Espiral de Arquímedes
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Espiral de Arquímedes. Obtuvo su nombre del matemático griego Arquímedes. Se define como el lugar geométrico de un punto moviéndose a velocidad constante sobre una recta que gira sobre un punto de origen fijo a velocidad angular constante.
Definición
Matemáticamente la espiral de Arquímedes se define como el lugar geométrico de un punto del plano que partiendo del extremo de una semirrecta se mueve uniformemente sobre ella, mientras que la semirrecta gira también uniformemente sobre uno de sus extremos. La característica de la espiral de Arquímedes es que entre dos espiras, la distancia es la misma, la expansión y la rotación tienen lugar a la misma velocidad, el vínculo entre ellas es lineal. La espiral fue estudiada por Arquímedes en su trabajo "Sobre Espirales" donde define la espiral diciendo: Si una línea recta dibujada en un plano gira uniformemente cualquier número de veces alrededor de un extremo fijo hasta que regresa a su posición original y si, al mismo tiempo que la línea gira, un punto se mueve uniformemente a lo largo de la línea recta comenzando en el extremo fijo, el punto describirá una espiral en el plano.
Una propiedad interesante que observó Arquímedes es la siguiente:
"El área de la espiral en su primera vuelta es igual a la tercera parte del área del círculo que la envuelve"
Un ejemplo de esta espiral lo encontramos al enrollar una cuerda sobre si misma o también en la espiritrompa de una mariposa (la estira para introducirla en las flores y alimentarse). Como es muy sencilla de construir aparece también mucho en la cerámica popular.
Ecuaciones
- La Ecuación en coordenadas polares (r, θ) es:
r=aθ
En esta expresión r es la distancia al origen, a una constante y θ el ángulo girado.
- La curvatura de la espiral de Arquímedes es:
Aplicaciones
Se emplean muelles de compresión, hechos de dos espirales de Arquímedes del mismo tamaño intercaladas, para comprimir líquidos y gases.
Los surcos de las primeras grabaciones para gramófonos (Disco de vinilo) forman una espiral de Arquímedes, haciendo los surcos igualmente espaciados y maximizando el tiempo de grabación que podría acomodarse dentro de la grabación.
Pedirle a un paciente que dibuje una espiral de Arquímedes es una manera de cuantificar el temblor humano; esta información ayuda en el diagnóstico de enfermedades neurológicas. Estas espirales son también usadas en sistemas DLP de proyección para minimizar el efecto de arcoiris, que simula un despliegue de varios colores al mismo tiempo, cuando en realidad se proyectan ciclos de rojo, verde y azul rápidamente.
Un método para la cuadratura del círculo, relajando las limitaciones estrictas en el uso de una regla y un compás en las pruebas geométricas de la Grecia antigua, hace uso de la Espiral de Arquímedes. También existe un método para trisectar ángulos basado en el uso de esta espiral.
Construcción
Método manual: Se puede dibujar una espiral, enrollando un trozo de hilo en torno a un lápiz; sujetando el extremo libre a una chincheta en el centro de una hoja de papel y luego dando vueltas con el lápiz con el hilo tenso, dejando que se vaya soltando.
