Diferencia entre revisiones de «Aplicación de la derivada al análisis de funciones»
(→Extremos locales de una función) |
|||
| Línea 39: | Línea 39: | ||
Ejemplo<br> | Ejemplo<br> | ||
| − | Halla los exremos locales de la función : y= | + | Halla los exremos locales de la función : y=x<sup>3</sup> -12x-4<br> |
Resolución<br> | Resolución<br> | ||
| − | Como y‘= | + | Como y‘=3x<sup>2</sup>-12=3(x<sup>2</sup>-4)=0<br> |
| − | Los ceros de y‘ son x= | + | Los ceros de y‘ son x=2 y x=-2. Al analizar el signo de y‘ encontramos |
| − | [[Image: | + | [[Image:Signos1.jpg]]<br> |
| − | y‘ > 0 en | + | y‘ > 0 en (-[[Image:Infinito.jpg]];-2) y (2;+[[Image:Infinito.jpg]]) |
| − | y‘< 0 | + | y‘< 0 en (-2; 2), luego en x=-2 y‘ pasa de valores positivos a negativos, se trata de un máximo que es y<sub>max</sub>=f(-2)=12.<br> En x=2 y‘ pasa de valores negativos a positivos, se trata de un máximo que es y<sub>min</sub>=f(2)=-20.<br> |
| + | |||
| + | '''Teorema de la segunda derivada'''<br> | ||
| + | |||
| + | Sea f una función dos veces derivable en x<sub>0</sub>. | ||
| + | |||
| + | Si f ‘(x<sub>0</sub>)=0 y f ‘‘(x<sub>0</sub>) 0 entonces f tiene un extremo local en x<sub>0</sub> | ||
| + | |||
| + | <sub></sub>Si f “(x<sub>0</sub>) >0 el extremo es un mínimo local. | ||
| + | |||
| + | Si f “(x<sub>0</sub>) <0 el extremo es un máximo local. | ||
== Otras aplicaciones de la derivada == | == Otras aplicaciones de la derivada == | ||
Revisión del 12:47 7 abr 2011
| ||
Aplicación de la derivada al análisis de funciones. Con el concepto de derivada se pueden estudiar algunas propiedades de carácter local de las funciones, el estudio de estas características nos facilitará la representación gráfica de las mismas.
Sumario
Crecimiento y decrecimiento de las funciones en un intervalo
- Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) >0, entonces la función f es estrictamente creciente en el intervalo dado.
- Si f es una función derivable en el intervalo (a;b) y para cada x con a<x<b se cumple f ‘(x) < 0, entonces la función f es estrictamente decreciente en el intervalo dado.
Ejemplo Determina los intervalos de crecimiento y decrecimiento de la función : y=¹/3 x3 + x2 + 1
Resolución
Como y‘=x2+2x=x(x+2)
Se analiza el signo de la expresión x(x+2)
y‘ es positiva si x<-2 o si x>0
y‘ es negativa si -2<x<0
Por lo tanto la función es estrictamente creciente en los intervalos (-
;-2) y (0;-) y decreciente en el intervalo (-2;0)
Extremos locales de una función
Un punto x0 es un extremo local (máximo o mínimo) de una función f, si el valor f(x0) es mayor (máximo) o menor (mínimo) que todos los valores que toma la función en un intervalo del tipo (x0-µ;x0+µ).
Teorema
Para que una función derivable en x0 tenga un extremo local en x0 es neceario que se cumpla f ‘(x0)=0.
Como el crecimiento está determinado por el signo de la derivada tenemos:
x0 es un punto de
- Máximo local si f ‘(x) pasa de positiva a negativa.
- Mínimo local si f ‘(x) pasa de negativa a positiva.
Ejemplo
Halla los exremos locales de la función : y=x3 -12x-4
Resolución
Como y‘=3x2-12=3(x2-4)=0
Los ceros de y‘ son x=2 y x=-2. Al analizar el signo de y‘ encontramos
y‘ > 0 en (-;-2) y (2;+)
y‘< 0 en (-2; 2), luego en x=-2 y‘ pasa de valores positivos a negativos, se trata de un máximo que es ymax=f(-2)=12.
En x=2 y‘ pasa de valores negativos a positivos, se trata de un máximo que es ymin=f(2)=-20.
Teorema de la segunda derivada
Sea f una función dos veces derivable en x0.
Si f ‘(x0)=0 y f ‘‘(x0) 0 entonces f tiene un extremo local en x0
Si f “(x0) >0 el extremo es un mínimo local.
Si f “(x0) <0 el extremo es un máximo local.
Otras aplicaciones de la derivada
Cálculo aproximado de los valores de una función
Problemas sobre valores extremos
Fuente
Véase también
