Aligación
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Aligación o mezcla. Propuesta de diferentes vías o métodos para resolver problemas de aligación o mezclas.
Sumario
Aligación o mezcla
La regla de aligación tiene como objetivos resolver los problemas de mezclas.
Problema directo o problema inverso
En la mezcla de varias sustancias se pueden presentar dos problemas:
• El directo
• El inverso
El problema directo consiste, conociendo la cantidad de las sustancias que se mezclan (ingredientes) y sus precios respectivos, en hallar el precio a que resulta cada unidad de mezcla, que es lo que se llama precio medio o término medio.
El problema inverso consiste, conociendo el precio medio y los precios de los ingredientes, en hallar qué cantidad debe entrar en la mezcla de cada ingrediente.
Deducción de la fórmula
Sea una mezcla en la que entran a kgs. de precio $p (cada kg), b kgs. de precio $p´ y c kgs. de precio $ p´´ .
Tendremos:
- a kgs. de precio $p cuestan $ ap
- b kgs. de precio $p´ cuestan $ bp´
- c kgs. de precio $ p´´ cuestan $ cp´´
Entonces el importe total de la mezcla es $( ap + bp´ + cp´´) y el número de kgs. de la mezcla es a + b + c, luego el precio medio m a que hay que vender cada kg. de la mezcla para no ganar ni perder es:
Aligación directa
Luego a este cociente se le llama precio medio.
Problemas de aligación directa:
Los problemas de Aligación directa son simplemente problemas de promedios
Ejemplos:
1. ¿A cómo sale el litro de una mezcla de 10 litros de vino de $ 0.84 con 8 litros de $ 0.90 y con 12 litros de $ 1.20?
10 ls. de vino de $ 0.84 cuestan 10 x $ 0.84 = $ 8.40
8 ls. de vino de $ 0.90 cuestan 8 x $ 0.90 = $ 7.20
12 ls. de vino de $ 1.20 cuestan 12x $ 1.20 = $ 14.40
_____ _______
30 ls. $ 30.00
(cantidad total) (precio total)
El litro de la mezcla sale a $ 30: 30= $ 1. R.
Vendiendo cada litro de mezcla a $ 1, no se gana ni se pierde, pues simplemente se recupera el costo
2. En un tonel de 100 litros de capacidad se echan 40 ls. de vino de $ 0.60, 50 ls. de $ 0.80 y se acaba de llenar con agua. ¿A cómo sale el litro de la mezcla y a cómo hay que venderlo para ganar el 25 % del costo?
40 ls. de $0.60 cuestan 40 x $ 0.60 = $ 24
50 ls. de $0.80 cuestan 50 x $ 0.80 = $ 40
10 ls. de agua no cuesta nada
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100 ls. $ 64
(cantidad total) (precio total)
El litro de la mezcla sale a $ 64:100 ls.= $ 0.64
Vendiendo cada litro de la mezcla a $ 0.64 no se gana ni se pierde;
$ 0.64 es simplemente el costo de cada litro de la mezcla. Si queremos ganar el 25% del costo, solo hay que hallar el 25% de $ 0.64 y sumárselo.
El 25% de $ 0.64 es $ 0.64: 4 = 0.16; luego para ganar el 25% del costo habrá que vender el litro de la mezcla a $ 0.64 + $ 0.16 = $ 0.80. R.
Deducción de la fórmula de Aligación Inversa.
La diferencia entre los precios extremos y el precio medio son inversamente proporcionales a las cantidades que se mezclan.
Sea p el precio mayor, m el precio medio y p´ el precio menor.
Sea X la cantidad de precio p e y y la cantidad de precio p´ que deben mezclarse para obtener una mezcla de precio medio m.
p. medio p. ingrediente cantidad integral
m p p > m
p´ m> p´
Si una unidad de ingrediente de precio p, que es mayor que el precio medio m, se pierde p – m y en X unidades se perderá (p - m)x .
Si una unidad de ingrediente de precio p´, que es menor que el precio medio m , e vende a m, se gana m – p´ y en y unidades se ganará (m – p´)y
Luego tenemos:
(p - m)x es la pérdida total que se obtiene vendiendo las x unidades de precio p a m, que es menor.
(m – p´)y es la ganancia total que se obtiene vendiendo las y unidades de precio p´ a m, que es mayor.
Ahora como las ganancia tiene que ser igual a la pérdida, tendremos:
(p - m)x = (m - p)y y por teorema se cumple que si el producto de dos cantidades es igual al producto de otras dos, con las cuatro se puede formar una proporción:
que es la fórmula de la Aligación inversa.
Los problemas de Aligación Inversa pueden ser resueltos teniendo en cuenta cuatro casos:
- 1er caso: Dado el precio medio y los precios de los ingredientes, hallar el precio de los ingredientes
Ejemplo: Para obtener vino de $0.80 el litro, ¿Qué cantidades serán necesarias de vino de
$ 0.90 y de $0.50?
La operación se dispone así:
T. medio P. de ingrediente Comparación Cantidad de ingrediente
80 90 80 – 50 = 30 de 90 cts
50 90 - 80 = 10 de 50 cts
___
40
La operación se hace restando del precio medio el precio menor, y esa diferencia será la cantidad del ingrediente de precio mayor ; y restando del precio mayor el precio medio, y esa diferencia será la cantidad del ingrediente de precio menor.
R: 30 ls. de vino de $ 0.90 y 10 ls. de vino de $ 0.50 para preparar 30 + 10 = 40 ls. de vino que se venderá a $ 0.80 sin ganar ni perder
- 2do caso: Dado el término medio, los precios de los ingredientes y la cantidad total de la mezcla, hallar las cantidades de los ingredientes.
Ejemplo:
¿Qué cantidad de vino de $ 1.20 y de $ 0.50 el litro y de agua serán necesarias para preparar 380 litros de vino que se venderá a $ 0.80 el litro sin ganar ni perder?
T. medio P. de ingrediente Comparación Cantidad de ingrediente
80 120 …….. 80 – 50 = 30
80 – 0 = 80 =110 de $ 1.20
50 …… 120 - 80…………. = 40 de $ 0.50
0 ………… 120 - 80…………. = 40 de agua
___
190
Estas cantidades que hemos obtenido, 110, 40 y 40, no son las cantidades buscadas por que su suma no nos da 380 litros que se requieren obtener. Ahora hay que repartir las cantidades total de la mezcla, 380 litros, en partes proporcionales a los resultados obtenidos 110, 40 y 40:
X= 
litros de $ 1.20
Y =
litros de $0.50
Z = litros de agua. R.
- 3er caso: Dado el término medio, los precios de los ingredientes, los precios de los ingredientes y la cantidad de uno de los ingredientes, hallar la cantidad de los otros.
Ejemplo:
¿Qué cantidad de café de 80 cts. libra, de 60 cts. libra y de 25 cts. libras será necesario añadir a 6 libras de café de 35 cts. para que la libra de la mezcla se pueda vender a 50 cts. libra sin ganar ni perder?
T. medio P. de ingrediente Comparación Cantidad de ingrediente
80……………..50 – 25……………..= 25 de 80
50 60 ……………50 - 35…………….. = 15 de 60
25…………….80 - 50……………. = 30 de 25
6 libras de 35…………….60 - 50……………. = 10 de 35
Estos resultados que hemos obtenido: 25, 15, 30 y 10 no son los que buscamos.
Para hallar la cantidad que se debe tomar de cada ingrediente, se establecen proporciones del modo siguiente:
Para saber qué cantidad debo tomar de café de 80 cts. diré:
Cuando pongo 10 lbs. de 35 cts. pongo 25 lbs de 80 cts.
Cuando pongo 6 lbs. de 35 cts. pondré x lbs. de 80 cts. luego:
de donde x =
libras de 80 cts.
Para saber la cantidad de café de 60 cts. diré:
Cuando pongo 10 lbs. de 35 cts. pongo 15 lbs. de 60 cts.
Cuando ponga 8 lbs. de 35 cts. pondré x lbs. de 60 cts. luego:
de donde x= libras de 60 cts.
Para saber la cantidad de café de 25 cts. diré:
Cuando pongo 10 lbs. de 35 cts. pongo 30 lbs. de 25 cts.
Cuando ponga 6 lbs. de 35 cts. pondré x lbs. de 25 cts. luego:
de donde x=
= 18 libras de 25 cts.
Luego a las 6 libras de 35 cts. habrá que añadirle 15 libras de 80 cts. 9 libras de 60 cts. y 18 libras de 25 cts.
- 4to caso: Dado el precio medio, los precios de los ingredientes, la cantidad total de la mezcla y la cantidad de uno o varios de los ingredientes, hallar las cantidades de los restantes ingredientes.
Ejemplo:
Un tabernero tiene 50 litros de vino de 90 cts. y quiere saber qué cantidad de vino de 80, 50 y 40 cts. el litro deberá añadirle para formar una mezcla de 185 litros que la pueda vender a 60 cts. el litro sin ganar ni perder.
Este caso es mixto comprende el 2do y 3ro.
En la mezcla tiene que entrar 50 ls. de 90 cts. ( precio mayor que el medio). Tomamos este dato y un ingrediente de precio menor que el medio, por ejemplo, 40 cts. y hallamos qué cantidad de vino de 40 cts. hay que añadir a los 50 ls. de 90 cts. para que la mezcla salgas al precio medio buscado de 60 cts. (3er caso).
T. medio P. de ingrediente Comparación Cantidad de ingrediente
50 ls. de 90 60 – 40 = 20 de 90
60
40 90 - 60 = 30 de 40
Ahora decimos:
Cuando entramos 20 ls. de 90 cts. entran 30 ls. de 40 cts.
Cuando entren 50 ls. de 90 cts. entrarán x ls. de 40 cts.
de donde x= 
litros de 40 cts.
Entonces con 50ls. de 90 cts. y 75 ls. de 40 cts. puedo formar una mezcla de 50 + 75 = 125 ls. que se vendan a 60 cts. ( el precio medio buscado) sin ganar ni perder.
Como se quiere obtener 185 ls. de 60 cts. y ya yo tengo 125 ls. de ese precio me falta obtener 185 – 125 = 60 ls. de 60 cts. que tengo que obtenerlos mezclando los dos ingredientes que faltan, es decir, mezclando vino de 80 cts. y de 60 cts.
Ahora hallamos qué cantidad de vino 80 y 50 cts. el litro hacen falta para obtener 60 ls. de 60 cts. ( 2do. caso)
T. medio P. de ingrediente Comparación Cantidad de ingrediente
80 60 – 50 = 10 de 80 cts.
60
50 80 - 60 = 20 de 50 cts.
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30
Pero como hace falla obtener 60 ls. de 60 cts. tengo que repartir 60 ls. en partes proporcionales a 10 y 20:
X=
litros de 80 cts. Y=
litros de 50 cts.
Luego:
A los 50 ls. de vino de 90 cts. hay que añadirles 75 ls. de 40 cts. 20 ls. de 80 cts. y 40 ls. de 50 cts. para tener una mezcla de de 50 + 75 + 20 + 40 = 185 ls. que se vendan a 60 cts. sin ganar ni perder.
