Logaritmo complejo - Historial de revisiones

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'''Logaritmo complejo...»

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'''Logaritmo complejo'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis matemático]] es la versión del [[logaritmo]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].

El mismos tiene sus bases en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica ([[Ley de Euler]]), junto con las propiedades ya conocidas en los números reales de los logaritmos.

Es de vital importancia para la extensión de las operaciones de logaritmación de argumentos reales positivos y negativos y también en la formulación de otras funciones complejas las trigonométricas inversas complejas y otras.

==Definición==

A la relación funcional [[Archivo:Logaritmo_complejo_definicion_conjuntual.gif|middle]] tal que:

* Si ''log<sub>b</sub>a=c'' [[Archivo:Logaritmo_complejo_base_a_b_igual_c.gif|middle]] entonces ''b<sup>c</sup>=a'', donde ''a'',''b'' y ''c'' son todos complejos y ''b'' no es ''0'' ni ''a'' tampoco.

se le denomina '''logaritmo complejo de a en base b'''.

Cuando ''b=e'' entonces se le llama '''logaritmo neperiano complejo''' y se denota simplemente ''ln a''.

Para este último caso, tenemos que para todo complejo no nulo [[Archivo:Numero_complejo_notacion_exponencial.gif|middle]] ''ln(z)'' se calcula mediante la expresión:

* [[Archivo:Logaritmo_neperiano_complejo_definicion.gif|middle]] (*)

Dadas las propiedades de los logaritmos se puede aprovechar el resultado anterior para definir el algoritmo complejo general en función del neperiano:

* [[Archivo:Logaritmo_complejo_definicion_segun_ln_complejo.gif|middle]] (**)

==Importancia==

Los logaritmos complejos expanden los resultados de la función logaritmo real a resultados no previstos antes como lo puede ser los logaritmos negativos. También su definición sirve para declarar las funciones trigonométricas inversas complejas.

===Logaritmos de reales negativos===

Para determinar el logaritmo de un real negativo ''-x'' se comienza por expresar el producto como ''(-1)x'' y luego su representación compleja como ''x(-1+0i)=x(cos b +isen b)'', donde ''x>0''. Luego, el primer ángulo ''b'' que produce ''cos b =-1'' y ''sen b=0'' es ''180<sup>0</sup>'' o en radianes, [[Arhivo:Pi.gif|middle]].

Escribiendo todo en notación exponencial queda:

* [[Archivo:Menos_x_igual_x_exp_i_pi.gif|middle]]

Entonces el logaritmo de ''-x'' se calcula mediante la expresión (*) como:

* [[Archivo:Logaritmo_menos_x_definicion.gif|middle]]

==Veáse también==

* [[Números complejos]].

* [[Ley de Euler]].

* [[Función exponencial]].

* [[Función exponencial compleja]].

* [[Funciones trigonométricas complejas]].

==Fuentes==

* I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. [[Editorial Mir]], [[Moscú]]. [[1973]].

* [http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].

* [http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].

* [http://es.wikipedia.org/wiki/Función_exponencial]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].

* [http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].

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[[Categoría:Matemáticas]][[Categoría:Análisis matemático]]

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-'''Logaritmo complejo'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis matemático]] es la versión del [[logaritmo]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].
+'''Logaritmo complejo'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis Matemático]] es la versión del [[logaritmo]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].
 El mismo tiene sus bases en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica ([[Ley de Euler]]), junto con las propiedades ya conocidas en los números reales de los logaritmos.

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−	* Si ''log<sub>b</sub>a=c'' ~~[[Archivo:Logaritmo_complejo_base_a_b_igual_c.gif\|middle]]~~ entonces ''b<sup>c</sup>=a'', donde ''a'',''b'' y ''c'' son todos complejos y ''b'' no es ''0'' ni ''a'' tampoco.	+	* Si ''log<sub>b</sub>a=c'' entonces ''b<sup>c</sup>=a'', donde ''a'',''b'' y ''c'' son todos complejos y ''b'' no es ''0'' ni ''a'' tampoco.


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	* [http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].		* [http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].
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 ==Fuentes==
-* I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. [[Editorial Mir]], [[Moscú]]. [[1973]].
+* I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. [[Editorial MIR]], [[Moscú]]. [[1973]].
 * [http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].
 * [http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].

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 '''Logaritmo complejo'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis matemático]] es la versión del [[logaritmo]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].
 El mismo tiene sus bases en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica ([[Ley de Euler]]), junto con las propiedades ya conocidas en los números reales de los logaritmos.
 Resulta de vital importancia para la extensión de las operaciones de logaritmación de argumentos reales positivos y negativos y también en la formulación de otras funciones complejas las trigonométricas inversas complejas y otras.
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 ===Logaritmos de reales negativos===
 Para determinar el logaritmo de un real negativo ''-x'' se comienza por expresar el producto como ''(-1)x'' y luego su representación compleja como ''x(-1+0i)=x(cos b +isen b)'', donde ''x>0''.  Luego, el primer ángulo ''b'' que produce ''cos b =-1'' y ''sen b=0'' es ''180<sup>0</sup>'' o  en radianes, [[Archivo:Pi.gif|middle]].
 Escribiendo todo en notación exponencial queda:
 * [[Archivo:Menos_x_igual_x_exp_i_pi.gif|middle]]

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 '''Logaritmo complejo'''. En [[Matemáticas]] y más específicamente [[Análisis matemático]] es la versión del [[logaritmo]] sobre el [[conjunto]] de los [[números complejos]].
+El mismo tiene sus bases en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica ([[Ley de Euler]]), junto con las propiedades ya conocidas en los números reales de los logaritmos.
-El mismos tiene sus bases en la representación exponencial de los números complejos y su relación con la forma trigonométrica ([[Ley de Euler]]), junto con las propiedades ya conocidas en los números reales de los logaritmos.
+Resulta de vital importancia para la extensión de las operaciones de logaritmación de argumentos reales positivos y negativos y también en la formulación de otras funciones complejas las trigonométricas inversas complejas y otras.
 ==Definición==
 A la relación funcional [[Archivo:Logaritmo_complejo_definicion_conjuntual.gif|middle]] tal que:
 * Si ''log<sub>b</sub>a=c'' entonces ''b<sup>c</sup>=a'', donde ''a'',''b'' y ''c'' son todos complejos y ''b'' no es ''0'' ni ''a'' tampoco.
 se le denomina '''logaritmo complejo de a en base b'''.
 Cuando ''b=e'' entonces se le llama '''logaritmo neperiano complejo''' y se denota simplemente ''ln a''.
 Para este último caso, tenemos que para todo complejo no nulo [[Archivo:Numero_complejo_notacion_exponencial.gif|middle]] ''ln(z)'' se calcula mediante la expresión:
 * [[Archivo:Logaritmo_neperiano_complejo_definicion.gif|middle]] (*)
 Dadas las propiedades de los logaritmos se puede aprovechar el resultado anterior para definir el algoritmo complejo general en función del neperiano:
 * [[Archivo:Logaritmo_complejo_definicion_segun_ln_complejo.gif|middle]] (**)
 ==Importancia==
 Los logaritmos complejos expanden los resultados de la función logaritmo real a resultados no previstos antes como lo puede ser los logaritmos negativos. También su definición sirve para declarar las funciones trigonométricas inversas complejas.
 ===Logaritmos de reales negativos===
 Para determinar el logaritmo de un real negativo ''-x'' se comienza por expresar el producto como ''(-1)x'' y luego su representación compleja como ''x(-1+0i)=x(cos b +isen b)'', donde ''x>0''.  Luego, el primer ángulo ''b'' que produce ''cos b =-1'' y ''sen b=0'' es ''180<sup>0</sup>'' o  en radianes, [[Archivo:Pi.gif|middle]].
 Escribiendo todo en notación exponencial queda:
 * [[Archivo:Menos_x_igual_x_exp_i_pi.gif|middle]]
 Entonces el logaritmo de ''-x'' se calcula mediante la expresión (*) como:
 * [[Archivo:Logaritmo_menos_x_definicion.gif|middle]]
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 * [[Archivo:Definicion_arcsh_complejo_segun_logaritmo_complejo.gif|middle]]
 * [[Archivo:Definicion_arcch_complejo_segun_logaritmo_complejo.gif|middle]]
 ==Veáse también==
 * [[Números complejos]].
 * [[Ley de Euler]].
 * [[Función exponencial]].
 * [[Función exponencial compleja]].
 * [[Funciones trigonométricas complejas]].
 ==Fuentes==
 * I. Bronshtein, K. Semendiaev. Manual de matemáticas para ingenieros y estudiantes. 2da Edición. [[Editorial Mir]], [[Moscú]]. [[1973]].
 * [http://es.wikipedia.org/wiki/Fórmula_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].
 * [http://es.wikipedia.org/wiki/Identidad_de_Euler]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].
 * [http://es.wikipedia.org/wiki/Función_exponencial]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].
 * [http://es.wikipedia.org/wiki/Logaritmo]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado [[1 de diciembre]] de [[2014]].
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 [[Categoría:Matemáticas]][[Categoría:Análisis matemático]]