Conjunto potencia - Historial de revisiones

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{{Definición|nombre=Conjunto potencia|imagen=Conjunto_Potencia.gif|concepto=Dícese de aquel conjunto que, a partir de un conjunto ''A'', contiene exactamente a todos los subconjuntos de éste.}}
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'''Conjunto potencia'''. En [[Matemática]], [[Lógica]] y [[Matemática Discreta]], dícese de la operación conjuntual que obtiene, a partir de un conjunto dado como parámetro, otro [[conjunto]] conformado por exactamente todos los subconjuntos de aquel.

En cualquier caso su representación puede ser ''P(A)'', [[Archivo:Rho_de_A.gif|middle]], ''PA'', [[archivo:Rho_a_la_A.gif|middle]], siendo más usadas las dos primeras.

El conjunto potencia, sobre todo de conjuntos finitos, tiene gran uso en la modelación de fenómenos y en las definiciones de conceptos y propiedades de figuras matemáticas o de otras ramas de la ciencia.

==Definición==
Sea un conjunto ''A'', se le llama '''conjunto potencia de ''A'' ''' y se denota ''P(A)'', [[Archivo:Rho_de_A.gif|middle]], ''PA'', [[archivo:Rho_a_la_A.gif|middle]] (más extendido el uso de las dos primeras notaciones) al conjunto de exactamente todos los subconjuntos de ''A''.

==Propiedades==
Sea ''A'' un conjunto y ''P(A)'' su correspondiente conjunto potencia entonces se cumple:

* Si ''A'' es un conjunto finito tal que ''|A|=n'' entonces ''|P(A)|=2n''.
* [[Archivo:Vacio_en_Conjunto_Potencia.gif|middle]]
* [[Archivo:A_en_Conjunto_Potencia.gif|middle]]
* Si [[Archivo:B_no_subconjunto_de_A.gif|middle]] entonces [[Archivo:B_no_en_Conjunto_Potencia.gif|middle]]
* Si [[Archivo:B_subconjunto_de_A.gif|middle]] y [[Archivo:B_no_en_Conjunto_Potencia.gif|middle]] entonces ''P(A)'' no es el conjunto potencia de ''A''.
* Todos los elementos de ''P(A)'' son conjuntos.
* Si ''A={}'' entonces ''P(A)={{}}''.

==Algoritmo de construcción de subconjuntos==
Sea un conjunto finito ''A'' de tamaño ''n'' pueden obtenerse todos sus subconjuntos mediante el método combinatorio:

# ''P = {{}}'' (el conjunto vacío siempre es subconjunto de cualquier conjunto).
# Se enumeran los elementos de ''A={a1,a2,...,an}
# Para cada ''i'' en el rango natural ''[1,2n]'':
## ''S={}''
## Para cada ''j'' en el rango ''[1,n]'':
### Si ''i & 2j==2j'' (bitwise [[AND]]) (Si está la posición ''j-ésima'' marcada en ''i''):
### [[Archivo:S_igual_S_union_cjto_a_sub_j.gif|middle]], se agrega el elemento al subconjunto ''i-ésimo'' del conjunto potencia ''P''.
## [[Archivo:P_igual_P_union_S.gif|middle]]

Al concluir ''P'' contiene el conjunto potencia de ''A''.

==Ejemplos==

* ''A={}'', ''P(A)={{}}''.
* ''A={a}'', ''P(A)={{},{a}}''
* ''A={a,b}'',''P(A)={{}, {a}, {b}, {a,b}}''
* ''C={v,w,x,y,z}'', ''|PC|=32''
* Sea ''P'' el conjunto de los naturales pares, [[Archivo:Rho_de_Pares_Ejemplo.gif|middle]]

==Importancia==
El conjunto potencia, sobre todo de conjuntos finitos, tiene gran uso en la modelación de fenómenos y en las definiciones de conceptos y propiedades de figuras matemáticas o de otras ramas de la ciencia.

Por solo mencionar un caso, el proceso de transformación de [[autómata finito no determinista]] en [[autómata finito determinista]] se realiza mediante el método de construcción de subconjuntos (excepto el conjunto vacío), con la eliminación posterior de los elementos inaccesibles desde el estado inicial según la [[clausura de Kleene]], resultando en un [[AFD]].

==Fuentes.==
# K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir. Moscú, 1988.
# I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir. Moscú, 1973.
# [http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial Página del Coeficiente binomial en Wikipedia]. Consultado el [1 de diciembre] de [[2013]].
# [http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto Conjunto en Wikipedia]. Consultado el [1 de diciembre] de [[2013]].

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[[Categoría:Matemática]][[Categoría:Álgebra]]

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 '''Conjunto potencia'''. En [[Matemática]], [[Lógica]] y [[Matemática Discreta]], dícese de la operación conjuntual que obtiene, a partir de un conjunto dado como parámetro, otro  [[conjunto]] conformado por exactamente todos los subconjuntos de aquel.
-En cualquier caso su representación puede ser ''P(A)'', [[Archivo:Rho_de_A.gif|middle]], ''P<sup>A</sup>'', [[archivo:Rho_a_la_A.gif|middle]], siendo más usadas las dos primeras.
+En cualquier caso su representación puede ser ''P(A)'', [[Archivo:Rho_de_A.gif|middle]], ''P<sup>A</sup>'', [[archivo:Rho_power_A.gif|middle]], siendo más usadas las dos primeras.
 El conjunto potencia, sobre todo de conjuntos finitos, tiene gran uso en la modelación de fenómenos y en las definiciones de conceptos y propiedades de figuras matemáticas o de otras ramas de la ciencia.

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 ==Definición==
-Sea un conjunto ''A'', se le llama '''conjunto potencia de ''A'' ''' y se denota ''P(A)'', [[Archivo:Rho_de_A.gif|middle]], ''P<sup>A</sup>'', [[archivo:Rho_a_la_A.gif|middle]] (más extendido el uso de las dos primeras notaciones) al conjunto de exactamente todos los subconjuntos de ''A''.
+Sea un conjunto ''A'', se le llama '''conjunto potencia de ''A'' ''' y se denota ''P(A)'', [[Archivo:Rho_de_A.gif|middle]], ''P<sup>A</sup>'', [[archivo:Rho_power_A.gif|middle]] (más extendido el uso de las dos primeras notaciones) al conjunto de exactamente todos los subconjuntos de ''A''.
 ==Propiedades==

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 {{Definición|nombre=Conjunto potencia|imagen=Conjunto_Potencia.gif|concepto=Dícese de aquel conjunto que, a partir de un conjunto ''A'', contiene exactamente a todos los subconjuntos de éste.}}
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 '''Conjunto potencia'''. En [[Matemática]], [[Lógica]] y [[Matemática Discreta]], dícese de la operación conjuntual que obtiene, a partir de un conjunto dado como parámetro, otro  [[conjunto]] conformado por exactamente todos los subconjuntos de aquel.

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 Por solo mencionar un caso, el proceso de transformación de [[autómata finito no determinista]] en [[autómata finito determinista]] se realiza mediante el método de construcción de subconjuntos (excepto el conjunto vacío), con la eliminación posterior de los elementos inaccesibles desde el estado inicial según la [[clausura de Kleene]], resultando en un [[AFD]].
-==Fuentes.==
+==Fuentes==
 # K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir. Moscú, 1988.
 # I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir. Moscú, 1973.
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-[[Categoría:Matemática]][[Categoría:Álgebra]]
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 # K. Ribnikov. Análisis Combinatorio. Editorial Mir. Moscú, 1988.
 # I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de Matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. Editorial Mir. Moscú, 1973.
-# [http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial Página del Coeficiente binomial en Wikipedia]. Consultado el [1 de diciembre] de [[2013]].
+# [http://es.wikipedia.org/wiki/Coeficiente_binomial Página del Coeficiente binomial en Wikipedia]. Consultado el [[1 de diciembre]] de [[2013]].
-# [http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto Conjunto en Wikipedia]. Consultado el [1 de diciembre] de [[2013]].
+# [http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto Conjunto en Wikipedia]. Consultado el [[1 de diciembre]] de [[2013]].
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 [[Categoría:Matemática]][[Categoría:Álgebra]]