Grupo finito (álgebra)

Grupo finito. En álgebra moderna, se llama grupo finito al que tiene como cardinal de su conjunto el número natural n. Justamente, los trabajos de Evaristo Galois empezaron con el el estudio del grupo finito de transformaciones vinculado con el número de raíces de una ecuación algebraica. Durante el siglo XX, los matemáticos han investigado ciertos aspectos de los grupos finitos en gran profundidad, especialmente teoría local de grupos finitos, y la teoría de grupos resolubles y los grupos nilpotentes . Una completa determinación de la estructura de todos los grupos finitos es demasiado ambiciosa; el número de posibles estructuras pronto se convierte en abrumadora. Sin embargo, la clasificación completa de grupos finitos simples se ha logrado.

Los grupos finitos también surgen cuando se considera la simetría de objetos matemáticos o físicos, cuando esos objetos admiten sólo un número finito de transformaciones que preservan la estructura. La teoría de los grupos de Lie, que puede ser vista como un estudio con la «simetría continua», está intensamente influida por los grupos de Weil asociados. Hay grupos finitos generados por reflexiones que actúan sobre un espacio euclídeo de dimensión finita. Las propiedades de los grupos finitos pueden así jugar un papel importante en áreas como la física teórica y química.

Características

• Al número de elementos de G se llama orden del grupo G y se representa por |G|.
• Si G es un grupo finito con un número par de elementos ( |G| es un par) entonces existe un a en G ≠ e talque a² = e.
• si G es un grupo finito, existe un entero positivo k tal que a^k = e para cualquier a en G .

Varios casos

Grupo de sustituciones

El grupo simétrico S_N describe todas las permutaciones de N elementos. Hay N! permutaciones posibles que dan el orden del grupo. Por el teorema de Cayley, cualquier grupo finito puede ser expresado como un subgrupo de un grupo simétrico para un determinado entero N. El grupo alternante es el subgrupo correspondiente únicamente de las permutaciones pares.

Grupos cíclicos

Un grupo cíclico Z_N es un grupo en la que todos sus elementos son potencias de un determinado elemento a donde a^N=a⁰=e, el elemento identidad. Un ejemplo típico de este grupo son las N-ésimas raíces de la unidad complejas. Relacionando a a una raíz primitiva de la unidad se obtiene un isomorfismo entre las dos. Esto puede ser realizado con cualquier grupo cíclico finito.

Temas vinculados

• Grupo algebraico
• Operación matemática
• Permutaciones

Fuentes

• Felipe Zaldívar. Introducción a la teoría de rupos
• Pierre Dubreil. Introducción a la teoría de grupos.
• Birkhoff & Mc Lane Álgebra moderna