Grupo de Lie - Historial de revisiones

Irma gt en 21:52 29 ago 2024

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Un '''grupo de Lie''' es una variedad analítica provista de estructura de grupo en la que la ley de composición φ(a,b) = ab es analítica.

Se dice que dos grupos de Lie G y G' son ''isomorfos'' si existe un difeomorfismo analítico φ: G ----> G' que mantiene la ley de composición, esto es φ(ab) = φ(a)φ(b). En el caso de que φ(ab) = φ(b)φ(a) entonces φ se denomina ''anti-isomorfismo''.

Todo grupo de Lie es un grupo topológico respecto a la topología inducida por su estructura analítica. Aún más, todo grupo de Lie es localmente compacto, lo que se deduce del hecho de que toda variedad es localmente euclídea. Recíprocamente, en todo grupo topológico localmente euclídeo existe una estructura analítica que lo convierte en grupo de Lie.

Sea G un grupo de Lie, sea (U,Ψ) un mapa en el entorno U del elemento unidad e y sean a i las coordenadas de un punto a de U ( i = 1,...,m). En este entorno la ley de composición se puede escribir usando dichas coordenadas: si c= ab, siendo a,b,c elementos de U, entonces c i = f i(a 1,...,a m, b 1,...,b m) son funciones analíticas de sus argumentos.
==Subgrupos==
Sea G un grupo de Lie. Un subconjunto H de G, se denomina ''subgrupo de Lie'', si H es a la vez subgrupo y subvariedad inmersa de modo inyectivo y analítico en G. El subconjunto H esta provisto de la topología inducida. Cualquier subgrupo cerrado de G es un grupo de Lie ( teorema de Cartan). De igual manera, se consideran subgrupos de Lie inmersos, cuya topología es diferente a la inducida.

Un subgrupo G contenido en GL(n.K) se denomina ''grupo algebraico'' si es una variedad algebraica en el espacio de matrices M(n, K) isomorfo a Kn2.

Todo grupo de Lie complejo G C de dimensión compleja m puede ser cosiderado como un grupo de Lie real G R de dimensión real 2m; mediante este procedimiento, las funciones analíticas compleja f i(a, b). que definen la ley de composición, se tranformn en funciones analíticas reales. <ref> B. N. Shapukov ''Grupos y álgebras de Lie en ejercicios y problemas'' Editorial URSS Moscú ( 2001)</ref>
==Referencias==
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[[Categoría: Álgebra]]
[[Categoría: Topología]]

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-Al considerar los grupos continuos, sólo se imponen restricciones de carácter extremadamente general, expresadas en lenguaje del álgebra abstracta y de la topología abstracta. El concepto de ''grupo de Lie'', inserto en definición, conlleva la condición de la diferenciabilidad de ciertas funciones, en suma,  de las funciones que determinan la multiplicación de los elementos del grupo. Por tal merced, en el estudio de los grupos de Lie puede emplearse, vastamente, el andamiaje del análisis, incluso la teoría de ecuaciones diferenciales. En base a esto, los grupos de Lie aceptan un trabajo muy profundo: el arsenal analítico facilita reducir todo este estudio a asuntos ciertamente algebraicos, aunque sumamente tenues. Estas cuestiones de carácter algebraico conforman, en realidad, problemas peculiares de la teoría de matrices. Sólo, después de esta reducción, empieza la auténtica teoría, fina y vigorosa , de los grupos de Lie <ref> L. S. Pontriaguin: ''Grupos''. Editorial Mir, Moscú (1978) . Traductor del ruso, Carlos Vega.</ref>.
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 ==Definición==
 Un '''grupo de Lie''' es una variedad analítica  provista de estructura de grupo en la que la ley de composición φ(a,b) = ab es analítica.
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 Sea G un grupo de Lie, sea (U,Ψ) un mapa en el entorno U del elemento unidad e y sean a<sup> i</sup> las coordenadas de un punto a de U ( i = 1,...,m). En este entorno la ley de composición se puede escribir usando dichas coordenadas: si c= ab, siendo a,b,c elementos de U, entonces c<sup> i</sup> =  f<sup> i</sup>(a<sup> 1</sup>,...,a<sup> m</sup>, b<sup> 1</sup>,...,b<sup> m</sup>) son funciones analíticas de sus argumentos.
 ==Subgrupos==
 Sea G un grupo de Lie. Un subconjunto H de G, se denomina ''subgrupo de Lie'', si H es a la vez subgrupo y subvariedad inmersa de modo inyectivo y analítico en G. El subconjunto H esta provisto de la topología inducida. Cualquier subgrupo cerrado de G es un grupo de Lie ( teorema de Cartan). De igual manera, se consideran  subgrupos de Lie inmersos, cuya topología es diferente a la inducida.
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 Todo grupo de Lie complejo G<sup> C</sup> de dimensión compleja  m puede ser cosiderado como un grupo de Lie real G<sup> R</sup> de dimensión real 2m; mediante este procedimiento, las funciones analíticas compleja f<sup> i</sup>(a, b). que definen la ley de composición, se tranformn en funciones analíticas reales. <ref> B. N. Shapukov ''Grupos y álgebras de Lie en ejercicios y problemas'' Editorial URSS  Moscú ( 2001)</ref>
 ==Referencias==
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 ==Fuente bibliográfica==
 #L.S. Pontriaguin: Grupos continuos.
 #B. N. Shapukov ''Grupos y álgebras de Lie en ejercicios y problemas''
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	Un '''grupo de Lie''' es una variedad analítica provista de estructura de grupo en la que la ley de composición φ(a,b) = ab es analítica.		Un '''grupo de Lie''' es una variedad analítica provista de estructura de grupo en la que la ley de composición φ(a,b) = ab es analítica.