Conjunto

Conjunto Concepto: Coleccion no ordenada de elementos sin repetición.

Conjunto. En matemáticas es un concepto primitivo: no se define. pero nos da idea de conjunto una agrupación de objetos, sin repetición, ni interesa el orden de ellos si hay más de uno; sin embargo se debe garantizar si un elemento está o no en un determinado conjunto.
Para facilitar operaciones se formula el conjunto que no contiene elementos, nombrado conjunto nulo o conjunto vacío y se simboliza por {} ó .

El conjunto de un solo elemento se denomina conjunto unitario.
En una teoría se postula un conjunto tal que el resto son subconjuntos de él. Se le nombra conjunto universal. Se simboliza por U.

Representación.

Existen pautas a tener en cuanto a la hora de expresar variables que representan conjuntos y a sus elementos:

• Las variables que representan a los conjuntos se denotan con letras mayúsculas.
• Los elementos denotan minúsculas, a no ser que sean conjuntos que son miembros de otros conjuntos.

Las notaciones de conjunto como expresión escrita son básicamente dos:

• Notación extensiva o explícita.
• Notación intensiva o implícita.

En el primer caso se suele hacer la enumeración estricta de los elementos que conforman al conjunto separados por comas o punto y comas y encerrado todo entre llaves. Por ejemplo:

1. {a; b}.
2. {5; 10; 2}.
3. {; {a; b}}.
4. {2; 4; 6; 8; 10;...}.

Como puede apreciarse en el último caso este representa al conjunto de los números pares postivos, que es infinito, por lo que se han utilizado los tres puntos suspensivos y se han escrito en un orden correcto para que el lector pueda captar qué número componen este conjunto.

Para el caso de los números reales se define un tipo especial de conjunto definido explícitamente: los rangos que en general toman las siguientes formas:

• [a; b] : Todos los números entre a y b.
• (a; b] : Todos los números entre a y b, excepto a.
• [a; b) : Todos los números entre a y b, excepto b.
• (a; b) : Todos los números entre a y b, excepto a y b.

donde a y b representan los límites del rango, a<b y los corchetes identifican que se incluye al límite correspondiente y el paréntesis que se excluye del rango al límite indicado.

En el segundo caso se escribe una ley matemática o expresión que contiene la "forma" de los elementos que van a componer al conjunto. Veánse los siguientes ejemplos:

1. .
2. .
3. .

Suele usarse la primer notación para conjuntos finitos o a partir de cuyo contenido puedan inferirse con facilidad los elementos que los componen y la segunda, para conjuntos infinitos o de una mayor complejidad en su composición porque suele ser más compacta y formal.

Representación gráfica.

También los conjuntos en dependencia de su naturaleza pueden ser representado gráficamente: líneas, superficies, cuerpos pueden ser considerados también conjuntos de puntos y tendrán su correspondiente representación.

Por ejemplo la ecuación descrita en el siguiente caso:

• o mejor x²+y²=1.

Tiene un conjunto solución que tiene la siguiente forma:

• .

Como puede verse es la circunferencia de radio 1 centrada en el origen de coordenadas. Si la expresión hubiera tomado la forma x²+y² < 1, entonces el conjunto solución sería todo el círculo dentro de la circunferencia del caso anterior pero no los puntos de la circunferencia dicha.

Por último también están los diagramas de Venn que son una representación gráfica más general de los conjuntos, muy útil para la visualización de operaciones de conjuntos. En ella, los conjuntos se representan por círculos mientras que el universo es el espacio en blanco alrededor de ellos o un recuadro que los contiene. Si los conjuntos tienen elementos en común se superpone alguna parte para indicarlo; de lo contrario, se dibujan aislados.

Archivo:Diagramas de Venn elementos.png

Relaciones y operaciones de conjunto.

En los conjuntos existen tres grandes tipos de operaciones:

1. Relación entre elemento y conjunto.
   1. Pertenencia.
2. Relaciones entre conjuntos.
   1. Subconjunto o subclase, superconjunto o superclase.
   2. Subconjunto propio.
   3. Igualdad.
   4. Isomorfismo o congruencia de conjuntos.
   5. Producto.
3. Álgebra de conjuntos.
   1. Complemento.
   2. Unión.
   3. Intersección.
   4. Diferencia.
   5. Diferencia simétrica.
4. En sistemas algebraicos
   1. Suma de clases o subconjuntos
   2. Producto de clases
   3. Inverso de una clase

Pertenencia de elementos a conjuntos.

Para indicar que un elemento x forma parte de un conjunto A suele escribirse y se lee "x pertenece al conjunto A" o simplemente "x pertenece a A". Preferible decir que el elemento x está en el conjunto H; y esto se cumple de modo natural, cuando se dice que el punto A está en la recta l, o la recte r está en el plano Q.

Por ejemplo: .

En caso contrario se indica .

Subconjuntos, subconjuntos propios e igualdad de conjuntos.

Se dice que dos conjuntos A y B son iguales si ambos están conformados por los mismos elementos, independientemente del orden en que puedan aparecer y se denota A=B.

Cuando todos los elementos de un conjunto A son parte también de otro conjunto B se dice A es subconjunto de B o A es subclase de B y se indica . Si fuera el caso que todos los elementos de B estuvieran contenidos en A y no se quiere expresar como Archivo:B subconjunto A.gif, puede hacerse y se dice A es el superconjunto de B o A es superclase de B. Esto incluye la posibilidad de que todo conjunto es subconjunto y superclase de sí mismo, es decir y .

En cambio, los subconjuntos propios se definen como: ssi pero no A=B. Por lo que el caso Archivo:A subconjunto propio A.gif nunca se dará.

Veamos algunos ejemplos:

• Archivo:Diagramas de Venn subconjunto.png es la forma típica de representar .
• .
• .
• .
• .
• {a;b;c}={c;a;b}.

Una importante propiedad del conjunto vacío es que es subconjunto de cualquier conjunto, o sea .

Conjunto potencia.

Sea A se entiende por conjunto potencia de A al conjunto de todos los subconjuntos de A y se denota , P(A) ó P^A.

Ejemplos:

• .
• .
• .

Isomorfismo de conjuntos.

Dos conjuntos A y B se dice que son isomorfos ssi existe una ley que asocie biunívocamente a cada elemento de A con cada elemento de B.

Ejemplos:

• El conjunto de los naturales es isomorfo con el de los números pares, pues para todo k natural existe un par de la forma 2k, o sea f(k)=2k, regla que es biyectiva.
• El conjunto de reales entre [0; 1] es isomorfo con cualquier rango [a; b], donde a y b son reales y a<b; porque para todo puede transformarse en según la regla biunívoca .

Producto cartesiano de conjuntos.

Sean A y B conjuntos no vacíos se define por producto cartesiano de A por B o sencillamente A por B y se denota AxB al conjunto definido por .

En el caso de se opere sobre el mismo conjunto se escribe como si fuera una potencia. A²=AxA, A³=AxAxA, A⁴=AxAxAxA.

Ejemplos:

• .
• La definición cartesiana de números complejos es el producto .
• 

Unión.

Sean los conjuntos A y B se define como unión de ellos al conjunto formado por todos los elementos que están al menos en uno de ellos. .

La graficación según Venn sería:

• .

Intersección.

Sean los conjuntos A y B se define como intersección de ambos conjuntos al conjunto compuesto por todos los elementos que son comunes. Matemáticamente se expresa .

El diagrama de Venn queda:

• .

Cuando dos conjuntos no tienen elementos comunes se les llama conjuntos disjuntos y su intersección es .

Diferencia.

Sean los conjuntos A y B, la diferencia de esos dos conjuntos ó A-B ó A\B son todos los elementos de A excluyendo a aquellos están también en B. La expresion formal de la diferencia sería .

El diagrama de Venn correspondiente a la diferencia sería:

Ejemplos

Sean A={1,2,3,4,5} y B={3,4,5,6}

A-B = {1,2}

• A-B : .

B-A = {6}

• B-A : .

Diferencia simétrica.

Sean los conjuntos A y B, la diferencia simétrica de esos dos conjuntos ó son todos los elementos de A ó B pero no los que están en ambos. La expresion formal se expresa como .

El diagrama de Venn correspondiente a la diferencia simétrica sería:

Complemento.

Sea el conjunto A se define como su complemento al conjunto A^c conformado por los elementos del universo que no pertenecen a A. Formalmente sería Archivo:Complemento definicion.gif

En término de los diagramas de Venn puede graficarse como:

Cardinalidad.

La cardinalidad es determinada por la cantidad de elementos que contiene un conjunto.

Por ejemplo, sea A={a,b,c,d} se puede decir que su cardinalidad es 4 y se expresa de la siguiente manera |A|=4.

En sistemas algebraicos

Sea A un sistema algebraico con dos operaciones, por decir la adición y la multiplicación, y dos subconjuntos H y K. Se definen:

• H + K = {h+k/ h es elemento de H, k elemento de K}
• aH = {ah/ a elemento fijo de A y h está en H}
• HK = {hk/ h está en H, k es elemento de K}
• H^-1 = {h^-1/ h es elemento de H}, además H es un subsistema multiplicativo de A.

Conjuntos numéricos fundamentales

Algunos ejemplos de conjuntos de número son:

1. Los números primos: un subconjunto de los naturales y tienen proposiciones aún no demostradas.
2. Los números naturales utilizados para contar los elementos de un conjunto y sumar y multiplicar.
3. Los números enteros donde se posibilita la diferencia de números.
4. Los números racionales, donde es posible el cociente, excepto divisor cero
5. Los números reales, que incluyen a los números irracionales, donde es poible hallar raíces pares de reales no negativos y raíces imperes de cualquier número real
6. Los números complejos que proporcionan soluciones a ecuaciones del tipo x² + 1 = 0. En C tiene solución cualquier ecuación algebraica.
7. Los números algebraicos.
8. Los números trascendentes, entre ellos el número e y pi.

Uso necesario

La topología general usa conjuntos, familias y colecciones de familias de conjuntos. El cálculo de probabilidades se erige en base a conjuntos. En álgebra abstracta se exige un conjunto no vacío, una o más operaciones para definir un sistema algebraico de modo axiomático. Además para definir aplicaciones lineales se necesitan dos conjuntos. Para espacios lineales se usa el conjunto de vectores y el conjunto de escalares.

Fuentes.

1. Carl B. Allendoerfer, Cletus O. Oakley. Introducción Moderna a las Matemáticas Superiores. Ediciones del Castillo, Madrid. 1967.
2. Lugo, Shneidr (1969). Teoría de Conjuntos y Dominios Numéricos.
3. List, G. (1977). Lógica Matemática, Teoría de Conjuntos y Dominios Numéricos.
4. Brehmer, S. y Apelt. (1976). Analisis Matemático I.
5. Paul Halmos. Teoría intuitiva de conjuntos