirse a uno de ellos mediante las fórmulas de reducción, y sus razones trigonométricas coinciden con las de éste, por lo que en la práctica se utilizan mucho estas fórmulas con este fin.

=== Signos de las razones ===

Teniendo en cuenta el análisis de los signos de las [[Razones trigonométricas|razones trigonométricas]] del [[Triángulo rectángulo]] que forma el vector que conforma el [[Ángulo|ángulo]] con los ejes de simetría, se infiere de una manera elemental el signo de las diferentes razones trigonométricas ('''Sen x, Cos x, Tan x, Cot x''') en cada uno de los cuadrantes. Los signos son los siguientes:

*'''''I Cuadrante''''': Todas son positivas.
*'''''II Cuadrante''''': Sólo es positivo en '''Sen x'''. Los demás son negativos.
*'''''III Cuadrante''''': Son positivos la '''Tan''' '''x''' y '''Cot x'''. Los demás son negativos.

*'''''IV Cuadrante''''': Solo es positivo en '''Cos''' '''x'''. Los demás son negativos.

En la escuela cubana, y de manera que los alumnos puedan memorizar estos signos, se menciona mucho una máxima del pueblo de Cuba: '''''T'''''odos '''S'''omos '''T'''rabajadores '''C'''ubanos '''C'''omunistas. 

Vemos en la frase que las iniciales en negrita, se refieren a las iniciales de las razones trigonométricas que son positivas en cada uno de los cuadrantes, es decir: la '''''T''''', se refiere al '''I Cuadrante''' (positivos todos), la '''''S''''' al '''II''' (Solo es positivo el '''Sen x'''), la '''''T''''', y la primera '''''C''''', al '''III Cuadrante''' (Son positivas la '''Tan x''' y la '''Cot x''') , y la última '''''C''''' al '''IV''' (Solo es positivo el '''Cos x''').

== Ángulos notables ==

Existen unos ángulos especiales por la frecuencia con que se trabaja con ellos. Aparecen en la solución de la mayoría de los ejercicios que se proponen a todos los niveles. Ellos son 00, 300, 450, 600, 900, 1800, 2700, y 3600. Estos ángulos se llaman ángulos notables, y sus razones trigonométricas son bien conocidas por todos. 

La siguiente tabla resume las razones trigonométricas de estos ángulos:

[[Image:Angulosnotables.JPG|thumb|center|230x97px|Razones trigonométricas de ángulos notables]] 

== I Cuadrante ==

[[Image:Tabla0a90.jpg|thumb|right|Tabla trigonométrica]]Sabemos que en este primer cuadrante las razones '''Sen x''', '''Cos x''', '''Tan x''', y '''Cot x''', que son las más usadas en la escuela cubana, tienen valores positivos. 

Se llama ángulo del '''''I cuadrante''' ''a los ángulos que están entre 00 y 900 . Para ver sus razones trigonométricas, los matemáticos han proporcionado una tabla que recoge estos datos, y la búsqueda de estos es muy sencilla. 

Estas tablas las podemos encontrar en los libros de texto de [[Matemática]] de la escuela cubana del décimo grado en adelante. 

Se procede buscando el valor del ángulo en la primera columna, y en la primera fila buscamos el número que corresponde a los decimales. El número que ocupa la intercepción de esta fila y columna, constituyen los lugares decimales del resultado, que siempre empieza por '''0,.......''' 

'''Ejemplo''': Buscar el '''Sen 50,30''' 

Siguiendo el procedimiento indicado podemos fácilmente comprobar que el número que encontramos en la intecepción es: 7694. 

Entonces podemos concluir que el '''Sen 50,30 = 0,7694'''

== II Cuadrante ==

En el '''''II cuadrante''''' el '''Sen x''' es el único positivo, las demás razones trigonométricas tienen valores negativos. Los ángulos que pertenecen a este cuadrante son mayores que 900 y menores que 1800, por lo que siempre lo podemos expresar como la diferencia entre 1800 y un ángulo agudo, o como la suma entre 900 y un ángulo agudo  .

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" align="center" style="width: 523px; height: 145px;"
|-
| align="center" colspan="3" | '''Fórmulas de Reducción del II Cuadrante'''
|-
| align="center" | '''Razón'''
| align="center" | '''1800 - x'''
| align="center" | '''900 + x'''
|-
| align="center" | Sen x
| align="center" | Sen (1800 - x) = Sen x
| align="center" | Sen (900 + x) = Cos x
|-
| align="center" | Cos x
| align="center" | Cos (1800 - x) = - Cos x
| align="center" | Cos (900 + x) =- Sen x
|-
| align="center" | Tan x
| align="center" | Tan (1800 - x) = - Tan x
| align="center" | Tan (900 + x) = - Cot x
|-
| align="center" | Cot x
| align="center" | Cot (1800 - x) = - Cot x
| align="center" | Cot (900 + x) = - Tan x
|}

 '''Ejemplo''': Calcule las razones trigonométricas de 1500 '''Solución:''' Podemos escribirlo como (1800 - 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante).

Las razones trigonométricas de 1500 coinciden con las de 300 que ya conocemos. 

En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 1500 podemos calcularlas de la siguiente manera: 

Sen (1800 - 300) =   Sen 300 Cos (1800 - 300) = - Cos 300 Tan (1800 - 300) = - Tan 300 Cot (1800 - 300) = - Cot 300 

'''Nota:''' Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. 

== III Cuadrante ==

En este cuadrante son positivos la '''Tan x''' y la '''Cot x'''. El '''Sen x''' y el '''Cos x''' son negativos. Un ángulo de este cuadrante es mayor que 1800 y menor que 2700, por lo que siempre se puede expresar como la suma de 180 0más un ángulo agudo (x), o como la diferencia entre 2700 y un ángulo agudo (x), por los que sus fórmulas de reducción son:

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" align="center" style="width: 523px; height: 145px;"
|-
| align="center" colspan="3" | '''Fórmulas de Reducción del III Cuadrante'''
|-
| align="center" | '''Razón'''
| align="center" | '''1800 + x'''
| align="center" | '''2700 - x'''
|-
| align="center" | Sen x
| align="center" | Sen (1800 + x) = - Sen x
| align="center" | Sen (2700 - x) = - Cos x
|-
| align="center" | Cos x
| align="center" | Cos (1800 + x) = - Cos x
| align="center" | Cos (2700 - x) = - Sen x
|-
| align="center" | Tan x
| align="center" | Tan (1800 +  x) =  Tan x
| align="center" | Tan (2700 - x) = Cot x
|-
| align="center" | Cot x
| align="center" | Cot (1800 + x) =  Cot x
| align="center" | Cot (2700 - x) = Tan x
|}

 '''Ejemplo''': Calcule las razones trigonométricas de 2100. 

'''Solución''':Podemos escribirlo como (1800 + 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante). 

En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 2100 podemos calcularlas de la siguiente manera: 

Sen (1800 + 300) =  - Sen 300 Cos (1800 + 300) =  - Cos 300 Tan (1800 + 300) =     Tan 300 Cot (1800 - 300) =      Cot 300 

'''Nota:''' Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. 

== IV Cuadrante ==

En este cuadrante es positivo son el '''Cos x. '''Los demás son negativos. Un ángulo de este cuadrante es mayor que 2700 y menor que 3600, por lo que siempre se puede expresar como la suma de 2700 más un ángulo agudo (x), o como la diferencia entre 3600 y un ángulo agudo (x), por los que sus fórmulas de reducción son:

{| cellspacing="1" cellpadding="1" border="1" align="center" style="width: 523px; height: 145px;"
|-
| align="center" colspan="3" | '''Fórmulas de Reducción del IV Cuadrante'''
|-
| align="center" | '''Razón'''
| align="center" | '''3600 - x'''
| align="center" | '''2700 + x'''
|-
| align="center" | Sen x
| align="center" | Sen (3600 - x) = - Sen x
| align="center" | Sen (2700 + x) = Cos x
|-
| align="center" | Cos x
| align="center" | Cos (3600 - x) = Cos x
| align="center" | Cos (2700 + x) = - Sen x
|-
| align="center" | Tan x
| align="center" | Tan (3600 -  x) =  - Tan x
| align="center" | Tan (2700 + x) = - Cot x
|-
| align="center" | Cot x
| align="center" | Cot (3600 - x) =  - Cot x
| align="center" | Cot (2700 + x) = -Tan x
|}

 '''Ejemplo''': Calcule las razones trigonométricas de 3300. 

'''Solución''':Podemos escribirlo como (3600 - 300 siendo 300 un ángulo agudo del I cuadrante). 

En el ejemplo visto sobre las razones trigonométricas de 3300 podemos calcularlas de la siguiente manera: 

Sen (3600 - 300) =  - Sen 300 Cos (3600 - 300) =    Cos 300 Tan (3600 - 300) =   - Tan 300 Cot (3600 - 300) =   - Cot 300 

'''Nota:''' Cuyos valores conocemos en la tabla de las razones trigonométricas de los ángulos notables. En caso de no ser notable el ángulo se busca en la tabla indicada. 

== Ángulos coterminales ==

Sabemos calcular las razones trigonométricas de ángulos entre 00 y 3600. Los que están entre 00 y 900(I Cuadrante), tienen sus razones en una tabla trigonométricas y los que están entre 900 y 3600 (del II a IV Cuadrante), se pueden reducir a un ángulo del I Cuadrante a través de las fórmulas de reducción. El cuál posee las mismas razones trigonométricas que él, y que sabemos calcular. ¿Pero qué pasaría si queremos calcular las razones trigonométricas de un ángulo mayor a 3600?. Sencillo, estos ángulos se obtienen al dar vueltas completas a la circunferencia trigonométrica, más un ángulo entre 00 y 3600 grados. Este ángulo entre 00 y 3600 tiene las mismas razones trigonométricas que él, y que ya sabemos calcular. En la práctica se divide el ángulo entre 3600, y el resto de esa división es el ángulo entre 00 y 3600 grados que tiene sus mismas razones trigonométricas. A estos ángulos se les llama ángulos coterminales.

'''Ejemplo 1''': Calcule las razones trigonométricas de 7200. '''Solución''': 7200 = 2 .3600 + 00, así que 7200 y 00 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos. '''Ejemplo 2''': Calcule las razones trigonométricas de 7500. '''Solución''': 7500 = 2 . 3600 + 300, así que 7500 y 300 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos por ser un ángulo notable. '''Ejemplo 3''': Calcule las razones trigonométricas de 12300. '''Solución:''' 12300 = 3 . 3600 + 1500, así que 12300 y 1500 tienen razones trigonométricas iguales y que ya conocemos por poder calcularlas con las fórmulas de reducción del II Cuadrante. 

== Fuentes ==

*Libro de texto de décimo grado.
</div>
 

[[Category:Matemáticas]]