Aplicación de la derivada al análisis de funciones

Aplicación de la derivada al análisis de funciones

Aplicación de la derivada al análisis de funciones. Con el concepto de derivada se pueden estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones, el estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas.

Crecimiento y decrecimiento de las funciones en un intervalo

• Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘_(x) >0, entonces la función f es estrictamente creciente en el intervalo dado.
• Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) < 0, entonces la función f es estrictamente decreciente en el intervalo dado.
  

Ejemplo

Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función : y=¹/₃ x³ + x² + 1

Resolución

Como y‘=x²+2x=x(x+2)

Se analiza el signo de la expresión x(x+2)

y‘ es positiva si x<-2 o si x>0

y‘ es negativa si -2<x<0

Por lo tanto la función es estrictamente creciente en los intervalos (-;-2) y (0;-) y decreciente en el intervalo (-2;0)

Extremos locales de una función

Un punto x₀ es un extremo local (máximo o mínimo) de una función f, si el valor f(x₀) es mayor (máximo) o menor (mínimo) que todos los valores que toma la función en un intervalo del tipo (x₀-µ;x₀+µ).

Teorema

Para que una función derivable en x₀ tenga un extremo local en x₀ es neceario que se cumpla f ‘(x₀)=0.

Como el crecimiento está determinado por el signo de la derivada tenemos:

x₀ es un punto de

• Máximo local si f ‘(x) pasa de positiva a negativa.
  
• Mínimo local si f ‘(x) pasa de negativa a positiva.
  

Ejemplo

Halla los exremos locales de la función : y=¹/₃ x³ + x² + 1

Resolución

Como y‘=x²+2x=x(x+2)=0

Los ceros de y‘ son x=0 y x=-2. Al analizar el signo de y‘ encontramos

y‘ > 0

y‘< 0

Véase también

• Sucesiones
• Matemáticas aplicadas
  
• Matemáticas
• Matemática Discreta