Coeficiente binomial - Historial de revisiones

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{{Definición|nombre=Coeficiente binomial|imagen=Coeficiente_binomial.gif|concepto=Valor resultante del ''r''-ésimo coeficiente resultante de desarrollar ''(a+b)n'' y ordenar según descendentemente los exponentes de ''a''.}}
<div align="justify">
'''Coeficiente binomial'''. En Matemáticas, Combinatoria, Probalilidades, Matemáticas Discretas y Álgebra dícese tanto del resultado de cada uno de los coefientes del desarrollo del binomio ''(a+b)n'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.

En cualquier caso su representación puede ser [[Archivo:Cantidad_Combinaciones.gif|middle]] ó [[Archivo:Coeficiente_binomial.gif]] siendo más usada la última.

El desarrollo de sus componentes en filas y columnas centradas, resulta en la figura algebraica conocida ya desde diversas culturas de la antiguedad y que luego se denominaría [[Triángulo de Pascal]].

==Definición.==
Sea ''(a+b)n = C0anb0+C1an-1b1+C2an-2b2+...+Cn-1a1bn-1+Cna0bn'' se llama '''coeficiente binomial ''n'', ''r''; ''' al coeficiente ''Cr'' de la expresión antes vista, donde ''n'' es el exponente del binomio ''a+b'' y se representa [[Archivo:Combinacion.gif|middle]] ó [[Archivo:Coeficiente_binomial.gif]]. Esta forma de definición se debe a [[Isaac Newton]] y es equivalente al llamado ''teorema del binomio'' o [[teorema de Newton]].

También el '''coeficiente binomial de ''n'', ''r'' ''' coincide con la cantidad de r-combinaciones sin repetición de los elementos de un n-conjunto dado por el resultado:

* [[Archivo:Combinacion_formula.gif|middle]]

donde ''Pr,n'' es la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|r-permutaciones]] en un n-conjunto.

==Propiedades.==
El coeficiente binomial presenta una serie de propiedades bien conocidas como son:

# [[Archivo:Coeficiente_binomial_n_0.gif|middle]]
# [[Archivo:Coeficiente_binomial_n_n.gif|middle]]
# [[Archivo:Coeficiente_binomial_n_r_recursiva.gif|middle]] '''(Fórmula recursiva aditiva del coeficiente binomial)'''.
# [[Archivo:Coeficiente_binomial_n_r_identidad_simetria.gif|middle]] '''(Identidad de simetría del coeficiente binomial)'''.
# [[Archivo:Sumatoria_Coeficiente_binomial_n_r.gif|middle]] '''(Cantidad de subconjuntos en un conjunto de ''n'' elementos)'''.

Las cuatro primeras sirven para la contrucción recurrente del coeficiente binomial. En [[lenguaje de programación]] [[Python]] sería:

<pre>
def C(n,k):
'''(int, int)--> int. Devuelve el valor del coeficiente binomial de n, k.'''
if n==k or k==0:
return 1
if k>n:
return 0
if k > n/2:
return C(n,n-k)
return C(n-1,k-1) + C(n-1,k)
</pre>

La quinta es la formulación combinatoria del famoso resultado de la [[Teoría de Conjuntos]]: '''si ''|A|=n'' entonces ''|P(A)|=2n''.'''

===Triángulo de Pascal.===
Esta figura matemática es descrita y demostrada por primera vez en [[Occidente]] de la mano de [[Blaise Pascal]] en el [[siglo XVII]] y está basado en las propiedades 1 a 4 del coeficiente binomial antes vistas.

La idea era una tabla cuyas filas representaban la cantidad de elementos totales ''n'' y las columnas, la cantidad de subconjuntos de ''r'' elementos a conformar:

{| class="wikitable"
!n\r
!0
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
!9
!10
|-
|'''0'''||1||1||1||1||1||1||1||1||1||1||1
|-
|'''1'''||1||2||3||4||5||6||7||8||9||10||
|-
|'''2'''||1||3||6||10||15||21||28||36||45|| ||
|-
|'''3'''||1||4||10||20||35||56||84||120|| || ||
|-
|'''4'''||1||5||15||35||70||126||210|| || || ||
|-
|'''5'''||1||6||21||56||126||252|| || || || ||
|-
|'''6'''||1||7||28||84||210|| || || || || ||
|-
|'''7'''||1||8||36||120|| || || || || || ||
|-
|'''8'''||1||9||45|| || || || || || || ||
|-
|'''9'''||1||10|| || || || || || || || ||
|-
|'''10'''||1|| || || || || || || || || ||
|}
o esta otra mas esclarecida:

{| class="wikitable"
!n\r
!0
!1
!2
!3
!4
!5
!6
!7
!8
!9
!10
|-
|'''0'''||1||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
|'''1'''||1||1||0||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
|'''2'''||1||2||1||0||0||0||0||0||0||0||0
|-
|'''3'''||1||3||3||1||0||0||0||0||0||0||0
|-
|'''4'''||1||4||6||4||1||0||0||0||0||0||0
|-
|'''5'''||1||5||10||10||5||1||0||0||0||0||0
|-
|'''6'''||1||6||15||20||15||6||1||0||0||0||0
|-
|'''7'''||1||7||21||35||35||21||7||1||0||0||0
|-
|'''8'''||1||8||28||56||70||56||28||8||1||0||0
|-
|'''9'''||1||9||36||84||126||126||84||36||9||1||0
|-
|'''10'''||1||10||45||120||210||252||210||120||45||10||1
|}
pero la representación más popular es la de tipo triangular:

* [[Archivo:Triangulo_Pascal_0_10.png|middle|Desarrollo del Triángulo de Pascal hasta 10]]

En Python pudiera usarse una [[función]] como la siguiente para la generacion de todas las filas del triángulo hasta un nivel ''n'' dado:

<pre>
def Triangulo_Pascal(n):
'''(int)--> list. Devuelve una lista cuyos elementos son
listas que representan las filas del Triangulo de Pascal.'''
TP = []
for i in range(n+1):
F = [C(i, 0)]
for j in range(1,i+1):
F.append(C(i,j))
TP.append(F)
return TP
</pre>

==Antecedentes.==
Las formulaciones tanto algebraicas como combinatorias e incluso la forma misma de los números de los coeficientes binomiales dispuestos triangularmente eran conocidos desde la antiguedad mucho antes de quedar formalizadas en [[1654]], por [[Blaise Pascal]] en su ''"[[Traité du triangle arithmétique]]"'' (trad.: ''"Tradado del triángulo aritmético"''), que constituyó uno de los primeros documentos sobre Análisis Combinatorio y Probabilístico.

Hay referentes escritos de la [[India]] y [[Persia]] donde matemáticos como [[Al-Karaji]] y [[Omar Jayyam]] exponen sus consideraciones y análisis al respecto cinco siglos antes que Pascal. En 1303 el chino [[Yang Hui]] describe su forma, valores e importancia, haciendo que en su país se nombrara como ''Triángulo de Yanghui''. No obstante el uso se remonta atrás en el tiempo.

==Fuentes.==
# K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir. Moscú, 1988.
# K. Ribnikov. Historia de las Matemáticas. Editorial Mir. Moscú, 1987.
# I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir. Moscú, 1973.
# Colectivo de Autores. Matemática 12 grado. Tomo 1. Editorial Pueblo y Educación. La Habana, 1989.
# [http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial Página del Coeficiente binomial en Wikipedia].
# [http://es.wikipedia.org/wiki/Triángulo_de_Pascal Triángulo de Pascal en Wikipedia].

</div>
[[Categoría:Matemáticas]][[Categoría:Álgebra]]

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 {{Definición|nombre=Coeficiente binomial|imagen=Coeficiente_binomial.png|concepto=Valor resultante del ''r''-ésimo coeficiente resultante de desarrollar ''(a+b)<sup>n</sup>'' y ordenar según descendentemente los exponentes de ''a''.
-}}<div align="justify">'''Coeficiente binomial'''. En [[Matemáticas]], [[Combinatoria]], [[Probabilidades]], [[Matemática Discreta|Matemáticas Discretas]] y [[Álgebra]] dícese tanto del resultado de cada uno de los [[Coeficiente (Álgebra)|coeficientes]] del desarrollo del [[Polinomio|binomio]] ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
+}}'''Coeficiente binomial'''. En [[Matemáticas]], [[Combinatoria]], [[Probabilidades]], [[Matemática Discreta|Matemáticas Discretas]] y [[Álgebra]] dícese tanto del resultado de cada uno de los [[Coeficiente (Álgebra)|coeficientes]] del desarrollo del [[Polinomio|binomio]] ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
 En cualquier caso su representación puede ser [[Archivo:Cantidad_Combinaciones.gif|middle]] ó [[Archivo:Coeficiente_binomial.gif|middle]] siendo más usada la última.

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 {{Definición|nombre=Coeficiente binomial|imagen=Coeficiente_binomial.png|concepto=Valor resultante del ''r''-ésimo coeficiente resultante de desarrollar ''(a+b)<sup>n</sup>'' y ordenar según descendentemente los exponentes de ''a''.
-}}<div align="justify">'''Coeficiente binomial'''. En Matemáticas, Combinatoria, Probalilidades, Matemáticas Discretas y Álgebra dícese tanto del resultado de cada uno de los coefientes del desarrollo del binomio ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
+}}<div align="justify">'''Coeficiente binomial'''. En [[Matemáticas]], [[Combinatoria]], [[Probabilidades]], [[Matemática Discreta|Matemáticas Discretas]] y [[Álgebra]] dícese tanto del resultado de cada uno de los [[Coeficiente (Álgebra)|coeficientes]] del desarrollo del [[Polinomio|binomio]] ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
 En cualquier caso su representación puede ser [[Archivo:Cantidad_Combinaciones.gif|middle]] ó [[Archivo:Coeficiente_binomial.gif|middle]] siendo más usada la última.

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 {{Definición|nombre=Coeficiente binomial|imagen=Coeficiente_binomial.png|concepto=Valor resultante del ''r''-ésimo coeficiente resultante de desarrollar ''(a+b)<sup>n</sup>'' y ordenar según descendentemente los exponentes de ''a''.
-}}<div align="justify">'''Coeficiente binomial'''. En [[Matemáticas]], [[Combinatoria]], [[Probabilidades]], [[Matemática Discreta|Matemáticas Discretas]] y [[Álgebra]] dícese tanto del resultado de cada uno de los [[Coeficiente (Álgebra)|coeficientes]] del desarrollo del [[Polinomio|binomio]] ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
+}}<div align="justify">'''Coeficiente binomial'''. En Matemáticas, Combinatoria, Probalilidades, Matemáticas Discretas y Álgebra dícese tanto del resultado de cada uno de los coefientes del desarrollo del binomio ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
 En cualquier caso su representación puede ser [[Archivo:Cantidad_Combinaciones.gif|middle]] ó [[Archivo:Coeficiente_binomial.gif|middle]] siendo más usada la última.
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 La quinta es la formulación combinatoria del famoso resultado de la [[Teoría de Conjuntos]]: '''si ''|A|=n'' entonces ''|P(A)|=2<sup>n</sup>''.'''
-===Triángulo de Pascal.===
+===Triángulo de Pascal===
 Esta figura matemática es descrita y demostrada por primera vez en [[Occidente]] de la mano de [[Blaise Pascal]] en el [[siglo XVII]] y está basado en las propiedades 1 a 4 del coeficiente binomial antes vistas.
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 * [[Archivo:Triangulo_Pascal_0_10.png|middle|Desarrollo del Triángulo de Pascal hasta 10]]
-En Python pudiera usarse una [[función]] como la siguiente para la generación de todas las filas del [[triángulo]] hasta un nivel ''n'' dado:
+En Python pudiera usarse una [[función]] como la siguiente para la generacion de todas las filas del triángulo hasta un nivel ''n'' dado:
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 ==Antecedentes==
-Las formulaciones tanto algebraicas como combinatorias e incluso la forma misma de los números de los coeficientes binomiales dispuestos triangularmente eran conocidos desde la antigüedad mucho antes de quedar formalizadas en [[1654]], por [[Blaise Pascal]] en su ''"[[Traité du triangle arithmétique]]"'' (trad.: ''"Tratado del triángulo aritmético"''), que constituyó uno de los primeros documentos sobre Análisis Combinatorio y Probabilístico.
+Las formulaciones tanto algebraicas como combinatorias e incluso la forma misma de los números de los coeficientes binomiales dispuestos triangularmente eran conocidos desde la antiguedad mucho antes de quedar formalizadas en [[1654]], por [[Blaise Pascal]] en su ''"[[Traité du triangle arithmétique]]"'' (trad.: ''"Tradado del triángulo aritmético"''), que constituyó uno de los primeros documentos sobre Análisis Combinatorio y Probabilístico.
 Hay referentes escritos de la [[India]] y [[Persia]] donde matemáticos como [[Al-Karaji]] y [[Omar Jayyam]] exponen sus consideraciones y análisis al respecto cinco siglos antes que Pascal. En 1303 el chino [[Yang Hui]] describe su forma, valores e importancia, haciendo que en su país se nombrara como ''Triángulo de Yanghui''. No obstante el uso se remonta atrás en el tiempo.

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-{{Normalizar|motivo=Insertar imagen con mejor calidad}}
+{{Definición|nombre=Coeficiente binomial|imagen=Coeficiente_binomial.png|concepto=Valor resultante del ''r''-ésimo coeficiente resultante de desarrollar ''(a+b)<sup>n</sup>'' y ordenar según descendentemente los exponentes de ''a''.
-{{Definición|nombre=Coeficiente binomial|imagen=Coeficiente_binomial.gif|concepto=Valor resultante del ''r''-ésimo coeficiente resultante de desarrollar ''(a+b)<sup>n</sup>'' y ordenar según descendentemente los exponentes de ''a''.
+}}<div align="justify">'''Coeficiente binomial'''. En [[Matemáticas]], [[Combinatoria]], [[Probabilidades]], [[Matemática Discreta|Matemáticas Discretas]] y [[Álgebra]] dícese tanto del resultado de cada uno de los [[Coeficiente (Álgebra)|coeficientes]] del desarrollo del [[Polinomio|binomio]] ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
 En cualquier caso su representación puede ser [[Archivo:Cantidad_Combinaciones.gif|middle]] ó [[Archivo:Coeficiente_binomial.gif|middle]] siendo más usada la última.
@@ Línea 41: / Línea 40: @@
 La quinta es la formulación combinatoria del famoso resultado de la [[Teoría de Conjuntos]]: '''si ''|A|=n'' entonces ''|P(A)|=2<sup>n</sup>''.'''
-===Triángulo de Pascal===
+===Triángulo de Pascal.===
 Esta figura matemática es descrita y demostrada por primera vez en [[Occidente]] de la mano de [[Blaise Pascal]] en el [[siglo XVII]] y está basado en las propiedades 1 a 4 del coeficiente binomial antes vistas.
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 * [[Archivo:Triangulo_Pascal_0_10.png|middle|Desarrollo del Triángulo de Pascal hasta 10]]
-En Python pudiera usarse una [[función]] como la siguiente para la generacion de todas las filas del triángulo hasta un nivel ''n'' dado:
+En Python pudiera usarse una [[función]] como la siguiente para la generación de todas las filas del [[triángulo]] hasta un nivel ''n'' dado:
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 ==Antecedentes==
-Las formulaciones tanto algebraicas como combinatorias e incluso la forma misma de los números de los coeficientes binomiales dispuestos triangularmente eran conocidos desde la antiguedad mucho antes de quedar formalizadas en [[1654]], por [[Blaise Pascal]] en su ''"[[Traité du triangle arithmétique]]"'' (trad.: ''"Tradado del triángulo aritmético"''), que constituyó uno de los primeros documentos sobre Análisis Combinatorio y Probabilístico.
+Las formulaciones tanto algebraicas como combinatorias e incluso la forma misma de los números de los coeficientes binomiales dispuestos triangularmente eran conocidos desde la antigüedad mucho antes de quedar formalizadas en [[1654]], por [[Blaise Pascal]] en su ''"[[Traité du triangle arithmétique]]"'' (trad.: ''"Tratado del triángulo aritmético"''), que constituyó uno de los primeros documentos sobre Análisis Combinatorio y Probabilístico.
 Hay referentes escritos de la [[India]] y [[Persia]] donde matemáticos como [[Al-Karaji]] y [[Omar Jayyam]] exponen sus consideraciones y análisis al respecto cinco siglos antes que Pascal. En 1303 el chino [[Yang Hui]] describe su forma, valores e importancia, haciendo que en su país se nombrara como ''Triángulo de Yanghui''. No obstante el uso se remonta atrás en el tiempo.

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-{{Definición|nombre=Coeficiente binomial|imagen=Coeficiente_binomial.gif|concepto=Valor resultante del ''r''-ésimo coeficiente resultante de desarrollar ''(a+b)<sup>n</sup>'' y ordenar según descendentemente los exponentes de ''a''.}}
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+{{Definición|nombre=Coeficiente binomial|imagen=Coeficiente_binomial.gif|concepto=Valor resultante del ''r''-ésimo coeficiente resultante de desarrollar ''(a+b)<sup>n</sup>'' y ordenar según descendentemente los exponentes de ''a''.
-'''Coeficiente binomial'''. En Matemáticas, Combinatoria, Probalilidades, Matemáticas Discretas y Álgebra dícese tanto del resultado de cada uno de los coefientes del desarrollo del binomio ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
+}}<div align="justify">'''Coeficiente binomial'''. En Matemáticas, Combinatoria, Probalilidades, Matemáticas Discretas y Álgebra dícese tanto del resultado de cada uno de los coefientes del desarrollo del binomio ''(a+b)<sup>n</sup>'' con ''n'' [[Número entero|entero]] no [[Número negativo|negativo]] o como '''la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|combinaciones sin repetición]] de ''n'' elementos tomados de ''r'' en ''r'' '''.
 En cualquier caso su representación puede ser [[Archivo:Cantidad_Combinaciones.gif|middle]] ó [[Archivo:Coeficiente_binomial.gif|middle]] siendo más usada la última.
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 El desarrollo de sus componentes en filas y columnas centradas, resulta en la figura algebraica conocida ya desde diversas culturas de la antigüedad y que luego se denominaría [[Triángulo de Pascal]].
-==Definición.==
+==Definición==
 Sea ''(a+b)<sup>n</sup> = C<sub>0</sub>a<sup>n</sup>b<sup>0</sup>+C<sub>1</sub>a<sup>n-1</sup>b<sup>1</sup>+C<sub>2</sub>a<sup>n-2</sup>b<sup>2</sup>+...+C<sub>n-1</sub>a<sup>1</sup>b<sup>n-1</sup>+C<sub>n</sub>a<sup>0</sup>b<sup>n</sup>'' se llama '''coeficiente binomial ''n'', ''r''; ''' al coeficiente ''C<sub>r</sub>'' de la expresión antes vista, donde ''n'' es el exponente del binomio ''a+b'' y se representa [[Archivo:Cantidad_Combinaciones.gif|middle]] ó [[Archivo:Coeficiente_binomial.gif|middle]]. Esta forma de definición se debe a [[Isaac Newton]] y es equivalente al llamado ''teorema del binomio'' o [[teorema de Newton]].
@@ Línea 16: / Línea 16: @@
 donde ''P<sub>r,n</sub>'' es la cantidad de [[Muestra (Combinatoria)|r-permutaciones]] en un n-conjunto.
-==Propiedades.==
+==Propiedades==
 El coeficiente binomial presenta una serie de propiedades bien conocidas como son:
@@ Línea 41: / Línea 41: @@
 La quinta es la formulación combinatoria del famoso resultado de la [[Teoría de Conjuntos]]: '''si ''|A|=n'' entonces ''|P(A)|=2<sup>n</sup>''.'''
-===Triángulo de Pascal.===
+===Triángulo de Pascal===
 Esta figura matemática es descrita y demostrada por primera vez en [[Occidente]] de la mano de [[Blaise Pascal]] en el [[siglo XVII]] y está basado en las propiedades 1 a 4 del coeficiente binomial antes vistas.
@@ Línea 139: / Línea 139: @@
 </pre>
-==Antecedentes.==
+==Antecedentes==
 Las formulaciones tanto algebraicas como combinatorias e incluso la forma misma de los números de los coeficientes binomiales dispuestos triangularmente eran conocidos desde la antiguedad mucho antes de quedar formalizadas en [[1654]], por [[Blaise Pascal]] en su ''"[[Traité du triangle arithmétique]]"'' (trad.: ''"Tradado del triángulo aritmético"''), que constituyó uno de los primeros documentos sobre Análisis Combinatorio y Probabilístico.
 Hay referentes escritos de la [[India]] y [[Persia]] donde matemáticos como [[Al-Karaji]] y [[Omar Jayyam]] exponen sus consideraciones y análisis al respecto cinco siglos antes que Pascal. En 1303 el chino [[Yang Hui]] describe su forma, valores e importancia, haciendo que en su país se nombrara como ''Triángulo de Yanghui''. No obstante el uso se remonta atrás en el tiempo.
-==Fuentes.==
+==Fuentes==
 # K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir. Moscú, 1988.
 # K. Ribnikov. Historia de las Matemáticas. Editorial Mir. Moscú, 1987.