Axiomática de Kolmogórov

Axiomática de Kolmogórov Concepto: En cálculo de probabilidades, se refiere a que la teoría de probabilidades se puede construir sobre la base de un sistema axiomático.

La axiomática de Kolmogórov, en matemática y especialmente en cálculo de probabilidades, se refiere a que la teoría de probabilidades se puede construir sobre la base de un sistema axiomático, así como la aritmética de números naturales (axiomas de Peano), la geometría elemental ( Euclides- Hilbert), etc.

Definiciones previas

• Consideramos un cierto conjunto no vacío W de elementos, que los llamamos sucesos elementales o puntos, denotados con w subindizado o no. El conjunto W se nombra espacio de sucesos elementales.
• Sea A_s una colección no vacía de subconjuntos de W, que cumple los siguientes requisitos.

1. Si A está en A_s, entonces W\A está en A_s:

2. Si A₁, A₂, ... es una sucesión finita o infinita de subconjuntos pertenecientes a A_s, entonces la unión de todos ellos está en A_s.

La colección A_s se llama sigma-álgebra de sucesos o campo boreliano de sucesos y sus elementos ( subconjuntos de W) se llaman sucesos.

Observamos que W está en A_s, también el conjunto vacío- llamado suceso imposible también pertenece a A_s. Si A₁, A₂, ... es una sucesión finita o infinita de subconjuntos pertenecientes a A_s, entonces la intersección de todos estos sucesos pertenece a A_s.

Axiomas

Para esto consideramos un espacio de sucesos elementales W, y una cierta sigm-álgebra de sucesos A_s. Con las letras A, B, C ( con subíncices o sin ellos) en los sigue denotamos a los sucesos, esto es a los elementos del sigm-álgebra de sucesos A_s. Las tres siguientes proposiciones constituyen el sistema de axiomas de la teoría de probabilidades.

Axioma I.

A cada suceso A le corresponde un número no negativo P(A) llamado probabilidad del suceso A.

Axioma II.

P(W) = 1. L a probabilidad del espacio de sucesos elementales W es 1.

Axioma III.

Si A₁, A₂, ... es un conjunto finito o numerable de sucesos incompatibles dos a dos, entonces:

la probabilidad de la unión de todos ellos es igual a la sumatoria de las probabilidades de todos los sucesos.

Consideraciones

• Este sistema de axiomas fue propuesto por A. N. Kolmogórov en 1933 y es el empleado en la actualidad.
• En el área del análisis real una probabilidad P es una función de conjunto numerablemente aditiva y anegativa, esto es, una medida positiva, que cumple además la exigencia de P(W) = 1.
• La terna (W, A_s, P) donde P es la probabilidad definida para cada elemento de la sigma-álgebra A_s- o bien para cada suceso- y que cumple el sistema de axiomas presentado, se llama espacio de probabilidades.
• En análisis real, un espacio de probabilidades es un espacio medible (W, A_s) con una medida anegativa P, que satisface P(W) = 1.

Fuente

• V. Petrov- E. Mordecki: Teoría de probabilidades