Cortadura de Dedekind

Cortadura de Dedekind, en matemáticas, particularmente en los sistemas numéricos, en memoria del matemático alemán Richard Dedekind, es un subconjunto especial de cuerpo ordenado, de números racionales. Dichos subconjuntos son usados para construir un cuerpo ordenado completo arquimediano, concretamente los números reales.

Definición

Un subconjunto A de Q es una cortadura de Dedekind si satisface estas propiedades:

1. A es un conjunto no vacío de Q.
2. Si m está en A y n está en Q talque n < m, entonces n está en A
3. Si m está en A, entonces hay n en A tal que m < n.

Intuitivamente, una cortadura es una semirrecta racional que no tiene mayor elemento o cota superior.

Ejemplos

• El conjunto de números racionales menores que 15; A₁ = {x en Q / x <15}
• El conjunto de racionales cuyos cubos < tres, unidos con todos los racionales negativos. A₂ = {x en Q / x³ < 3} U Q_-

Operaciones con cortaduras

Considerando K el conjunto de todos las cortaduras, podemos definir una relación de orden, la adición y una multiplicación de elementos de K, de forma que K sea un cuerpo ordenado con la propiedad arquimediana, y finalmente, K, definido de esa forma satisfaga el Postulado de Dedekind, esto es: K sea un cuerpo completo. Vale decir que todo subconjunto de K acotado superiormente tenga supremo.

Adición

Queremos definir la aplicación suma +:K×K → K, que lleva un par (A,B) en un elemento A+B de k. Definimos A+B := {s+t en Q / s está en A y t está en B }. Se prueba que el conjunto A+B, así definido, es una cortadura y que la aplicación suma cumple la definición de grupo abeliano en la colección K.

Bibliografía

• Haaser- La Salle: Análisis Real
• Álgebra moderna de Schaumm, Editorial Mc Graw Hill