Conjetura de Taniyama-Shimura
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Conjetura de Taniyama-Shimura. Es una conjetura muy importante dentro de las matemáticas modernas, que conecta las curvas elípticas definidas sobre el Shimura-Weil. En 1995, Andrew Wiles y Richard Taylor probaron un caso especial de la conjetura, suficiente para demostrar el último teorema de Fermat. En 2001 fue finalmente demostrada por Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor. Desde entonces, la conjetura de Taniyama-Shimura se conoce como el teorema de Taniyama-Shimura o teorema de la modularidad.
Enunciado
Se conoce como curva elíptica a aquella descrita con una ecuación del tipo:
y2 = Ax3 + Bx2 + Cx + D
tal que el discriminante del polinomio en el lado derecho de la ecuación no es 0. Supongamos que A, B, C y D son números racionales.
Una forma modular es una función analítica f:H -> C del semiplano superior H = {x+ iy : y>0} a los complejos C, tal que f satisfaga ciertas condiciones de simetría (entre ellas f(x) = f(x+N) para todo x y algún entero N fijo) y una condición de crecimiento (holomorficidad en el punto en el infinito).
El teorema afirma lo siguiente:
Historia
Los trabajos de Andrew Wiles para obtener la demostración del último teorema de Fermat llevaron a la demostración de la veracidad de la conjetura de Taniyama-Shimura para el caso semiestable (asistido por Richard Taylor), partiendo de la teoría de Deformaciones de Representaciones de Galois creada por B. Mazur y de resultados de Langlands y Tunnell y desarrollando lo que hoy se conocen como Teoremas de Levantamiento Modular 1995. Posteriormente, Christophe Breuil, Brian Conrad, Fred Diamond y Richard Taylor ampliaron el campo de aplicación desde las curvas elípticas semiestables definidas sobre los racionales a todas las curvas elípticas definidas sobre los racionales.
