Relación binaria - Historial de revisiones

Mayte ciget.cfg: /* Ejemplos */

2020-10-02T20:14:15Z

‎Ejemplos

Carlos idict: Texto reemplazado: «
» por «»

2019-09-01T20:22:30Z

Texto reemplazado: «<div align="justify">» por «»

Yunesky jc.mtz: /* Veáse también */

2013-06-05T12:46:47Z

‎Veáse también

Iosneisy en 23:33 13 sep 2011

2011-09-13T23:33:05Z

Jhonlier12017 jc.hlg: /* Relaciones totales. */

2011-09-12T21:56:27Z

‎Relaciones totales.

Jhonlier12017 jc.hlg: /* Propiedades. */

2011-09-12T21:26:11Z

‎Propiedades.

Jhonlier12017 jc.hlg en 21:23 12 sep 2011

2011-09-12T21:23:49Z

Jhonlier12017 jc.hlg en 20:58 12 sep 2011

2011-09-12T20:58:01Z

Jhonlier12017 jc.hlg en 15:11 12 sep 2011

2011-09-12T15:11:28Z

Jhonlier12017 jc.hlg: /* Definición. */

2011-09-09T18:23:16Z

‎Definición.

@@ Línea 21: / Línea 21: @@
 # ''A={0,1,2,3}'', ''R<sub>A<sup>2</sup></sub>=A<sup>2</sup>={<0, 0>, <0, 1>, <0, 2>, <0, 3>, <1, 0>, <1, 1>, <1, 2>, <1, 3>, <2, 0>, <2, 1>, <2, 2>, <2, 3>, <3, 0>, <3, 1>, <3, 2>, <3, 3>}''.
 # ''A={0,1,2,3}'', ''R<sub>A<sup>2</sup></sub>=A<sup>2</sup>={<0, 0>, <1, 1>, <2, 2>, <3, 3>}''.
-# Sea ''C'' los siguientes cuerpos del [[Sistema Solar Interior]]: ''C={[[Sol]], [[Mercurio]], [[Venus]], [[Tierra]], [[Luna]], [[Marte]], [[Fobos]], [[Deimos]]}'', se define la relación ''' ''x'' gira alrededor de ''y'' ''' como ''G={<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>, <Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>, <Deimos, Marte>}''.
+# Sea ''C'' los siguientes cuerpos del [[Sistema Solar Interior]]: ''C={[[Sol]], [[Mercurio]], [[Venus]], [[Tierra]], [[Luna]], [[Marte]], [[Fobos]], [[Deimos (satélite)|Deimos]]}'', se define la relación ''' ''x'' gira alrededor de ''y'' ''' como ''G={<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>, <Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>, <Deimos, Marte>}''.
 ==Representación==

@@ Línea 4: / Línea 4: @@
 |tamaño=
 |concepto= Sean ''A'' y ''B'' conjuntos no vacíos, se llama '''relación binaria''' a cualquier subconjunto del producto cartesiano ''AxB''.
-}}<div align="justify">
+}}
 '''Relación binaria'''. Dícese en [[Matemática Discreta]] y [[Lógica]] de toda [[relación]] ''R'' que se establece entre los elementos de dos conjuntos no vacíos ''A'' y ''B'' y que se define mediante un [[conjunto]] de [[Par (Lógica)|pares]] ''<x,y>'', válidos para la propia relación con [[Archivo:x_en_A.gif|middle]] e [[Archivo:y_en_B.gif|middle]] y que indica.

@@ Línea 279: / Línea 279: @@
 Para los casos vistos en los ejemplos anteriores podemos identificar como funciones a los ejemplos 4 y 5. Los demás incumplen la definición de función.
 ==Fuentes==
 # [[Luciano García|García, Luciano]]. Lógica Matemática. Ediciones Revolucionarias. [[La Habana]], [[1988]]. Capítulo 2.

@@ Línea 4: / Línea 4: @@
 |tamaño=
 |concepto= Sean ''A'' y ''B'' conjuntos no vacíos, se llama '''relación binaria''' a cualquier subconjunto del producto cartesiano ''AxB''.
-}}
+}}<div align="justify">
 '''Relación binaria'''. Dícese en [[Matemática Discreta]] y [[Lógica]] de toda [[relación]] ''R'' que se establece entre los elementos de dos conjuntos no vacíos ''A'' y ''B'' y que se define mediante un [[conjunto]] de [[Par (Lógica)|pares]] ''<x,y>'', válidos para la propia relación con [[Archivo:x_en_A.gif|middle]] e [[Archivo:y_en_B.gif|middle]] y que indica.
-==Definición.==
+==Definición==
 Una relación binara ''R'' sobre ''A'' y ''B'', conjuntos no vacíos, indicada como ''R<sub>A,B</Sub>'', es un subconjunto de ''AxB''. Formalmente hablando sería [[Archivo:R_sub_A_B_subconjunto_A_x_B.gif|middle]]. Entonces, ''R<sub>A,B</sub>'' es un conjunto de pares ''<x,y>'' con [[Archivo:x_en_A.gif|middle]] e [[Archivo:y_en_B.gif|middle]].
@@ Línea 17: / Línea 16: @@
 Las siguientes notaciones son válidas ''xRy'', ''R(x,y)'', [[Archivo:X_y_en_R.gif|middle]], ''Rxy''([[notación polaca]]) y se leen '' '''x''' relacionado con '''y''' según '''R'''. ''
-==Ejemplos.==
+==Ejemplos==
 # ''A={0, 1, 2, 3}'', ''B={0, 1, 2, 3, 4, 5}'', ''R<sub>A,B</sub>={<0,1>, <0,2>, <0,3>, <0,4>, <0,5>, <1,2>, <1,3>, <1,4>, <1,5>, <2,3>, <2,4>, <2,5>, <3,4>, <3,5>}''.
 # ''A={0, 1, 2, 3}'', [[Archivo:B_igual_rho_A.gif|middle]], ''R<sub>A,B</sub>={<0,{}>, <1,{0}>, <1,{1}>, <1,{2}>, <1,{3}>, <2,{0,1}>, <2,{0,2}>, <2,{0,3}>, <3,{0,1,2}>, <3,{0,1,3}>,  <3,{0,2,3}>, <3,{1,2,3}>}''.
@@ Línea 24: / Línea 23: @@
 # Sea ''C'' los siguientes cuerpos del [[Sistema Solar Interior]]: ''C={[[Sol]], [[Mercurio]], [[Venus]], [[Tierra]], [[Luna]], [[Marte]], [[Fobos]], [[Deimos]]}'', se define la relación ''' ''x'' gira alrededor de ''y'' ''' como ''G={<Mercurio, Sol>, <Venus, Sol>, <Tierra, Sol>, <Luna, Tierra>, <Marte, Sol>, <Fobos, Marte>, <Deimos, Marte>}''.
-==Representación.==
+==Representación==
 Las relaciones binarias pueden representarse de manera explícita como vimos en los ejemplos anteriores o de forma implícita en tanto también son conjuntos. No obstante existen otras formas de representarlas que ayudan a visualizar de modo más fácil algunas propiedades que pueden caracterorarlas. Entre las más notables están la representación tabular y la del dígrafo asociado, por lo que en el último caso puede llegar a obtenerse un esquema gráfico de las relaciones.
-===Representación tabular.===
+===Representación tabular===
 La representación tabular o [[Matriz|matricial]] de las relaciones binarias es simple y sigue la siguiente estructura.
@@ Línea 38: / Línea 37: @@
 *Para cada celda de la fila ''i'', columna ''j'': si ''iRj'', se indica 1; de lo contrario, 0.
-===Dígrafo asociado.===
+===Dígrafo asociado===
 Sea ''R'' una relación binaria sobre ''A'' y ''B'', se entiende por '''dígrafo asociado a ''R'' ''', al [[dígrafo|grafo orientado]] ''G=<A U B, R>''; es decir, cuyos vértices serán los elementos de A y B y sus arcos, los pares pertenecientes a la relación en cuestión.
-===Ejemplos.===
+===Ejemplos===
 Para el ejemplo 1, su representación tabular es:
@@ Línea 200: / Línea 199: @@
 * [[Archivo:Digrafo_asociado_ejemplo5.png|middle]]
-==Propiedades.==
+==Propiedades==
 Las relaciones binarias se dividen en dos grandes grupos: las homogéneas y las heterogéneas, en dependencia de si los conjuntos ''A'' y ''B'' coinciden o no respectivamente; cada una con sus propiedades que permiten subclasificaciones.
@@ Línea 206: / Línea 205: @@
 Las relaciones binarias homogéneas hayan otras clasificaciones en tanto sus elementos satisfacen una serie de propiedades que veremos a continuación.
-====Relaciones reflexivas.====
+====Relaciones reflexivas====
 Sea ''R'' una relación sobre ''A'', se dice que es '''reflexiva''' si y solo si todo elemento de ''A'' está relacionado consigo mismo.
@@ Línea 213: / Línea 212: @@
 Desde el punto de vista de la representación tabular esto se traduce en que <u>toda</u> la diagonal principal estará puesta a 1, como en los ejemplos 3 y 4 y en cuanto al grafo orientado asociado a la relación reflexiva, éste tiene lazos en <u>todos</u> sus nodos.
-====Relaciones irreflexivas.====
+====Relaciones irreflexivas====
 Una relación binaria homogénea ''R'' sobre el conjunto ''A'' es '''irreflexiva''' ssi no hay ni un solo par de la forma ''<x,x>'' en ''R''.
@@ Línea 220: / Línea 219: @@
 Los ejemplos 1, 2 y 5 son casos de relaciones irreflexivas.
-====Relaciones simétricas.====
+====Relaciones simétricas====
 La relación ''R'' sobre ''A'' es ''simétrica'' cuando para todo par ''<x,y>'' de ''R'', su inverso ''<y,x>'' también pertenece a la relación.
@@ Línea 227: / Línea 226: @@
 Según lo antes visto son relaciones simétricas los casos de los ejemplos 3 y 4.
-====Relaciones antisimétricas.====
+====Relaciones antisimétricas====
 Toda relación binaria ''R'' sobre ''A'' es '''antisimétrica''' si se cumple que los pares ''<x,y>'' é ''<y,x>'' pertenecen a ''R'' si ''x=y''.
-====Relaciones transitivas.====
+====Relaciones transitivas====
 Sea ''R'' una relación sobre ''A<sup>2</sup>'', ésta se dice '''transitiva''' si y solo si a ''R'' pertenecen los pares ''<x,y>'' e ''<y,z>'', entonces ''<x,z>'' también.
@@ Línea 261: / Línea 260: @@
 * [[Archivo:Digrafo_asociado_ejemplo6.png|middle]]
-====Relaciones totales.====
+====Relaciones totales====
 Se dice que una relación binaria homogénea ''R'' sobre el conjunto ''A'' es '''total''' cuando entre cualquiera dos elementos distintos ''x,y'' de ''A'' ''xRy'' ó ''yRx''.
 Según la definición anterior solo el ejemplo 3 es total.
-====Otras clases de relaciones homogéneas.====
+====Otras clases de relaciones homogéneas====
 Existen otras clasificaciones de las relaciones homogéneas veamos por ejemplo:
@@ Línea 275: / Línea 274: @@
 * '''Relaciones de equivalencia''': Reflexivas, simétricas y transitivas.
-==Relaciones y funciones.==
+==Relaciones y funciones==
 Las funciones son relaciones con particularidades bien definidas. La principal de ellas, que de hecho es la que la distingue es que un mismo elemento del dominio no puede tener dos imágenes distintas, cosa que sí es permisible en las relaciones.
 Para los casos vistos en los ejemplos anteriores podemos identificar como funciones a los ejemplos 4 y 5. Los demás incumplen la definición de función.
-==Veáse también.==
+==Veáse también==
 * [[Relación matemática]].
 * [[Relación n aria]].
+</div>
-==Fuentes.==
+==Fuentes==
 # [[Luciano García|García, Luciano]]. Lógica Matemática. Ediciones Revolucionarias. [[La Habana]], [[1988]]. Capítulo 2.
-# [http://es.wikipedia.org/wiki/Relación_binaria Relación binaria en [[Wikipedia]]].
+# Artículo [http://es.wikipedia.org/wiki/Relación_binaria Relación binaria]. Disponible en "es.wikipedia.org". Consultado: 8 de septiembre del 2011.
 [[Categoría:Álgebra]]

@@ Línea 262: / Línea 262: @@
 ====Relaciones totales.====
-Se dice que una relación binaria homogénea es '''total''' cuando el grafo asociado es [[Grafo débilmente conexo|débilmente conexo]].
+Se dice que una relación binaria homogénea ''R'' sobre el conjunto ''A'' es '''total''' cuando entre cualquiera dos elementos distintos ''x,y'' de ''A'' ''xRy'' ó ''yRx''.
 Según la definición anterior solo el ejemplo 3 es total.

@@ Línea 265: / Línea 265: @@
 Según la definición anterior solo el ejemplo 3 es total.
 ====Otras clases de relaciones homogéneas.====
 Existen otras clasificaciones de las relaciones homogéneas veamos por ejemplo:
-* '''Relaciones de dependencia''': Reflexiva y simétrica.
+* '''Relaciones de dependencia''': Son reflexivas y simétricas.
 * '''Preorden''': Reflexiva y transitiva.
 * '''Orden parcial''': Es un preorden antisimétrico.
 * '''Orden total''': Es una relación orden parcial y a su vez es una relación total.
 ==Relaciones y funciones.==

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	* [[Archivo:Digrafo_asociado_ejemplo5.png\|middle]]		* [[Archivo:Digrafo_asociado_ejemplo5.png\|middle]]
		+
		+	==Propiedades.==
		+	Las relaciones binarias se dividen en dos grandes grupos: las homogéneas y las heterogéneas, en dependencia de si los conjuntos ''A'' y ''B'' coinciden o no respectivamente; cada una con sus propiedades que permiten subclasificaciones.
		+
		+	===Propiedades fundamentales de las relaciones binarias homogéneas.===
		+	Las relaciones binarias homogéneas hayan otras clasificaciones en tanto sus elementos satisfacen una serie de propiedades que veremos a continuación.
		+
		+	====Relaciones reflexivas.====
		+	Sea ''R'' una relación sobre ''A'', se dice que es '''reflexiva''' si y solo si todo elemento de ''A'' está relacionado consigo mismo.
		+
		+	El caso más singular es el de las '''relaciones puramente reflexivas''', también conocidas como ''identidades'' cuya formulación es '' '''I<sub>A<sup>2</sup></sub>'''={<'''x''','''x'''>\| para toda '''x''' en '''A'''}''.
		+
		+	Desde el punto de vista de la representación tabular esto se traduce en que <u>toda</u> la diagonal principal estará puesta a 1, como en los ejemplos 3 y 4 y en cuanto al grafo orientado asociado a la relación reflexiva, éste tiene lazos en <u>todos</u> sus nodos.
		+
		+	====Relaciones irreflexivas.====
		+	Una relación binaria homogénea ''R'' sobre el conjunto ''A'' es '''irreflexiva''' ssi no hay ni un solo par de la forma ''<x,x>'' en ''R''.
		+
		+	Las matrices de las relaciones binarias irreflexivas tienen toda la diagonal principal puesta a 0, mientras que sus dígrafos nunca tienen lazos.
		+
		+	Los ejemplos 1, 2 y 5 son casos de relaciones irreflexivas.
		+
		+	====Relaciones simétricas.====
		+	La relación ''R'' sobre ''A'' es ''simétrica'' cuando para todo par ''<x,y>'' de ''R'', su inverso ''<y,x>'' también pertenece a la relación.
		+
		+	Las relaciones simétricas tienen matrices simétricas respecto a la diagonal principal y sus dígrafos son fáciles de reconocer porque entre cualquier par de nodos diferentes hay o 2 o níngún arco. Pueden tener lazos.
		+
		+	Según lo antes visto son relaciones simétricas los casos de los ejemplos 3 y 4.
		+
		+	====Relaciones antisimétricas.====
		+	Toda relación binaria ''R'' sobre ''A'' es '''antisimétrica''' si se cumple que los pares ''<x,y>'' é ''<y,x>'' pertenecen a ''R'' si ''x=y''.
		+
		+	====Relaciones transitivas.====
		+	Sea ''R'' una relación sobre ''A<sup>2</sup>'', ésta se dice '''transitiva''' si y solo si a ''R'' pertenecen los pares ''<x,y>'' e ''<y,z>'', entonces ''<x,z>'' también.
		+
		+	Los ejemplos 3 y 4 son relaciones transitivas.
		+
		+	También lo es la versión "homogeneizada" de la relación del ejemplo 1.
		+
		+	* '''Ejemplo 6''': Sea ''A={0,1,2,3}'' y la relación binaria homogéneas ''R={<0,1>, <0,2>, <0,3>, <1,2>, <1,3>, <2,3>}''
		+
		+	Su representaciones tabular sería:
		+
		+	{\| class="wikitable"
		+	! R
		+	! 0
		+	! 1
		+	! 2
		+	! 3
		+	\|-
		+	\|0\|\|0\|\|1\|\|1\|\|1
		+	\|-
		+	\|1\|\|0\|\|0\|\|1\|\|1
		+	\|-
		+	\|2\|\|0\|\|0\|\|0\|\|1
		+	\|-
		+	\|3\|\|0\|\|0\|\|0\|\|0
		+	\|}
		+
		+	Mientras que el grafo asociado:
		+
		+	* [[Archivo:Digrafo_asociado_ejemplo6.png\|middle]]
		+
		+	====Relaciones totales.====
		+	Se dice que una relación binaria homogénea es '''total''' cuando el grafo asociado es conexo.
		+
		+	Según la definición anterior solo el ejemplo 3 es total.
		+
		+	====Relaciones de equivalencia.====
		+	Un relación binaria homogénea se dice que es de '''equivalencia''' ssi es reflexiva, simétrica y transitiva
		+
		+	====Otras clases de relaciones homogéneas.====
		+	Existen otras clasificaciones de las relaciones homogéneas veamos por ejemplo:
		+
		+	* '''Relaciones de dependencia''': Reflexiva y simétrica.
		+	* '''Preorden''': Reflexiva y transitiva.
		+	* '''Orden parcial''': Es un preorden antisimétrico.
		+	* '''Orden total''': Es una relación orden parcial y a su vez es una relación total.
		+
		+	==Relaciones y funciones.==
		+	Las funciones son relaciones con particularidades bien definidas. La principal de ellas, que de hecho es la que la distingue es que un mismo elemento del dominio no puede tener dos imágenes distintas, cosa que sí es permisible en las relaciones.
		+
		+	Para los casos vistos en los ejemplos anteriores podemos identificar como funciones a los ejemplos 4 y 5. Los demás incumplen la definición de función.
		+
		+	==Veáse también.==
		+	* [[Relación matemática]].
		+	* [[Relación n aria]].

	==Fuentes.==		==Fuentes.==

@@ Línea 9: / Línea 9: @@
 ==Definición.==
 Una relación binara ''R'' sobre ''A'' y ''B'', conjuntos no vacíos, indicada como ''R<sub>A,B</Sub>'', es un subconjunto de ''AxB''. Formalmente hablando sería [[Archivo:R_sub_A_B_subconjunto_A_x_B.gif|middle]]. Entonces, ''R<sub>A,B</sub>'' es un conjunto de pares ''<x,y>'' con [[Archivo:x_en_A.gif|middle]] e [[Archivo:y_en_B.gif|middle]].
-Evidentemente, también puede darse el caso ''A=B'', donde la relación toma la forma [[Archivo:R_sub_A_2_subconjunto_A_2_igual_A_x_A.gif|middle]].
+A los conjuntos ''A'' y ''B'' se les conoce como '''conjunto de partida''' y '''conjunto de llegada'''. Al conjunto de elementos de ''A'' que aparecen en la relación se llama '''dominio''' y se representa ''' ''Dom(R)'' '''. Al conjunto de elementos de ''B'' que aparecen en la relación se llama '''imagen''' y se representa ''' ''Im(R)'' '''.
 Las siguientes notaciones son válidas ''xRy'', ''R(x,y)'', [[Archivo:X_y_en_R.gif|middle]], ''Rxy''([[notación polaca]]) y se leen '' '''x''' relacionado con '''y''' según '''R'''. ''
@@ Línea 36: / Línea 38: @@
 *Para cada celda de la fila ''i'', columna ''j'': si ''iRj'', se indica 1; de lo contrario, 0.
-====Ejemplos.====
+===Dígrafo asociado.===
 Para el ejemplo 1, su representación tabular es:
@@ Línea 56: / Línea 61: @@
 |3||0||0||0||0||1||1
 |}
 Ejemplo 2:
@@ Línea 86: / Línea 101: @@
 |3||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0||1||1||1||1||0
 |}
 Ejemplo 3:
@@ Línea 104: / Línea 127: @@
 |3||1||1||1||1
 |}
 Ejemplo 4:
@@ Línea 122: / Línea 153: @@
 |3||0||0||0||1
 |}
 Ejemplo 5:
@@ Línea 153: / Línea 192: @@
 |}
-===Dígrafo asociado.===
+Cuyo dígrafo asociado se enuncia:
-Sea ''R'' una relación binaria sobre ''A'' y ''B'', se entiende por '''dígrafo asociado a ''R'' ''', al [[dígrafo|grafo orientado]] ''G=<A U B, R>''; es decir, cuyos vértices serán los elementos de A y B y sus arcos, los pares pertenecientes a la relación en cuestión.
 ==Fuentes.==
 # [[Luciano García|García, Luciano]]. Lógica Matemática. Ediciones Revolucionarias. [[La Habana]], [[1988]]. Capítulo 2.
 </div>
 [[Categoría:Álgebra]]