Homotecia
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Homotecia
El estudio de la igualdad de figuras geométricas se hizo estrechamente relacionado con el concepto movimiento y si se aplica a una figura geométrica un movimiento se obtiene otra figura que es igual a ella.
Sumario
Introducción
Una homotecia es una transformación del plano en si mismo que se define de la manera siguiente:
- Se determina un Punto O como centro de la homotecia.
- Se determina un número real como razón de la homotecia.
- La Imagen P' de un punto P está situada sobre la Semirrecta OP
- O es su propia imagen (O' y O coinciden).
Una homotecia de centro O y razón k se denota H (O; k)
Propiedades de la homotecia
Para toda H(O; k) se cumple: 1. La imagen de una recta es una recta paralela a ella. 2. La imagen de un segmento es un segmento paralelo a el y que tiene k veces su longitud. 3. La imagen de un ángulo es un ángulo que tiene su misma amplitud.
Las propiedades de la homotecia se pueden demostrar aplicando el teorema reciproco del Teorema de las transversales y el Teorema fundamental de la semejanza de triángulos.
Composición de Homotecias. Composición de una homotecia con un movimiento
Cuando se realizan sucesivamente varios movimientos (por ejemplo si se hace una traslación a una figura, después se le aplica a la imagen obtenida una Simetría central y finalmente se le aplica a la nueva imagen, una reflexión) se obtiene una figura igual a la original. A esta realización sucesiva de movimientos se le denomina composición de movimientos.
La composición de varios movimientos es también un movimiento. De forma análoga cuando sucesivamente se realizan varias homotecias, se habla entonces de composición de homotecias.
La composición de dos homotecias H (O1, k1) y H (O2, k2) donde k1• k2 =1 es nuevamente una homotecia, su razón k3 = k1 • k2 y su centro O3 se encuentra situado sobre la recta O1O2. También se puede hacer la composición de una homotecia con un movimiento.
Generalizando se puede definir una homotecia H (O; -k) con k > 0 como la composición de una homotecia H (O; k) con una simetría central de centro O.
Transformaciones Semejantes. Figuras Semejantes
Toda composición de una homotecia con un Movimiento se llama transformación semejante.
Todo movimiento es de hecho una transformación semejante, pues basta considerarlo como la composición de un movimiento con una homotecia de razón k = 1. Siempre se cumple que la imagen de una figura geométrica cualquiera por una transformación semejante, es semejante a la figura original.
Dos Figuras geométricas F1 y F2 son semejantes, si existe una transformación semejante por la cual una se trasforma en la otra. Se escribe entonces F1~ F2
Fuente
Libro de texto 9no grago Matemática
