Diferencia entre revisiones de «Axiomas de separación»
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Salvo para T<sub>0</sub>, T<sub>1</sub> y T<sub>2</sub>, los nombres de los axiomas de separación no están debidamente estandarizados. | Salvo para T<sub>0</sub>, T<sub>1</sub> y T<sub>2</sub>, los nombres de los axiomas de separación no están debidamente estandarizados. | ||
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última versión al 09:48 20 nov 2019
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Axiomas de separación, son propiedades que puede satisfacer un espacio topológico en función del grado en que distintos puntos o conjuntos cerrados pueden ser separados por medio de los conjuntos abiertos de una determinda topología.
Sumario
Niveles crecientes
Existen varios niveles crecientes de separación que se pueden pedir a un espacio topológico. Suelen denominarse con la letra T (de Trennung, separación en alemán) y un subíndice conveniente. Así aparece una jerarquía de espacios, entre los que cabe destacar a los espacios T2 o espacio de Hausdorff, los T3 o espacios regulares y los T4 o espacios normales.
Salvo para T0, T1 y T2, los nombres de los axiomas de separación no están debidamente estandarizados.
Topología
La topología, en su generalidad, admite estructuras topológicas poco útiles: pensemos en un conjunto X con más de un elemento, dotado con la topología trivial (i.e. sus únicos abiertos son Ø y todo X). Esta topología no contiene abiertos que nos permitan distinguir topológicamente dos puntos diferentes: ambos puntos comparten el único entorno posible. Mirando los entornos abiertos de cada punto nos resulta imposible distinguirlos. Decimos que, a efectos topológicos, X no es diferente de un conjunto de un solo punto dotado de la topología trivial.
Los axiomas de separación son requisitos sobre la topología de un espacio que garantizan la existencia de un número suficiente de conjuntos abiertos como para distinguir topológicamente puntos distintos. Los diferentes grados en que se concreta, esta exigencia se plasma en los diversos axiomas de separación.
Algunos axiomas de separación
Espacios T0 o de Kolmogórov
Un espacio topológico X se llama [[espacio T0 si y solo si para cualquier par de puntos s,t de X existe un abierto que contiene uno de los puntos y no contiene el otro punto.
Una equivalencia a esta propiedad es la siguiente: si s y t son elementos del espacio X tales que la clausura de {x\} y la clausura de {y\} sean iguales entonces x = y
Espacios T1 o espacio de Fréchet
Un espacio topológico X se dice T1 si y solo si para cualquier par de puntos s, t de X hay un par de conjuntos abiertos A y B , tal que s esté en A, pero no en B , y además t esté en B , pero no en A.
Una equivalencia importante es que X es T1 si y solo si los subconjuntos de X formados por un único punto son cerrados.
Espacios T2 o de Hausdorff
Un espacio topológico X es de Hausdorff o T2 si y solo si para cualquier par de puntos x, y en X existe un par de abiertos disjuntos que contiene uno a x y otro a y.
Estos espacios son especialmente importantes pues además de suponer una gran cantidad de ejemplos (todos los espacios métricos T2 son , tienen propiedades fuertes como el que la convergencia de una sucesión o de un filtro, en caso de existir, sea única.
Espacios T3 o regulares
Un espacio topológico X es regular si es T1 y para cada punto x de X y cualquier cerrado F subconjunto de X tal que x no pertenece a F. Entonces existen entornos
- Ux y UF tales que su intersección es vacía. Es decir, podemos separar puntos de cerrados.
Espacios completamente regulares y espacios T3.5 o Tíjonov
Un espacio topológico X es completamente regular si para cada punto x de X y cualquier cerrado F subconjunto de X tal que x no pertenece a F existe una función continua F: → <math [0, 1] tal que f(x)=0 y f(F)=.
Un espacio topológico X es de Tíjonov si es T1<math> y completamente regular. También puede designarse como espacio de Hausdorff completamente regular.
Espacios T4 o normales
Un espacio topológico X es normal si es T1 y para cada par de cerrados F y G subconjuntos de X con intersección vacía existen unos entornos que los contengan U y W y tal que su intersección sea igual al conjunto vacío.
Es decir, podemos separar todos los cerrados del espacio. En particular los espacios métricos son normales.
Fuentes
- John Kelley: Topología general, Eudeba, Buenos Aires, 1962
- James R. Munkres: Topología, Pearson Prentice Hall, Madrid, 2008
