Coseno

Coseno Concepto: Relativo a un ángulo agudo de un triángulo rectángulo, razón entre las longitudes del cateto adyacente al ángulo y la hipotenusa.

En trigonometría el coseno (abreviado cos) de un ángulo agudo en un triángulo rectángulo se define como la razón entre el cateto adyacente a ese ángulo y la hipotenusa.

Razones en el triángulo rectángulo

Figura 1

Las razones (cocientes) entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo dependen solo de las amplitudes de sus ángulos agudos. Veamos esta afirmación con más detenimiento (figura 1):
Sea MAN un ángulo agudo. Desde un punto cualquiera de uno de sus lados (B) distinto del vértice A consideremos una recta perpendicular al otro lado, formando el triángulo ABC rectángulo en C, o sea con catetos de longitudes a y b, e hipotenusa c.
Sea B' otro punto cualquiera (B' ≠ A) del lado AM y B un punto cualquiera (B ≠ A) del lado AN. Consideremos las perpendiculares B'C' y BC a AN y AM respectivamente. Los tres triángulos ABC, AB'C' y ABC tienen sus ángulos iguales (ya que son rectángulos y tienen un ángulo común), luego son semejantes, y como tales sus lados homólogos son proporcionales.

Coseno

Estas razones entre las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo son de importancia fundamental en el estudio de la trigonometría. Para un ángulo agudo del triángulo rectángulo, a la razón entre la longitud del cateto adyacente al ángulo y la longitud de la hipotenusa del tríangulo rectángulo se le llama Coseno del ángulo y se denota por cos, o sea:
cos α = b/c, y cos β = a/c

Identidades

cos (90º - A) = sen A

sen (90-A) = cos A

cos a = cos (-A)

cos (2kπ ± A) = cos A

Coseno de la diferencia de dos ángulos

Se sabe que para los vectores a y b que forman cierto ángulo cabe su producto escalar

como: a·b = /a/ /b/ cos (a,b) = (x₁ x₂ + y₁y₂) →(1)

Sean los vectores a = (cos α, sen α) y b(cos β, sen β) en la circunferencia unidad, los módulos de ambos son 1, el ángulo comprendido es α-β, cada uno medido a partir del eje Ox.

como los módulos son 1, cos (a,b) = cos (α-β), resulta, aplicando la igualdad (1)

cos (α-β)= cos α cos β+ sen α senβ, → (2)

de este resultado se puede generalizar, para cos de la suma, seno de la diferencia de mediante complemento.

Algunos demuestran con distancia y giro de ejes coordenados; y otros con semejanza de triángulos.

coseno de la suma de ángulos

En la fórmula (2) se puede hacer el cambio α+β = α -(-β), y usando sen(-β) = -sen β, se obtiene

cos (α+β)= cos α cos β - sen α senβ,

Valores del coseno para los ángulos notables de 30°, 45° y 60°

Figura 2

Consideremos un triángulo ABC equilátero de lado 2 (figura 2). Sea BD la perpendicular por B a AC. En en triángulo ADB rectángulo en D se tiene que el ángulo DAB mide 60° y el ángulo ABD mide 30°, AB = 2, AD = 1, BD = √3, por lo tanto:
cos 60° = 1/2
cos 30° = √3/2
Para comprobar que cos 45° = √2/2 basta considerar un triángulo rectángulo isósceles.

coseno de 15º

La fórmula del caso es cos² α/2 = (1+cos α)/2

cos² 15º = (1+cos 30º)/2

cos² 15º = (1+3^0.5/2)/2

cos² 15º = (2+3^0.5)/4

Fuentes

• Wikipedia
• ditutor.com