Grupo de Klein - Historial de revisiones

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‎Propiedades algebraicas: isomorfismo

Pararin: /* Propiedades algebraicas */ Ismorfismo

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‎Propiedades algebraicas: Ismorfismo

Pararin: Usando pares ordenados de restos módulo 3, se procura familiarizar la tabla ' abstracta' del grupo de Klein.

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Usando pares ordenados de restos módulo 3, se procura familiarizar la tabla ' abstracta' del grupo de Klein.

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En [[matemáticas]], el '''grupo de Klein''' o el '''Vierergruppe''' (en alemán, ''grupo de cuatro'') es el [[Grupo conmutativo|grupo abeliano]] de cuatro elementos en el que cada elemento es el inverso de sí mismo. Recibe este nombre en honor al alemán [[Felix Christian Klein|Félix Klein]].

== Definición del grupo ==
El grupo de Klein es el grupo ''(K, •)'' donde ''K = {1, a, b, c}'' y cuya [[operación binaria]] interna '''•''' se define con la siguiente tabla:

{| class="wikitable" border="1"
|-
! •
! 1
! a
! b
! c
|-
| '''1'''
| 1
| a
| b
| c
|-
| '''a'''
| a
| 1
| c
| b
|-
| '''b'''
| b
| c
| 1
| a
|-
| '''c'''
| c
| b
| a
| 1
|}

En ocasiones, puesto que ''c = a•b'', se escribe ''K = {1, a, b, ab}''. Con estos nombres, la tabla de la operación es
{| class="wikitable" border="1"
|-
! •
! 1
! a
! b
! ab
|-
| '''1'''
| 1
| a
| b
| ab
|-
| '''a'''
| a
| 1
| ab
| b
|-
| '''b'''
| b
| ab
| 1
| a
|-
| '''ab'''
| ab
| b
| a
| 1
|}

== Propiedades algebraicas ==
*El grupo de Klein es isomorfo al [[producto directo]] del grupo cíclico de orden 2 por sí mismo: ''K = Z2 x Z2''.
*El grupo de Klein es abeliano<ref>Vladimir Anashin, Andrei Khrennikov; ''Applied Algebraic Dynamics, Volume 49 of De Gruyter expositions in mathematics'', Walter de Gruyter, ([[2009]]), p. 211</ref>, es decir, la operación interna es conmutativa.
*El grupo de Klein no es [[Grupo cíclico|cíclico]], por lo que no existe un elemento generador y, por tanto, no es isomorfo al grupo ''Z2''.
*El orden de todos elementos es 2, excepto del elemento neutro 1 cuyo orden es 1. <ref>Peter J. Cameron; ''Introduction to Algebra'', ''Oxford mathematics'', OUP Oxford, ([[2008]]), p.120-123 </ref>
*El grupo de Klein tiene la representación ''< a, b | a2 = b2 = (ab)2 = 1 >'' <ref>Paul M. Cohn; ''Basic Algebra: Groups, Rings and Fields'', Springer Science & Business Media, ([[2004]]), p. 57</ref>
*El grupo de Klein sólo tiene tres [[Subgrupo|subgrupos]] propios, isomorfos al grupo cíclico de orden 2. Son lo generados por cada uno de los elementos distintos del neutro 1.

== Véase también ==
*[[Grupo (matemáticas)]]
*[[Grupo cíclico]]
*[[Subgrupo]]
*[[Grupo conmutativo]]

== Referencias ==

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[[Category:Matemáticas]][[Category:Álgebra]][[Category: Grupo (matemáticas)]]

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 *El grupo de Klein sólo tiene tres [[Subgrupo|subgrupos]] propios, isomorfos al grupo cíclico de orden 2. Son lo generados por cada uno de los elementos distintos del neutro 1.
 * El grupo de los giros del rombo es isomorfo al grupo de Klein<ref> Grupo de giros del rombo:Introducción a la teoría de grupos de Alexándrov </ref>
-* Hay un subgrupo alternante de orden 4, del grupo simétrico S<sub>3</sub> que es isomorfo con el grupo de Klein. <ref>El grupo simétrico S<sub>3</sub> es el conjunto de aplicaciones de un conjunto de {1,2,3} en sí mismo, con la composición º</ref>
+* Hay un subgrupo alternante de orden 4, del grupo simétrico S<sub>4</sub> que es isomorfo con el grupo de Klein. <ref>El grupo simétrico S<sub>3</sub> es el conjunto de aplicaciones de un conjunto de {1,2,3,4} en sí mismo, con la composición º</ref>
 == Véase también ==

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	En [[matemáticas]], el '''grupo de Klein''' o el '''Vierergruppe''' (en alemán, ''grupo de cuatro'') es el [[Grupo conmutativo\|grupo abeliano]] de cuatro elementos en el que cada elemento es el inverso de sí mismo. Recibe este nombre en honor al alemán [[Felix Christian Klein\|Félix Klein]].		En [[matemáticas]], el '''grupo de Klein''' o el '''Vierergruppe''' (en alemán, ''grupo de cuatro'') es el [[Grupo conmutativo\|grupo abeliano]] de cuatro elementos en el que cada elemento es el inverso de sí mismo. Recibe este nombre en honor al alemán [[Felix Christian Klein\|Félix Klein]].
		+
		+	Sea C<sub>2</sub> = {1,2} el grupo cíclico de orden dos; esto es: 2<sup>2</sup> = 1. Además sea H= C<sub>2</sub>xC<sub>2</sub>= {(1;1),(1;2), (2;1), (2;2) }. Enseguida puede realizarse el producto de pares ordenados en C<sub>2</sub>xC<sub>2</sub>. Por ejemplo (1;2))x(2;1)= (1x2; 2x1)=(2,2). Otros casos: (2;2)x(2;2) = (1,1) <ref>Tan igual que en el producto de restos módulo 3</ref>Se observa que el producto de cualquier elemento por sí mismo es la unidad =(1,1), asi que no hay generador en H. De modo que H no es isomorfo al grupo cíclico C<sub>4</sub>= {1,b,b<sup>2</sup>,b<sup>3</sup>} de orden 4. También se tiene que (1;1)<sup>2</sup>= (1;1), (1,2)<sup>2</sup>=(1,1),(2,1)<sup>2</sup>=(1,1)y (2;2)<sup>2</sup> = (1,1), el orden de cada elemento es 2, excepto de la identidad=(1,1), así como cada elemento es inverso de sí mismo.
		+	*Con la identificación 1=(1,2); a= (1,2); b=(2,1) y c=(2,2) se genera la tabla que aparece en la sección siguiente.
		+

	== Definición del grupo ==		== Definición del grupo ==

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 *[[Grupo conmutativo]]
-== Referencias ==
+== Referencias y notas==
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 [[Category:Matemáticas]][[Category:Álgebra]]

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 *El orden de todos elementos es 2, excepto del elemento neutro 1 cuyo orden es 1.  <ref>Peter J. Cameron; ''Introduction to Algebra'', ''Oxford mathematics'', OUP Oxford, ([[2008]]), p.120-123 </ref>
 *El grupo de Klein tiene la representación ''< a, b | a<sup>2</sup> = b<sup>2</sup> = (ab)<sup>2</sup> = 1 >'' <ref>Paul M. Cohn; ''Basic Algebra: Groups, Rings and Fields'',  Springer Science & Business Media, ([[2004]]), p. 57</ref>
 *El grupo de Klein sólo tiene tres [[Subgrupo|subgrupos]] propios, isomorfos al grupo cíclico de orden 2. Son lo generados por cada uno de los elementos distintos del neutro 1.
 == Véase también ==