Ecuación diferencial ordinaria exacta - Historial de revisiones

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Pararin en 16:51 21 ene 2016

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Pararin: Cubriendo temas de interés permanente y aplicativo, procurando estructurar con indicaciones no simbólicas a falta de notaciones necesarias.

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Cubriendo temas de interés permanente y aplicativo, procurando estructurar con indicaciones no simbólicas a falta de notaciones necesarias.

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Sea la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
:::: g(t,y)dt+ h(t,y) dy =0 (1)
si existe una función bivariante f(t,y) de modo que
:::: Dtf = g(t,y) también Dyf = h(t,y) (2) <ref>Dtf indica la primera derivada parcial de f con respecto a t. </ref>
se dice que (1) es una ''ecuación diferencial exacta''. Asumiendo que se cumpla la condición (2), la ecuación propuesta adopta la expresión siguiente:
:::: Dtf .dx +Dyf.dy = 0 (3), puesto que expresa la diferencial total de una función de dos variables, resulta:

:::: f(t,y) = C (4)
Es decir que (4) es la solución general de la ecuación diferencial propuesta (1); razón por la que para resolver esta ecuación diferencial es necesario y suficiente encontrar una función f(t,y) que verifique la condición (2).

Sin embargo, de modo más efectivo se puede saber si se está ante el caso de una ecuación diferencial exacta; según (2) , en el supuesto de que la función f(t,y) sea continua, caben las igualdades:
:::: Dyg=Dyxf = Dxyf = Dth (5), de tal modo que se cumple:

::::Dyg = Dth. (5), por otra parte si la exigencia (5) se cumple, existe una función f(t,y) que satisface la condición (2).

Integrando la primera ecuación de (2) se obtiene
:::: f(t,y) = integral indefinida de g(t,y) + j(y) (6), siendo j(y) una constante arbitraria de integración y puede contener la variable y, puesto que la integración se realiza con respecto a t. Para encontrar la función j(y) se halla la derivada parcial de con respecto a y que va a contener j´(y); la que se iguala a h(t,y) y luego se halla la integral indefinida de j´(y).

==Resolución de un caso==
Sea la (2ty+y2)dt + ( 2ty+t2)dy, donde
:::: g(t,y) = 2ty+y2, también h(t,y) = 2ty+t2, luego
:::gy = 2x +2y; ht= 2y +2t, que son iguales, por tanto es un caso de ecuación diferencial exacta.
:: Integrando g(t,y) con respecto a t, resulta f(t,y) = t2 +ty2 + j(y).
::Derivando parcialmente el resultado anterior que da f, respecto a y se tiene Dyf= t2+2ty + j´(y). Igualando este resultado con h(t,y), se tiene:
:: t2+2ty + j´(y) = 2ty +t2. Cancelando términos iguales resulta:
:::j´(y) = 0, o bien j(y) = C que es una constante arbitraria de integración. Luego la solución general es
::::: f(t,y) = t2y + ty2 + C.

==Bibliografía==
<references/>
* A.G. Tsipkin. ''Manual de matemáticas para la enseñanza media''. Editorial Mir, Moscú, 1985.

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 Sea la ecuación diferencial ordinaria de primer orden
 :::: g(t,y)dt+ h(t,y) dy =0 (1)
-si existe una función bivariante f(t,y) de modo que
+si existe una función de dos variables f(t,y) de modo que
 :::: D<sub>t</sub>f = g(t,y) también D<sub>y</sub>f = h(t,y) (2) <ref>D<sub>t</sub>f indica la primera derivada parcial de f con respecto a t. </ref>
-se dice que (1) es una ''ecuación diferencial exacta''. Asumiendo que se cumpla la condición (2), la ecuación propuesta adopta la expresión siguiente:
+se dice que (1) es una '''ecuación diferencial exacta'''. Asumiendo que se cumpla la condición (2), la ecuación propuesta adopta la expresión siguiente:
 :::: D<sub>t</sub>f .dx +D<sub>y</sub>f.dy = 0  (3),  puesto que expresa la diferencial total de una función de dos variables, resulta:

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 ==Bibliografía==
 <references/>
-* A.G. Tsipkin. ''Manual de matemáticas para la enseñanza media''. Editorial Mir, Moscú, 1985.
+* A.G. Tsipkin. ''Manual de matemáticas para la enseñanza media''. [[Editorial Mir]], [[Moscú]], [[1985]].
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 :::: f(t,y) = C (4)
 Es decir que (4) es la solución general de la ecuación diferencial propuesta (1); razón por la que para resolver esta ecuación diferencial  es necesario y suficiente encontrar una función f(t,y) que verifique la condición (2).
 Sin embargo, de modo más efectivo se puede saber si se está ante el caso de una ecuación diferencial exacta; según (2) , en el supuesto de que la función f(t,y) sea continua, caben las igualdades:
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 :::: f(t,y) = integral indefinida de g(t,y) + j(y) (6), siendo j(y)   una constante arbitraria de integración y puede contener la variable y, puesto que la integración se realiza con respecto a t. Para encontrar la función j(y) se halla la derivada parcial de  con respecto a y que va a contener j´(y);  la que  se iguala a h(t,y) y luego se halla la integral indefinida de j´(y).
-==Resolución de un caso==
+==Presentación de un caso==
 Sea la (2ty+y<sup>2</sup>)dt + ( 2ty+t<sup>2</sup>)dy, donde
 :::: g(t,y) = 2ty+y<sup>2</sup>, también  h(t,y) = 2ty+t<sup>2</sup>, luego