EcuRed - Contribuciones del colaborador [es]

Conjuntos numéricos

2023-06-10T01:33:27Z

Soledadlol:

{{Definición
|Nombre=Conjuntos numéricos
|imagen=Conj principal.jpg
|concepto= Colecciones no ordenadas de números sin repetición.}}

'''Conjuntos numéricos'''. Son [[Conjunto|conjuntos]] de [[Números|números]].
En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números como: [[Número natural|naturales]], [[Número entero|enteros]], [[Números fraccionarios|fraccionarios]], [[Número racional|racionales]], [[número irracional|irracionales]], [[Número real|reales]], [[Números imaginarios|imaginarios]] y [[Números complejos|complejos]].

== Concepto ==
Los [[conjunto]]s numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en [[aritmética]] natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la [[suma]], la [[multiplicación]] y las relaciones usuales de orden aditivo.

Los [[conjunto]]s numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en [[aritmética]] natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la [[suma]], la [[multiplicación]] y las relaciones usuales de orden aditivo.

== Historia ==
Aunque hoy nos es muy familiar el [[concepto]] de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. En Mesopotamia, cerca del año 3.000 a. de C, aparecen los primeros vestigios de [[número natural|números naturales]], los cuales se anotaban en pequeñas tablillas de barro. A partir del año 1.000 a. de C, se empezó a manejar el concepto de números reales por parte de los egipcios, utilizando fracciones comunes. Esta noción continuó su desarrolló con los aportes de los griegos, que proclamaron la existencia de los números irracionales. A su vez, los números negativos no aparecen sistematizados hasta el año 700 a. de C, en escritos hindúes, evolucionando de mejor manera por los griegos. Aproximadamente, en el año 600 a. de C, en Grecia, la Escuela de Pitágoras descubrió que no existían dos números naturales m y n, cuyo cociente sea igual a la proporción entre el lado de un cuadrado y su diagonal ([[números irracionales]]). 
Hacia el año 600 y 500 a. de C, en la [[India]] se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante [[número racional|números racionales]].

== Evolución ==
'''1) Conjunto de los Números Naturales (N).''' 
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......} 

El conjunto de los [[número natural|números naturales]] surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios. 
Este conjunto se caracteriza porque:
* Tiene un número infinito de elementos
* Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
* El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1). 

'''2) Conjunto de los Números Cardinales (N*)'''. 
N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 ([[cero]]) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

'''3) Conjunto de los números fraccionarios (Q+)''' 
Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}

 
Los [[números fraccionarios]] son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.

'''4) Conjunto de los Números Enteros (Z)'''. 
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los [[número entero|números enteros]] surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). 
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). 
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos. 
Z = Tiene 3 Subconjuntos:
* Enteros Negativos: Z ¯
* Enteros Positivos: Z +
* Enteros Positivos y el [[Cero]]: Z+ U {0}

Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados. 
Z = Z - U {0} U Z +

'''5) Conjunto de los Números Racionales Q'''. 
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los [[número racional|números racionales]] se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los [[número natural|números naturales]], números cardinales y números enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma '''a/b'''. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. 
El conjunto de los números racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).

Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. 
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

'''6) Conjunto de Números Irracionales (I)'''. 

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción. 
Ejemplos: 1,4142135.... 
0,10200300004000005....

'''7) Conjunto de Números Reales (R)'''. 
R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}

Se denotan por R.
R= {Q U irracionales}.

'''8) Conjunto de Números Imaginarios ('''''i''''')'''

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por '''''i'''''. La unidad de los [[Números imaginarios|números imaginarios]] es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por '''''i''''', así que: '''''i''''' = '''√-1'''. 
Debes tener en cuenta: 
'''''i'''''2 = -1, '''''i''''' 3 = - '''''i''''', '''''i''''' 4 = 1.

'''9) Conjunto de Números Complejos (C)'''

La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los [[Números complejos|números complejos]] denotados por C.

== Características estructurales ==
Sus características estructurales más importantes son:

# No son conjuntos finitos.
# Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable.
# Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo).
# Admiten relación de orden.
# Admiten relación de equivalencia.
# Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
# Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.
# El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

N: Conjunto de los [[número natural|números naturales]]

Q+: Conjunto de los [[números fraccionarios]]

Z: Conjunto de los [[Números Enteros|números enteros]]

Q: Conjunto de los [[Número racional|números racionales]]

I: Conjunto de los [[Números irracionales|números irrracional]]

R: Conjunto de los [[Número real|números reales]]

C: Conjunto de los [[Números complejos|números complejos]]
# Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto de los números complejos.
# El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de Llaves.

== Formas de representación ==
Los conjuntos numéricos se pueden representar:
# Mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica: A es el conjunto cuyos elementos son todos los números impares menores que 20.
# Por extensión, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entre llaves: C = {1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
# Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. F = {n2: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},donde en esta expresión los dos puntos (":") significan "tal que". Así, el conjunto anterior es el conjunto de "los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)", o sea, el conjunto de los once primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical ("|").
# Por intervalos.

[[Image:Rep intervalos.JPG]]

==Fuentes==
*Cuaderno complementario. Matemática 8vo grado
*Libro de texto. Matemática 7mo grado
*Libro de texto. Matemática 10mo grado

== Véase también ==
*[[Números Enteros]]
*[[Número racional]]
*[[Número real]]
*[[Números complejos]]

[[Category:Teoría_elemental_de_los_números]]

Conjuntos numéricos

2023-06-10T00:47:38Z

Soledadlol:

{{Definición
|Nombre=Conjuntos numéricos
|imagen=Conj principal.jpg
|concepto= Colecciones no ordenadas de números sin repetición.}}

'''Conjuntos numéricos'''. Son [[Conjunto|conjuntos]] de [[Números|números]].
En su forma más genérica se refiere a los grandes conjuntos de números como: [[Número natural|naturales]], [[Número entero|enteros]], [[Números fraccionarios|fraccionarios]], [[Número racional|racionales]], [[número irracional|irracionales]], [[Número real|reales]], [[Números imaginarios|imaginarios]] y [[Números complejos|complejos]].

== Concepto ==
Los [[conjunto]]s numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en [[aritmética]] natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la [[suma]], la [[multiplicación]] y las relaciones usuales de orden aditivo.

Los [[conjunto]]s numéricos son agrupaciones de números que guardan una serie de propiedades estructurales. Por ejemplo el sistema más usual en [[aritmética]] natural está formado por el conjunto de los números naturales, con la [[suma]], la [[multiplicación]] y las relaciones usuales de orden aditivo.

== Historia ==
Aunque hoy nos es muy familiar el [[concepto]] de número, éste fue elaborado muy lentamente a través de los tiempos. En Mesopotamia, cerca del año 3.000 a. de C, aparecen los primeros vestigios de números, los cuales se anotaban en pequeñas tablillas de barro. 
Alrededor del 1900 a. de C para poder realizar importantes obras, los babilonios tuvieron que desarrollar un sistema de numeración útil, el mismo era de base 60 (a diferencia del actual, que es de base 10). En China, hacia los siglos II y I a.C se utilizó por primera vez los coeficientes negativos, otorgándoles reglas para poder operar con estos. Este conjunto se denomina 
Hacia el año 500, en la [[India]] se plasmaron los orígenes de nuestro sistema de numeración, aceptaron las soluciones negativas de las ecuaciones, al tiempo que admitían como números las raíces de otros números que no podían ser expresados mediante [[número racional|números racionales]]. 
Durante el siglo XVI, se popularizó el uso de la barra horizontal para separar los términos de una fracción, se solucionaban algunos problemas y surgían otros como por ejemplo resolver ecuaciones de segundo grado y otras de grado mayor, empezaron a encontrarse expresiones, como la raíz cuadrada de [[números negativos|números negativos]] que no se sabían interpretar, de aquí surge nuevo tipo de números, que denominaron ficticios, como solución a las raíces cuadradas de números negativos. 
El problema de los números irracionales no se resolvió por completo hasta el siglo XVII, cuando Fermat, matemático francés que puede ser considerado el padre de la moderna teoría de números, demostró que expresiones como raíz cuadrada de 3 no eran números racionales. 
Sólo quedaba por resolver el problema de las raíces negativas; y esto ocurrió en [[1777]], cuando [[Euler]] dio a la raíz cuadrada de -1 el nombre de '''''i''''' (imaginario) y en [[1799]], [[Gauss]] acabó de resolver el problema al demostrar que las soluciones de cualquier ecuación algebraica, fuera cual fuese su grado, pertenecía a un conjunto de números que él llamó complejos, a los que consideró compuestos de un número "ordinario" (hoy lo llamamos número real), más un múltiplo de la raíz cuadrada de -1, llamado unidad imaginaria.

== Evolución ==
'''1) Conjunto de los Números Naturales (N).''' 
N = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......} 

El conjunto de los [[número natural|números naturales]] surgió de la necesidad de contar, lo cual se manifiesta en el ser humano desde sus inicios. 
Este conjunto se caracteriza porque:
* Tiene un número infinito de elementos
* Cada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.
* El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor se obtiene restando uno (-1). 

'''2) Conjunto de los Números Cardinales (N*)'''. 
N* = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}
Al Conjunto de los números naturales se le agregó el 0 ([[cero]]) y se forma el Conjunto de los Números Cardinales.

'''3) Conjunto de los números fraccionarios (Q+)''' 
Q+ = { 0, ½ , 2, 3/4 3, 9/7,.....}

Este conjunto surge por la necesidad de dar solución a la [[división]] en el conjunto de los números naturales, cuando el dividendo es múltiplo del divisor y distinto de cero esta operación no tiene solución dicho conjunto. 
Los [[números fraccionarios]] son aquellos que se expresan de las forma o como una expresión decimal periódica.

'''4) Conjunto de los Números Enteros (Z)'''. 
Z = { ..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}

El Conjunto de los [[número entero|números enteros]] surge de la necesidad de dar solución general a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que el minuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales y Cardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). 
Debido a esto, la recta numérica se extiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa un número natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda del cero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (uno a la derecha y el otro a la izquierda de él). 
Z = N* U Conjunto de los Números Enteros negativos. 
Z = Tiene 3 Subconjuntos:
* Enteros Negativos: Z ¯
* Enteros Positivos: Z +
* Enteros Positivos y el [[Cero]]: Z+ U {0}

Por lo tanto, el Conjunto de los números enteros es la unión de los tres subconjuntos mencionados. 
Z = Z - U {0} U Z +

'''5) Conjunto de los Números Racionales Q'''. 
Q = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}

El conjunto de los [[número racional|números racionales]] se creó debido a las limitaciones de cálculo que se presentaban en el conjunto de los [[número natural|números naturales]], números cardinales y números enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en el conjunto de los números enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo, distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó este conjunto, el cual está formado por todos los números de la forma '''a/b'''. Esta fracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b, es un número entero distinto de cero. 
El conjunto de los números racionales (Q ) se ha construido a partir del conjunto de los números enteros (Z).

Se expresa por comprensión como: Q = { a /b tal que a y b€ Z; y b≠ 0 }

Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de una recta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cada una de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual al número de partes de la subdivisión. 
Cada fracción es un número racional y cada número racional consta de infinitas fracciones equivalentes.

'''6) Conjunto de Números Irracionales (I)'''. 

I = Conjunto de Números Decimales Infinitos no Periódicos.

Este conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que no pertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raíces inexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimales infinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse en una fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstos son números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicos que sí pueden transformarse en una fracción. 
Ejemplos: 1,4142135.... 
0,10200300004000005....

'''7) Conjunto de Números Reales (R)'''. 
R = {....- 10, -1, - ¾, - ½, - ¼, 0, ¼ , √2, 5 , .....}

Surgen de la necesidad de reunir los racionales y los [[número irracional|irracionales]] en un solo conjunto. Se denotan por R.
R= {Q U irracionales}.

'''8) Conjunto de Números Imaginarios ('''''i''''')'''

Surgen por la necesidad de obtener las raíces de índice par de cantidades negativas. Se denotan por '''''i'''''. La unidad de los [[Números imaginarios|números imaginarios]] es la raíz cuadrada de – 1 y se denota por '''''i''''', así que: '''''i''''' = '''√-1'''. 
Debes tener en cuenta: 
'''''i'''''2 = -1, '''''i''''' 3 = - '''''i''''', '''''i''''' 4 = 1.

'''9) Conjunto de Números Complejos (C)'''

La unión de los números reales con los imaginarios da origen a los [[Números complejos|números complejos]] denotados por C.

== Características estructurales ==
Sus características estructurales más importantes son:

# No son conjuntos finitos.
# Dotados de operadores, admiten estructura algebraica estable.
# Están dotados de propiedades topológicas (o pueden llegar a estarlo).
# Admiten relación de orden.
# Admiten relación de equivalencia.
# Son representables mediante diagramas de Hasse, diagramas de Euler y diagramas de Venn, pudiéndose tomar una combinación de ambos en un diagrama de Euler-Venn con la forma característica de cuadrilátero y además pudiéndose representar internamente un diagrama de Hasse (es una recta).
# Todos los conjuntos numéricos se construyen desde una estructura más simple hasta otra más compleja.
# El orden de construcción de los conjuntos numéricos (de menor a mayor complejidad) es el siguiente:

N: Conjunto de los [[número natural|números naturales]]

Q+: Conjunto de los [[números fraccionarios]]

Z: Conjunto de los [[Números Enteros|números enteros]]

Q: Conjunto de los [[Número racional|números racionales]]

I: Conjunto de los [[Números irracionales|números irrracional]]

R: Conjunto de los [[Número real|números reales]]

C: Conjunto de los [[Números complejos|números complejos]]
# Todos los conjuntos numéricos son a su vez, subconjuntos del Conjunto de los números complejos.
# El conjunto de los conjuntos numéricos es representable a través del Diagrama del Dominó o de Llaves.

== Formas de representación ==
Los conjuntos numéricos se pueden representar:
# Mediante una definición intensiva, usando una regla o definición semántica: A es el conjunto cuyos elementos son todos los números impares menores que 20.
# Por extensión, listando cada miembro del conjunto. En una definición extensiva se escriben los elementos del conjunto entre llaves: C = {1,3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19}
# Por comprensión: escribiendo dentro de una llave una propiedad característica de los elementos del conjunto y solamente de ellos. F = {n2: n es un entero y 1 ≤ n ≤ 10},donde en esta expresión los dos puntos (":") significan "tal que". Así, el conjunto anterior es el conjunto de "los números de la forma n2 tal que n es un número natural entre 1 y 10 (ambos inclusive)", o sea, el conjunto de los once primeros cuadrados de números naturales, {1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100}. En lugar de los dos puntos se utiliza también la barra vertical ("|").
# Por intervalos.

[[Image:Rep intervalos.JPG]]

==Fuentes==
*Cuaderno complementario. Matemática 8vo grado
*Libro de texto. Matemática 7mo grado
*Libro de texto. Matemática 10mo grado

== Véase también ==
*[[Números Enteros]]
*[[Número racional]]
*[[Número real]]
*[[Números complejos]]

[[Category:Teoría_elemental_de_los_números]]

Números naturales

2023-06-09T23:53:18Z

Soledadlol:

{{Definición
|nombre=Números Naturales
|imagen=Numeros_naturales.jpg
|tamaño=
|concepto=Números absolutos.
}}

'''Números naturales.''' Sirven para designar la cantidad de elementos que tiene un cierto [[conjunto]], y se llama cardinal de dicho [[conjunto]].
== Historia ==
Antes de que surgieran los [[números]] para la representación de cantidades, el ser humano usó otros métodos para contar, utilizando para ello objetos como piedras, palitos de madera, nudos de cuerdas, o simplemente los dedos. Más adelante comenzaron a aparecer los símbolos gráficos como señales para contar, por ejemplo marcas en una vara o simplemente trazos específicos sobre la arena. Pero fue en [[Mesopotamia]] alrededor del año 3.000 a. C. donde aparecen los primeros vestigios de los [[números]] que consistieron en grabados de señales en formas de cuñas sobre pequeños tablillas de barro empleando para ello un palito aguzado. De aquí el nombre de escritura cuneiforme. Este sistema de numeración fue adoptado más tarde, aunque con símbolos gráficos diferentes, en la Grecia antigua y en la antigua [[Roma]]. En la [[Grecia]] antigua se empleaban simplemente las letras de su alfabeto, mientras que en la antigua [[Roma]] además de las letras, se utilizaron algunos símbolos. El aporte de los mayas que manejaron un sistema vigesimal de numeración es un indicador del avance científico de la América precolombina.

En la ''introducción a la Aritmética '' del matemático griego, Nicómaco de Gerasa, se trata de la "serie natural". En una revisión que efectuó a tal obra, el filósofo neoplatónico romano, Boecio, se usa por ocasión primera la frase ''numeri naturalis''. Leal a la raigambre griega consideró al uno "madre de todos los demás números"; pero sin adjudicarle al uno el estatus de número. El matemático galo, Cauchy, “probaba” que el conjunto de los números naturales era finito y “de esa manera, la ciencia nos conduce al mismo resultado que la fe”. El sentido que actualmente porta un número natural se debe a D'Alembert: sucesión infinita. <ref>N. V. Alexándrova ''Diccionario histórico de notaciones, términos y conceptos de las matemática''. Editorial URSS, Moscú (2015) </ref>

== Números naturales ==
Los ''números naturales'' son los primeros que surgen en las distintas civilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las más elementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades. 
Los números naturales son los números que usamos para contar; uno, dos, tres, cuatro, etc. Les damos un nombre, “Números naturales” para distinguirlos de otros números, como “un medio”, “cuatro tercios”, “tres punto siete”, “menos cinco”; es decir, de los [[números fraccionarios]] (1/2), los números con punto decimal (3.7) y los [[números negativos]] (-5).

Los números naturales son infinitos. El [[conjunto]] de todos ellos se designa por N:

N = {0,1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…} <ref>Por necesidad de escritura, como 10, 20, 100, el cero debe estar presente; y en la resta n-n= 0, que surge, ''tan naturalmente''. </ref>

Como puede verse el [[cero]] no se incluye en el [[conjunto]] de los números naturales.

Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, pues sirven para ordenar los elementos de un [[conjunto]]:

1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…

Los números naturales están ordenados, lo que nos permite comparar dos números naturales:

5 > 3;    5 es mayor que 3.

3 < 5;    3 es menor que 5.

Los números naturales son ilimitados, si a un número natural le sumamos 1, obtenemos otro número natural.

==Axiomática de Peano==
Se consideran como conceptos primitivos o no definidos: 1, número natural y sucesivo.
:1.- 1 (uno) es un número natural.
:2.- Para cada número natural ''m'' existe un número natural llamado ''sucesivo'' y se denota ''S(m)''.
:3.- Para todo número natural ''m'', S(m) es diferente a 1.
:4.- La ecuación S(m) = S(p) implica m=p.
:5.- El conjunto de números naturales, que contiene 1 y para cada uno de ''m'' elementos, el elemento sucesivo S(m), contiene todos los números naturales. este axioma se
llama: ''Principio de inducción completa''. <ref>Vicente Ampuero ''Aritmética'' Edición de UNMSM </ref>.

La adición y la multiplicación de números naturales se definen por las ecuaciones
: n + 1 = S(n)
: m + S(n) = S(n + 1)
: n * 1 = n
: n * S(m) = n * m + n

== Representación de los números naturales ==

Los números naturales se pueden representar en una recta ordenados de menor a mayor.

Sobre una [[recta]] señalamos un [[punto]], que marcamos con el número [[cero]]. A la derecha del [[cero]], y con las mismas separaciones, situamos de menor a mayor los siguientes números naturales: 1, 2, 3... [[Image:Rectanumerica.jpg]] 

== Adición de números naturales, propiedades ==

 a + b = c

Los términos de la [[suma]], a y b, se llaman sumandos y el resultado, c, [[suma]].

El resultado de sumar dos números naturales es otro [[número natural]]. 

[[Image:Pertenece.jpg|left|96x55px]]

 
 

=== Asociativa ===
El modo de agrupar los sumandos no varía el resultado.

(a + b) + c = a + (b + c)

=== Conmutativa ===

El orden de los sumandos no varía la [[suma]].

a + b = b + a 

===Cancelativa===
a + c = b + c implica a = b 

Esta propiedad, ampliando, se puede expresar como

:a + c = b +c si, sólo si a = b 
: Para relaciones de orden estricto

:a + c b +c si, sólo si a >b

: En caso de relaciones de orden amplio

:a + c ≤ b +c si, sólo si a ≤ b
:a + c ≥ b +c si, sólo si a ≥ b

=== Elemento neutro ===

El 0 es el elemento neutro en el conjunto ampliado N 0 = {0,,2,..., n,...} , respecto de la [[suma]] porque todo [[número]] sumado con él da el mismo [[número]].

a + 0 = a 

== Resta de números naturales, propiedades ==

   a - b = c, decimos que c es la '''diferencia''' de a y b siempre que a ≥ b. A su vez a- b si, sólo si a = b+c.

Los términos que intervienen en una resta se llaman: a, minuendo y b, sustraendo. Al resultado, c, lo llamamos diferencia. 

=== No es una operación interna: ===
La resta o sustracción es una operación parcialmente definida
No siempre es posible restar dos números naturales y poder hallar otro número natural que represente la diferencia. Por ello, se extiende N al conjunto Z de todos los enteros y se los identifica con los enteros positivos y la resta es siempre posible para dos cualesquiera enteros positivos 

      2 − 5 No pertenece al [[conjunto]] de los números naturales 

=== No es conmutativa: ===

     5 − 2 ≠ 2 − 5 

== Multiplicación de números naturales y sus propiedades ==

Multiplicar dos números naturales consiste en sumar uno de los factores consigo mismo tantas veces como indica el otro factor. a · b = c

Los términos a y b se llaman factores y el resultado, c, producto. 

=== Interna: ===

El resultado de multiplicar dos números naturales es otro número natural.

<big>5x4=20</big>
 

===  Asociativa: ===

El modo de agrupar los factores no varía el resultado.

(a · b) · c = a · (b · c)

=== Conmutativa: ===

"El orden de los factores no varía el producto".

a · b = b · a

=== Elemento neutro: ===

El 1 es el elemento neutro de la [[multiplicación]] de números naturales, porque todo número multiplicado por él da el mismo [[número]].

a · 1 = a 

=== Distributiva: ===

La [[multiplicación]] de un número natural por una [[suma]] es igual a la [[suma]] de los multiplicaciones de dicho número natural por cada uno de los sumandos.

a · (b + c) = a · b + a · c

=== Sacar factor común: ===

Es el proceso inverso a la propiedad distributiva.

Si varios sumandos tienen un factor común, podemos transformar la [[suma]] en producto extrayendo dicho factor.

a · b + a · c = a · (b + c) 

== División de números naturales ==

D : d = c

Los términos que intervienen en un [[división]] se llaman, D, dividendo y, d, divisor. Al resultado, c, lo llamamos cociente. 

=== Tipos de divisiones ===

1. División exacta:

Una [[división]] es exacta cuando el resto es [[cero]].

D = d · c 

[[Image:Div.gif|thumb|left]] 

15 = 5 · 3 

 

 

2. División entera:

Una [[división]] es entera cuando el resto es distinto de [[cero]].

D = d · c + r 

[[Image:Diventera.gif|thumb|left]] 

17 = 5 · 3 + 2 

 

 

=== Propiedades de la división de números naturales ===

'''1. No es una operación interna:'''

  El resultado de dividir dos números naturales no siempre es otro número natural.

  2 : 6 [[Image:No pertenece.gif|thumb]]no pertenece a los naturales 

'''2. No es Conmutativa:'''

  a : b ≠ b : a

  6 : 2 ≠ 2 : 6

'''3. Cero dividido entre cualquier número es cero.'''

  0 : 5 = 0

'''4. No se puede dividir por 0.''' 

  La [[división]] por [[cero]] es indeterminada, pues si fuera a : 0 = c, entoces a= 0×C se cumple para todo valor de c.

== Potencias de números naturales ==

Una potencia es una forma abreviada de escribir un producto formado por varios factores iguales. 

[[Image:Potencia.jpg|left]] 

 

'''Base''': La base de una potencia es el número que multiplicamos por sí mismo, en este caso el 5. '''Exponente''': El exponente de una potencia indica el número de veces que multiplicamos la base, en el ejemplo es el 4. 

=== Propiedades de la potencias de números naturales ===

- [[Image:Primerap.jpg]] 

-  Producto de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la suma de los exponentes. 

 [[Image:Tercerap.jpg]] 

-  División de potencias con la misma base: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es la diferencia de los exponentes. 

-  Potencia de una potencia: Es otra potencia con la misma base y cuyo exponente es el producto de los exponentes. 

     [[Image:Quinta.jpg]]

-  Producto de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el producto de las bases. 

     [[Image:Sexta.jpg]] 

-  Cociente de potencias con el mismo exponente: Es otra potencia con el mismo exponente y cuya base es el cociente de las bases. 

-  Descomposición polinómica de un número. 

Un número natural se puede descomponer utilizando potencias de base 10.

El numero 3 658 podemos descomponerlo del siguiente modo: 

La radicación es una operación inversa de la potenciación <ref>Dada la ecuación P = x n se trata de hallar el valor de x, se resuelve hallando la raíz n-esima; sin embargo, si P = a t , el valor de t se obtiene como log a P = t, que genera otra operación, con restricción de base ≠ 1</ref> . Y consiste en que dados dos números, llamados radicando e índice, hallar un tercero, llamado raíz, tal que, elevado al índice, sea igual al radicando. 

En la raíz cuadrada, el índice es 2, aunque en este caso se omite. Consiste en hallar un número cuando se conoce su cuadrado. 

La raíz cuadrada de un número, a, es exacta cuando encontramos un número, b, que elevado al cuadrado es igual al radicando: b² = a. 
√9 = 3

La raíz cuadrada exacta tiene resto 0. 

Cuadrados perfectos: Son los números que poseen raíces cuadradas exactas.  

1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100, 121, 144, 169,... 

Raíz cuadrada entera: Si un número no es cuadrado perfecto su raíz es entera. 

   [[Image:Raizentera.jpg]]
; Casos y ejemplos
Dado el número natural a, diremos que el número r, si existe. es raíz cuadrada de a y se escribe a0.5 = r, cuando a = r2
: Por ejemplo la raíz cuadrada de 144 es 12, pues 144 = 122
:En este perfil, solamente los números que son cuadrados perfectos tienen raíz cuadrada. Para obviar esta restricción se define la ''raíz cuadrada entera por defecto'' .
: Diremos que r es '''raíz cuadrada entera por defecto''' de a si r2 < a < (r + 1)2. A la diferencia d= a- r2, se llama ''resto de la raíz cuadrada '' de a.
: Como ejemplo ,la raíz cuadrada entera por defecto de 175 es 13, pues 132 < 175 < (13 +1)2, equivalentemente 169 < 175 < 196. a 175-169 = 6, se llama el resto de la raíz cuadrada entera por defecto de 175.
: En el caso de 144/ 529 su raíz cuadrada es 12/23; sin embargo cuando se trata de otros números fraccionarios u otros enteros positivos, no siempre el resultado es un número racional. Un caso, de hecho histórico, se comprobó que la raíz cuadrada de 2 no es un número racional. ¿Por qué el interés de conocer y precisar la raíz cuadrada de 2? Pues si conocemos que el lado de un cuadrado es 1, se tiene que la longitud de la diagonal es, precisamente la raíz cuadrada de 2. Esto resulta de aplicar el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo isósceles cuyos catetos son dos lados consecutivos del cuadrado y su hipotenusa es la diagonal del cuadrado. No hay una fracción que sea la raíz cuadrada de 2. De ahí surge el concepto de que la raíz cuadrada de 2 sea un número irracional. Se puede hacer aproximaciones decimales, pero no se alcanza la última cifra. En las tareas de trabajo aplicativo basta con cinco o seis cifras decimales. Una aproximación r.c. de 2 = 1.414213562... hasta mil millonésimos .

== Véase también ==
*[[Mínimo común múltiplo]]
*[[Conmutatividad| Propiedad conmutativa]]
*[[Potenciación]]
*[[Radicación]]
*[[Números enteros]][[Archivo:Logotipo de numeros enteros.png|26px]]
*[[Números racionales]][[Archivo:Logotipo de numeros racionales.png|26px]]
*[[Números complejos]][[Archivo:Logotipo de numeros complejos.png|26px]]

==Referencias==
<references />

== Fuentes ==
* '''Apuntes y ejercicios de Matemáticas''', disponible en: [http://www.vitutor.com/ www.vitutor.com].
* '''Monografías Historia de los Números Naturales''', disponible en: [http://www.monografias.com/trabajos58/historia-numeros-naturales/historia-numeros-naturales.shtml www.monografias.com].

[[Category:Matemáticas]]
[[Categoría: Aritmética]]