Hipocicloide
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Hipocicloide. Es la curva plana generada por el movimiento de un punto de una circunferencia que rueda, sin deslizamiento, por el interior de otra circunferencia.
Sumario
Definición
La Hipocicloide es la curva que describe la trayectoria un punto situado sobre una circunferencia generatriz que rueda por el interior de otra circunferencia directriz, sin deslizamiento. Es un tipo de ruleta cicloidal.
Dentro de esta familia de curvas se encuentran:
Hipocicloides ordinarias
Las hipocicloides ordinarias (hipocicloides) son curvas generadas por un punto P de una circunferencia de radio r al girar interiormente y sin deslizamiento sobre otra circunferencia de radio R. (r<R)
La curva generada depende de la relación entre los radios de ambas circunferencias. Hay que señalar que si n=R/res entero, la hipocicloide generada por el punto P se cerrará al cabo de una vuelta, y podremos observar que tiene n cúspides.
Casos particulares de hipocicloides ordinarias:
- Si R = 4r se obtiene la curva llamada astroide.
- Si R = 3r se obtiene la hipocicloide de Steiner (de Cremona) o deltoide (que se asemeja a un delta)
- Si R=2r se obtiene un segmento (diámetro del círculo de radio r) llamada "Mosca del Hire".
Hipocicloides acortadas
Las "hipocicloides acortadas" (hipotrocoides cortos) son curvas que se pueden obtener con un Spirograph, haciendo rodar un círculo interior sobre otro círculo, que permanece fijo, colocando un bolígrafo en cualquier punto (agujero) del círculo que rueda.
Casos particulares de hipocicloides acortadas:
- Si R=2r y a=0, P está en el centro del círculo móvil y describe una circunferencia.
- Si R=2r y a<>0 P no está en el borde del círculo ni en el centro y describe una elipse.
Hipocicloides alargadas
Las "hipocicloides alargadas" (hipotrocoides largos) son curvas generadas de modo análogo a las hipotrocoides cortas pero en las que el punto P es un punto vinculado al círculo que rueda pero dentro del disco. La ecuación general de las epicicloides alargadas se obtiene de análoga forma que la de la acortada, solamente tenemos que tener presente que a>r.
Ecuaciones
- Las ecuaciones paramétricas suelen escribirse como:
En los casos particulares:
En el caso R=4r se obtiene la hipocicloide de cuatro ramas, también denominada astroide. Las ecuaciones para la astroide son; en forma paramátrica;
Que en coordenadas cartesianas se escribe;
Construcción
Para trazar la hipocicloide empleamos el siguiente método:
1) Dividimos la circunferencia generatriz en un número cualquiera de partes iguales (12 en nuestro caso).
2) Se calcula el ángulo central de la circunferencia base según la formula anterior no = 360o r/R.
3) Dividimos la circunferencia base en el mismo numero de partes que dividimos la ruleta (12 en nuestro caso, se obtienen los puntos 1', 2', 3',.......
4) Unimos el centro de la circunferencia directriz (O’) con los puntos anteriores mediante rectas y centrando en O’ se traza un arco de magnitud O-O’ que cortará a las prolongaciones de las rectas anteriores en O1, O2, O3....
5) Los puntos anteriormente determinados (O1, O2, O3,..) Son los centros sucesivos que ocupará la circunferencia generatriz.)
6) Centrando en O’ trazar arcos que pasen por las divisiones de la circunferencia (1, 2,3,...), estos arcos cortarán a las circunferencias auxiliares (P, P1, P2, PTexto suscrito3, P4, P5, P6, P7...) determinando así los puntos de la hipocicloide.
